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12. 已知 $ y = y_1 + y_2 $，且 $ y_1 $ 与 $ x $ 成正比例，$ y_2 $ 与 $ x $ 成反比例，且当 $ x = 2 $ 时，$ y = 7 $；当 $ x = -1 $ 时，$ y = -5 $。求 $ y $ 与 $ x $ 的函数表达式。
答案
12. 设$y_1=k_1x,y_2=\frac{k_2}{x}$,则$y=k_1x+\frac{k_2}{x}$.
由题意,得$\begin{cases}2k_1+\dfrac{k_2}{2}=7,\\-k_1+\dfrac{k_2}{-1}=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=3,\\k_2=2.\end{cases}$
所以$y=3x+\frac{2}{x}$.
由题意,得$\begin{cases}2k_1+\dfrac{k_2}{2}=7,\\-k_1+\dfrac{k_2}{-1}=-5,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=3,\\k_2=2.\end{cases}$
所以$y=3x+\frac{2}{x}$.
解析
【分析】
首先根据正比例函数和反比例函数的定义，分别设出$y_1$和$y_2$的表达式，注意两个比例系数要用不同字母区分，避免混淆。再结合$y=y_1+y_2$得到$y$与$x$的含未知系数的表达式，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，即可得到关于两个未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数值后代回原式，就能得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例
$\therefore$设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）
又$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y = k_1x+\frac{k_2}{x}$
把$x=2,y=7$和$x=-1,y=-5$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\dfrac{k_2}{2}=7\\-k_1-\dfrac{k_2}{1}=-5\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$4k_1+k_2=14$ ①
将第二个方程整理得：$k_1+k_2=5$ ②
用①$-$②得：$3k_1=9$，解得$k_1=3$
把$k_1=3$代入②得：$3+k_2=5$，解得$k_2=2$
将$k_1=3,k_2=2$代回$y = k_1x+\frac{k_2}{x}$，得到最终函数表达式。
【答案】
$y=3x+\dfrac{2}{x}$
【知识点】
正比例函数概念，反比例函数概念，待定系数法求解析式
【点评】
本题考查组合型函数解析式的求解，解题关键是准确掌握正比例、反比例函数的表达形式，代入已知条件列方程组求解即可，注意两个比例系数需用不同符号标识，避免运算混淆。
【难度系数】
0.7
首先根据正比例函数和反比例函数的定义，分别设出$y_1$和$y_2$的表达式，注意两个比例系数要用不同字母区分，避免混淆。再结合$y=y_1+y_2$得到$y$与$x$的含未知系数的表达式，将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，即可得到关于两个未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数值后代回原式，就能得到$y$与$x$的函数表达式。
【解析】
解：$\because y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例
$\therefore$设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）
又$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y = k_1x+\frac{k_2}{x}$
把$x=2,y=7$和$x=-1,y=-5$分别代入上式，得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\dfrac{k_2}{2}=7\\-k_1-\dfrac{k_2}{1}=-5\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得：$4k_1+k_2=14$ ①
将第二个方程整理得：$k_1+k_2=5$ ②
用①$-$②得：$3k_1=9$，解得$k_1=3$
把$k_1=3$代入②得：$3+k_2=5$，解得$k_2=2$
将$k_1=3,k_2=2$代回$y = k_1x+\frac{k_2}{x}$，得到最终函数表达式。
【答案】
$y=3x+\dfrac{2}{x}$
【知识点】
正比例函数概念，反比例函数概念，待定系数法求解析式
【点评】
本题考查组合型函数解析式的求解，解题关键是准确掌握正比例、反比例函数的表达形式，代入已知条件列方程组求解即可，注意两个比例系数需用不同符号标识，避免运算混淆。
【难度系数】
0.7
13. 在面积为定值的一组矩形中，当矩形的一边长为7.5 cm时，它的另一边长为8 cm.
(1)设矩形相邻的两边长分别为x(cm)，y(cm)，求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数.
(2)若其中一个矩形的一条边长为5 cm，求这个矩形与之相邻的另一边长.
(1)设矩形相邻的两边长分别为x(cm)，y(cm)，求y关于x的函数表达式.这个函数是反比例函数吗？如果是，指出比例系数.
(2)若其中一个矩形的一条边长为5 cm，求这个矩形与之相邻的另一边长.
答案
13.(1)设矩形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$,则$S=7.5×8=60$,
即$xy=60,y=\frac{60}{x}$,
故y关于x的函数表达式是$y=\frac{60}{x}$,这个函数是反比例函数,比例系数为60.
(2)当$x=5$时,$y=\frac{60}{x}=12$,
故这个矩形与之相邻的另一边长为12 cm.
即$xy=60,y=\frac{60}{x}$,
故y关于x的函数表达式是$y=\frac{60}{x}$,这个函数是反比例函数,比例系数为60.
(2)当$x=5$时,$y=\frac{60}{x}=12$,
故这个矩形与之相邻的另一边长为12 cm.
