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20.(8分)某学校开展了校园安全知识的宣传教育活动。为了解这次活动的效果,学校从1000名学生中随机抽取部分学生进行知识测试(测试满分100分,得分x均为不小于60的整数),并将测试成绩分为四个等第:基本合格(60≤x＜70),合格(70≤x＜80),良好(80≤x＜90),优秀(90≤x≤100),制作了如图统计图(部分信息未给出)。
由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求抽取学生的总人数,并补全频数分布直方图。
(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数。
(3)如果全校学生都参加测试,请你根据抽样测试的结果,估计该校获得“优秀”的学生有多少人?
由图中给出的信息解答下列问题:
(1)求抽取学生的总人数,并补全频数分布直方图。
(2)求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数。
(3)如果全校学生都参加测试,请你根据抽样测试的结果,估计该校获得“优秀”的学生有多少人?
答案
(1)抽取学生的总人数为$30÷15\%=200$(人),“合格”人数为$200-(30+80+40)=50$(人),补全频数分布直方图如图。
所抽取的学生知识测试成绩的频数直方图
(2)扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为$360°×\frac{80}{200}=144°$。
(3)$1000×\frac{40}{200}=200$(人)。答:估计该校获得“优秀”的学生有200人。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用“基本合格”的人数及其对应的百分比求出抽取学生的总人数，这是解题的基础；接着根据总人数计算“合格”的人数，补全频数分布直方图；再利用“良好”的人数占比求出其对应的扇形圆心角；最后通过样本中“优秀”的比例估计全校“优秀”的学生人数，核心是掌握两种统计图的联系及统计的基本计算方法。
【解析】
(1) 已知“基本合格”的人数为30人，占抽取总人数的15%，因此抽取学生的总人数为：$30÷15\% = 200$（人）；
“合格”的人数为总人数减去“基本合格”“良好”“优秀”的人数，即：$200 - (30 + 80 + 40) = 50$（人），据此补全频数分布直方图。
(2) “良好”的人数为80人，总人数200人，扇形圆心角的度数为：$360° × \frac{80}{200} = 144°$。
(3) 样本中“优秀”的人数占比为$\frac{40}{200}$，全校共1000名学生，因此估计该校“优秀”的学生人数为：$1000 × \frac{40}{200} = 200$（人）。
【答案】
(1)抽取学生的总人数为$30÷15\%=200$(人),“合格”人数为$200-(30+80+40)=50$(人),补全频数分布直方图如图。
(2)扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为$144°$。
(3)估计该校获得“优秀”的学生有200人。
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题结合频数分布直方图与扇形统计图考查统计的基本应用，解题关键是利用两种统计图的关联求出总人数，再逐步计算各部分数据，属于初中统计的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需利用“基本合格”的人数及其对应的百分比求出抽取学生的总人数，这是解题的基础；接着根据总人数计算“合格”的人数，补全频数分布直方图；再利用“良好”的人数占比求出其对应的扇形圆心角；最后通过样本中“优秀”的比例估计全校“优秀”的学生人数，核心是掌握两种统计图的联系及统计的基本计算方法。
【解析】
(1) 已知“基本合格”的人数为30人，占抽取总人数的15%，因此抽取学生的总人数为：$30÷15\% = 200$（人）；
“合格”的人数为总人数减去“基本合格”“良好”“优秀”的人数，即：$200 - (30 + 80 + 40) = 50$（人），据此补全频数分布直方图。
(2) “良好”的人数为80人，总人数200人，扇形圆心角的度数为：$360° × \frac{80}{200} = 144°$。
(3) 样本中“优秀”的人数占比为$\frac{40}{200}$，全校共1000名学生，因此估计该校“优秀”的学生人数为：$1000 × \frac{40}{200} = 200$（人）。
【答案】
(1)抽取学生的总人数为$30÷15\%=200$(人),“合格”人数为$200-(30+80+40)=50$(人),补全频数分布直方图如图。
(2)扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为$144°$。
