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22.(10分)某校为了美化环境,营造良好的学习氛围,计划种植甲、乙两种花共300棵,其中甲种花比乙种花的2倍少60棵。
(1)求甲、乙两种花种植的数量。
(2)若学校安排11人同时种植这两种花,每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵,应分别安排多少人种植甲种花和乙种花,才能确保同时完成各自的任务？
(1)求甲、乙两种花种植的数量。
(2)若学校安排11人同时种植这两种花,每人每小时能种植甲种花5棵或乙种花4棵,应分别安排多少人种植甲种花和乙种花,才能确保同时完成各自的任务？
答案
(1)设甲种花种植了$x$棵,则乙种花种植了$(300-x)$棵,根据题意,得$2(300-x)-x=60$,解得$x=180$,所以$300-x=120$。答:甲种花种植了180棵,乙种花种植了120棵。
(2)设安排$y$人种植甲种花,则安排$(11-y)$人种植乙种花,根据题意,得$\frac{180}{5y}=\frac{120}{4(11-y)}$,解得$y=6$,经检验,$y=6$是所列方程的解,且符合题意,所以$11-y=5$。答:应安排6人种植甲种花,5人种植乙种花,才能确保同时完成各自的任务。
(2)设安排$y$人种植甲种花,则安排$(11-y)$人种植乙种花,根据题意,得$\frac{180}{5y}=\frac{120}{4(11-y)}$,解得$y=6$,经检验,$y=6$是所列方程的解,且符合题意,所以$11-y=5$。答:应安排6人种植甲种花,5人种植乙种花,才能确保同时完成各自的任务。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是求两种花的种植数量，已知两种花的总数和数量关系，可通过设未知数，利用“甲种花比乙种花的2倍少60棵”的等量关系列一元一次方程求解；第(2)问是安排种植人数，要确保同时完成任务，核心是找到“种植甲、乙两种花的时间相等”的等量关系，结合时间公式（时间=总数量÷每人每小时种植数量×人数），设未知数后列分式方程，且需注意分式方程解的检验。
【解析】
(1)设甲种花种植了$x$棵，则乙种花种植了$(300-x)$棵，根据题意，得：
$2(300-x)-x=60$
解方程：
$600-2x-x=60$
$600-3x=60$
$3x=540$
$x=180$
则乙种花数量为$300-180=120$（棵）
答：甲种花种植了180棵，乙种花种植了120棵。
(2)设安排$y$人种植甲种花，则安排$(11-y)$人种植乙种花，要同时完成任务，即种植甲的时间等于种植乙的时间，根据时间公式得：
$\frac{180}{5y}=\frac{120}{4(11-y)}$
化简方程：
$\frac{36}{y}=\frac{30}{11-y}$
交叉相乘得：
$36(11-y)=30y$
$396-36y=30y$
$66y=396$
$y=6$
经检验，$y=6$是所列方程的解，且符合题意，
则种植乙种花的人数为$11-6=5$（人）
答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务。
【答案】
(1)甲种花种植了180棵，乙种花种植了120棵；(2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花。
【知识点】
一元一次方程应用、分式方程应用
【点评】
本题为实际应用类题目，第(1)问考查一元一次方程的基础应用，难度较低；第(2)问考查分式方程的应用，关键是找准“时间相等”的等量关系，需注意分式方程解的检验，整体属于中等难度的常规应用题，是初中数学方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是求两种花的种植数量，已知两种花的总数和数量关系，可通过设未知数，利用“甲种花比乙种花的2倍少60棵”的等量关系列一元一次方程求解；第(2)问是安排种植人数，要确保同时完成任务，核心是找到“种植甲、乙两种花的时间相等”的等量关系，结合时间公式（时间=总数量÷每人每小时种植数量×人数），设未知数后列分式方程，且需注意分式方程解的检验。
【解析】
(1)设甲种花种植了$x$棵，则乙种花种植了$(300-x)$棵，根据题意，得：
$2(300-x)-x=60$
解方程：
$600-2x-x=60$
$600-3x=60$
$3x=540$
$x=180$
则乙种花数量为$300-180=120$（棵）
答：甲种花种植了180棵，乙种花种植了120棵。
(2)设安排$y$人种植甲种花，则安排$(11-y)$人种植乙种花，要同时完成任务，即种植甲的时间等于种植乙的时间，根据时间公式得：
$\frac{180}{5y}=\frac{120}{4(11-y)}$
化简方程：
$\frac{36}{y}=\frac{30}{11-y}$
交叉相乘得：
$36(11-y)=30y$
$396-36y=30y$
$66y=396$
$y=6$
经检验，$y=6$是所列方程的解，且符合题意，
则种植乙种花的人数为$11-6=5$（人）
答：应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花，才能确保同时完成各自的任务。
【答案】
(1)甲种花种植了180棵，乙种花种植了120棵；(2)应安排6人种植甲种花，5人种植乙种花。
【知识点】
一元一次方程应用、分式方程应用
【点评】
本题为实际应用类题目，第(1)问考查一元一次方程的基础应用，难度较低；第(2)问考查分式方程的应用，关键是找准“时间相等”的等量关系，需注意分式方程解的检验，整体属于中等难度的常规应用题，是初中数学方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