解析
【分析】
本题解题核心是抓住矩形面积为定值的条件。对于第(1)问，先利用已知的一组边长计算出矩形的固定面积，再结合矩形面积公式（面积=相邻两边长的乘积），推导得到x与y的函数关系，最后对照反比例函数的定义判断函数类型、确定比例系数即可。对于第(2)问，将已知的边长作为自变量的值代入第(1)问得到的函数表达式，计算出对应的函数值，就是相邻边的长度。
【解析】
(1) 设矩形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，由已知边长可得定值面积：
$S=7.5×8=60$
根据矩形面积公式，有$xy=S=60$，变形可得$y=\frac{60}{x}$。
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，可知$y=\frac{60}{x}$是反比例函数，比例系数为60。
(2) 已知矩形一条边长为5cm，即$x=5$，将其代入函数表达式$y=\frac{60}{x}$得：
$y=\frac{60}{5}=12$
因此该矩形与之相邻的另一边长为12cm。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数表达式是$y=\frac{60}{x}$，这个函数是反比例函数，比例系数为60；
(2) 这个矩形与之相邻的另一边长为12 cm。
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 反比例函数的实际应用
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数在几何场景中的基础应用，解题关键是先确定不变的面积定值，再结合几何公式建立函数关系，侧重考察对反比例函数基础概念的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.85
本题解题核心是抓住矩形面积为定值的条件。对于第(1)问，先利用已知的一组边长计算出矩形的固定面积，再结合矩形面积公式（面积=相邻两边长的乘积），推导得到x与y的函数关系，最后对照反比例函数的定义判断函数类型、确定比例系数即可。对于第(2)问，将已知的边长作为自变量的值代入第(1)问得到的函数表达式，计算出对应的函数值，就是相邻边的长度。
【解析】
(1) 设矩形的面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，由已知边长可得定值面积：
$S=7.5×8=60$
根据矩形面积公式，有$xy=S=60$，变形可得$y=\frac{60}{x}$。
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数为反比例函数，可知$y=\frac{60}{x}$是反比例函数，比例系数为60。
(2) 已知矩形一条边长为5cm，即$x=5$，将其代入函数表达式$y=\frac{60}{x}$得：
$y=\frac{60}{5}=12$
因此该矩形与之相邻的另一边长为12cm。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数表达式是$y=\frac{60}{x}$，这个函数是反比例函数，比例系数为60；
(2) 这个矩形与之相邻的另一边长为12 cm。
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 反比例函数的实际应用
3. 矩形面积计算
【点评】
本题是反比例函数在几何场景中的基础应用，解题关键是先确定不变的面积定值，再结合几何公式建立函数关系，侧重考察对反比例函数基础概念的理解和简单应用能力。
【难度系数】
0.85
14. 水池中有水若干吨，若单开一个出水口，放水速度v与放光全池水所用时间t如下表：
(1)写出放光全池水所用时间t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系.
(2)这是一个反比例函数吗？
(1)写出放光全池水所用时间t(小时)与放水速度v(吨/小时)之间的函数关系.
(2)这是一个反比例函数吗？
答案
14.(1)$t=\frac{10}{v}$ (2)是
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确水池的总蓄水量是固定不变的，蓄水量=放水速度×放水时间。首先从表格中任取一组v和t的数值，计算得到总蓄水量，再根据总蓄水量为定值推导t和v的函数关系；之后对照反比例函数的定义，判断得到的函数是否符合反比例函数的形式即可。
【解析】
(1) 观察表格数据，任取一组对应值，例如当$v=1$吨/小时时，$t=10$小时，可得水池总蓄水量为：$1×10=10$吨。
验证其余组数值：$2×5=10$，$3×\frac{10}{3}=10$，所有$v$与$t$的乘积均为10，即总蓄水量为定值10吨。
根据蓄水量公式$v· t=10$，变形可得放水时间$t$与放水速度$v$的函数关系为：$t=\frac{10}{v}$（$v＞0$）。
(2) 回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$，$x\ne0$）的函数叫做反比例函数。
此处得到的函数$t=\frac{10}{v}$中，$k=10\ne0$，符合反比例函数的形式，因此这是一个反比例函数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=\dfrac{10}{v}}$；(2) $\boldsymbol{是}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题的核心是抓住“总蓄水量不变”这一隐含条件，先推导函数解析式，再结合反比例函数的定义判断即可，需要注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确水池的总蓄水量是固定不变的，蓄水量=放水速度×放水时间。首先从表格中任取一组v和t的数值，计算得到总蓄水量，再根据总蓄水量为定值推导t和v的函数关系；之后对照反比例函数的定义，判断得到的函数是否符合反比例函数的形式即可。
【解析】
(1) 观察表格数据，任取一组对应值，例如当$v=1$吨/小时时，$t=10$小时，可得水池总蓄水量为：$1×10=10$吨。
验证其余组数值：$2×5=10$，$3×\frac{10}{3}=10$，所有$v$与$t$的乘积均为10，即总蓄水量为定值10吨。
根据蓄水量公式$v· t=10$，变形可得放水时间$t$与放水速度$v$的函数关系为：$t=\frac{10}{v}$（$v＞0$）。
(2) 回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$，$x\ne0$）的函数叫做反比例函数。
此处得到的函数$t=\frac{10}{v}$中，$k=10\ne0$，符合反比例函数的形式，因此这是一个反比例函数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=\dfrac{10}{v}}$；(2) $\boldsymbol{是}$
【知识点】
1. 反比例函数的概念
2. 反比例函数的实际应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，解题的核心是抓住“总蓄水量不变”这一隐含条件，先推导函数解析式，再结合反比例函数的定义判断即可，需要注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.8