(3)估计该校获得“优秀”的学生有200人。
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体
【点评】
本题结合频数分布直方图与扇形统计图考查统计的基本应用，解题关键是利用两种统计图的关联求出总人数，再逐步计算各部分数据，属于初中统计的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
21.(8分)如图，$∠ 1=∠ 2=40°$，$MN$平分$∠ EMB$。
(1)判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由。
(2)求$∠ 3$的度数。
(1)判断$AB$与$CD$的位置关系，并说明理由。
(2)求$∠ 3$的度数。
答案
(1)$AB// CD$,理由如下:因为$∠ 1=∠ AME$,$∠ 1=∠ 2$,所以$∠ AME=∠ 2$,所以$AB// CD$。
(2)因为$MN$平分$∠ EMB$,所以$∠ EMN=∠ BMN$,因为$∠ 1=40°$,所以$∠ EMN=∠ BMN=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$,因为$AB// DC$,所以$∠ 3+∠ BMN=180°$,所以$∠ 3=110°$。
(2)因为$MN$平分$∠ EMB$,所以$∠ EMN=∠ BMN$,因为$∠ 1=40°$,所以$∠ EMN=∠ BMN=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°$,因为$AB// DC$,所以$∠ 3+∠ BMN=180°$,所以$∠ 3=110°$。
解析
【分析】
要判断AB与CD的位置关系，需利用平行线的判定定理，通过对顶角的性质和已知角的等量关系推导同位角相等；求∠3的度数时，先结合邻补角、角平分线的性质求出相关角，再利用平行线的性质（同旁内角互补）计算。首先，∠1与∠AME是对顶角，故∠1=∠AME，结合∠1=∠2，可得∠AME=∠2，满足同位角相等，从而判定AB//CD；接着，先求∠EMB的度数，再由角平分线得∠BMN，最后利用AB//CD时同旁内角互补，求出∠3。
【解析】
(1) AB与CD的位置关系为平行，理由如下：
∵ ∠1与∠AME是对顶角，
∴ ∠1=∠AME（对顶角相等）。
又
∵ ∠1=∠2=40°，
∴ ∠AME=∠2（等量代换）。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
(2) 求∠3的度数：
∵ ∠1=40°，
∴ ∠EMB=180°−∠1=180°−40°=140°（邻补角的定义）。
∵ MN平分∠EMB，
∴ ∠BMN=½∠EMB=½×140°=70°（角平分线的定义）。
由(1)知AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠3+∠BMN=180°。
∴ ∠3=180°−∠BMN=180°−70°=110°。
【答案】
(1) AB//CD；(2) ∠3=110°
【知识点】
平行线的判定、角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质，结合角平分线的定义进行求解，属于基础几何题，重点考查学生对平行线相关定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断AB与CD的位置关系，需利用平行线的判定定理，通过对顶角的性质和已知角的等量关系推导同位角相等；求∠3的度数时，先结合邻补角、角平分线的性质求出相关角，再利用平行线的性质（同旁内角互补）计算。首先，∠1与∠AME是对顶角，故∠1=∠AME，结合∠1=∠2，可得∠AME=∠2，满足同位角相等，从而判定AB//CD；接着，先求∠EMB的度数，再由角平分线得∠BMN，最后利用AB//CD时同旁内角互补，求出∠3。
【解析】
(1) AB与CD的位置关系为平行，理由如下：
∵ ∠1与∠AME是对顶角，
∴ ∠1=∠AME（对顶角相等）。
又
∵ ∠1=∠2=40°，
∴ ∠AME=∠2（等量代换）。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
(2) 求∠3的度数：
∵ ∠1=40°，
∴ ∠EMB=180°−∠1=180°−40°=140°（邻补角的定义）。
∵ MN平分∠EMB，
∴ ∠BMN=½∠EMB=½×140°=70°（角平分线的定义）。
由(1)知AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠3+∠BMN=180°。
∴ ∠3=180°−∠BMN=180°−70°=110°。
【答案】
(1) AB//CD；(2) ∠3=110°
【知识点】
平行线的判定、角平分线的性质、平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质，结合角平分线的定义进行求解，属于基础几何题，重点考查学生对平行线相关定理的掌握与应用能力。
【难度系数】
0.7