23.(10分)基础体验：
(1)若实数 $ a,b $ 满足 $ a+b=3,ab=1 $，求 $ a^2+b^2 $ 的值。
进阶实践：
(2)若实数 $ x $ 满足 $ x(5-x)=3 $，求 $ x^2+(5-x)^2 $ 的值。
对于(2)，甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出 $ x $ 的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难。乙同学：本题中的 $ x $ 与 $ (5-x) $ 隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第(1)题的形式求解。请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第(2)小题。
(1)若实数 $ a,b $ 满足 $ a+b=3,ab=1 $，求 $ a^2+b^2 $ 的值。
进阶实践：
(2)若实数 $ x $ 满足 $ x(5-x)=3 $，求 $ x^2+(5-x)^2 $ 的值。
对于(2)，甲和乙两位同学给出了以下看法，甲同学：已知条件中有一个方程，一个未知数，可以求出 $ x $ 的值，但是这个方程不是一元一次方程，有些困难。乙同学：本题中的 $ x $ 与 $ (5-x) $ 隐含了一个数量关系，通过设元的方法可以将其转化为第(1)题的形式求解。请你参考甲、乙两位同学的看法，解答第(2)小题。
答案
(1)因为$a+b=3$,$ab=1$,所以$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×1=9-2=7$。
(2)设$x=a$,$5-x=b$,所以$a+b=x+5-x=5$,因为$x(5-x)=3$,所以$ab=3$,所以$x^2+(5-x)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=25-6=19$。
(2)设$x=a$,$5-x=b$,所以$a+b=x+5-x=5$,因为$x(5-x)=3$,所以$ab=3$,所以$x^2+(5-x)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×3=25-6=19$。
解析
【分析】
第(1)小题，已知两数的和与积，求两数的平方和，可利用完全平方公式的变形$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，直接代入已知值计算即可。第(2)小题，参考乙同学的思路，通过设元将$x$和$(5 - x)$转化为两个数$a$和$b$，此时$a + b = 5$、$ab = 3$，与第(1)小题形式一致，再用完全平方公式变形求解，避免解复杂的一元二次方程，简化计算。
【解析】
(1) 已知$a + b = 3$，$ab = 1$，根据完全平方公式变形：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$= 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$
(2) 设$x = a$，$5 - x = b$，则：
$a + b = x + (5 - x) = 5$
由已知$x(5 - x) = 3$，得$ab = 3$
根据完全平方公式变形：
$x^2 + (5 - x)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$= 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$
【答案】
(1) $7$；(2) $19$
【知识点】
完全平方公式应用，代数式求值，整体代换
【点评】
本题分基础与进阶两部分，基础题直接考察完全平方公式的变形，进阶题通过整体代换将复杂问题转化为熟悉题型，体现转化思想，帮助学生巩固代数变形方法，提升解题灵活性。
【难度系数】
0.6
第(1)小题，已知两数的和与积，求两数的平方和，可利用完全平方公式的变形$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，直接代入已知值计算即可。第(2)小题，参考乙同学的思路，通过设元将$x$和$(5 - x)$转化为两个数$a$和$b$，此时$a + b = 5$、$ab = 3$，与第(1)小题形式一致，再用完全平方公式变形求解，避免解复杂的一元二次方程，简化计算。
【解析】
(1) 已知$a + b = 3$，$ab = 1$，根据完全平方公式变形：
$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$= 3^2 - 2×1 = 9 - 2 = 7$
(2) 设$x = a$，$5 - x = b$，则：
$a + b = x + (5 - x) = 5$
由已知$x(5 - x) = 3$，得$ab = 3$
根据完全平方公式变形：
$x^2 + (5 - x)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
代入数值计算：
$= 5^2 - 2×3 = 25 - 6 = 19$
【答案】
(1) $7$；(2) $19$
【知识点】
完全平方公式应用，代数式求值，整体代换
【点评】
本题分基础与进阶两部分，基础题直接考察完全平方公式的变形，进阶题通过整体代换将复杂问题转化为熟悉题型，体现转化思想，帮助学生巩固代数变形方法，提升解题灵活性。
【难度系数】
0.6
