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三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)$(-2)^2 - (π - 3.14)^0 + (\dfrac{1}{2})^{-1}$；
(2)$(1 + a)(1 - a) + a(a + 3)$。
17.(8分)计算:
(1)$(-2)^2 - (π - 3.14)^0 + (\dfrac{1}{2})^{-1}$；
(2)$(1 + a)(1 - a) + a(a + 3)$。
答案
(1)原式$=4-1+2=3+2=5$。
(2)原式$=1-a^2+a^2+3a=3a+1$。
(2)原式$=1-a^2+a^2+3a=3a+1$。
解析
【分析】
第(1)小题需先分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算：负数的平方结果为正，非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于正指数幂的倒数；第(2)小题先利用平方差公式展开多项式乘法，再计算单项式乘多项式，最后合并同类项化简。
【解析】
(1) 计算各项：
$(-2)^2 = 4$，
$(π - 3.14)^0 = 1$（非零数的0次幂为1），
$(\dfrac{1}{2})^{-1} = 2$（负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$，故$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2^1=2$），
因此原式$=4 - 1 + 2 = 5$。
(2) 展开并化简：
$(1+a)(1-a) = 1 - a^2$（平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$），
$a(a+3) = a^2 + 3a$（单项式乘多项式法则），
因此原式$=1 - a^2 + a^2 + 3a = 3a + 1$（合并同类项，$-a^2$与$a^2$抵消）。
【答案】
(1) $5$；(2) $3a + 1$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的运算
【点评】
本题为基础运算题，考查幂运算和整式运算的基本法则，属于常规得分题，主要检验学生对基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
第(1)小题需先分别计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行加减运算：负数的平方结果为正，非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于正指数幂的倒数；第(2)小题先利用平方差公式展开多项式乘法，再计算单项式乘多项式，最后合并同类项化简。
【解析】
(1) 计算各项：
$(-2)^2 = 4$，
$(π - 3.14)^0 = 1$（非零数的0次幂为1），
$(\dfrac{1}{2})^{-1} = 2$（负整数指数幂：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$，故$(\dfrac{1}{2})^{-1}=2^1=2$），
因此原式$=4 - 1 + 2 = 5$。
(2) 展开并化简：
$(1+a)(1-a) = 1 - a^2$（平方差公式：$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$），
$a(a+3) = a^2 + 3a$（单项式乘多项式法则），
因此原式$=1 - a^2 + a^2 + 3a = 3a + 1$（合并同类项，$-a^2$与$a^2$抵消）。
【答案】
(1) $5$；(2) $3a + 1$
【知识点】
零指数幂与负整数指数幂、整式的运算
【点评】
本题为基础运算题，考查幂运算和整式运算的基本法则，属于常规得分题，主要检验学生对基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
18.(8分)解方程(组):
(1) $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ x + 2y = 4; \end{cases}$
(2) $\dfrac{4}{1 - x} = \dfrac{2x}{x - 1} + 1$。
(1) $\begin{cases} 2x - y = 3, \\ x + 2y = 4; \end{cases}$
(2) $\dfrac{4}{1 - x} = \dfrac{2x}{x - 1} + 1$。
答案
(1)由②可得$x=4-2y$,③ 将③代入①,得$2(4-2y)-y=3$,解得$y=1$,把$y=1$代入③,得$x=2$,所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2, \\ y=1 \end{cases}$。
(2)去分母得$-4=2x+x-1$,解得$x=-1$,经检验$x=-1$是分式方程的解。
(2)去分母得$-4=2x+x-1$,解得$x=-1$,经检验$x=-1$是分式方程的解。
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问是二元一次方程组，采用代入消元法求解：先从方程组的一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解，最后回代得到方程组的解；第(2)问是分式方程，需先去分母转化为整式方程，解整式方程后必须检验解是否使原分式分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x - y = 3&① \\ x + 2y = 4&② \end{cases}$，
由方程②变形得：$x = 4 - 2y$ ③，
将③代入方程①，得：$2(4 - 2y) - y = 3$，
展开计算：$8 - 4y - y = 3$，
合并同类项：$8 - 5y = 3$，
移项得：$-5y = -5$，
解得：$y = 1$，
把$y = 1$代入③，得：$x = 4 - 2×1 = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{4}{1 - x} = \dfrac{2x}{x - 1} + 1$，
两边同乘最简公分母$(x - 1)$（注意$1 - x = -(x - 1)$，去分母时符号变化），得：
$-4 = 2x + (x - 1)$，
整理得：$-4 = 3x - 1$，
移项得：$3x = -3$，
解得：$x = -1$，
检验：当$x = -1$时，$x - 1 = -2 ≠ 0$，故$x = -1$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$；(2) $x = -1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组的代入消元法和分式方程的解法，核心是掌握消元思想与分式方程的检验步骤，其中分式方程的检验是易失分点，需重点注意。
【难度系数】
0.7
本题包含两小问，第(1)问是二元一次方程组，采用代入消元法求解：先从方程组的一个方程中用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程消元，转化为一元一次方程求解，最后回代得到方程组的解；第(2)问是分式方程，需先去分母转化为整式方程，解整式方程后必须检验解是否使原分式分母为0，排除增根。
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x - y = 3&① \\ x + 2y = 4&② \end{cases}$，
由方程②变形得：$x = 4 - 2y$ ③，
将③代入方程①，得：$2(4 - 2y) - y = 3$，
展开计算：$8 - 4y - y = 3$，
合并同类项：$8 - 5y = 3$，
移项得：$-5y = -5$，
解得：$y = 1$，
把$y = 1$代入③，得：$x = 4 - 2×1 = 2$，
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$。
(2) 对于分式方程$\dfrac{4}{1 - x} = \dfrac{2x}{x - 1} + 1$，
两边同乘最简公分母$(x - 1)$（注意$1 - x = -(x - 1)$，去分母时符号变化），得：
$-4 = 2x + (x - 1)$，
整理得：$-4 = 3x - 1$，
移项得：$3x = -3$，
解得：$x = -1$，
检验：当$x = -1$时，$x - 1 = -2 ≠ 0$，故$x = -1$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$；(2) $x = -1$
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组的代入消元法和分式方程的解法，核心是掌握消元思想与分式方程的检验步骤，其中分式方程的检验是易失分点，需重点注意。
【难度系数】
0.7
19.(8分)先化简,再求值:$(\dfrac{2x-3}{x-2}-1)÷\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}$,然后再从1,2,3中选一个合适的数作为$x$并代入求值。
答案
原式$=\frac{x-1}{x-2}·\frac{x-2}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}$,要使分式有意义,$x≠1$,$x≠2$,所以当$x=3$时,原式$=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】先计算括号内的分式减法，通分后合并同类项；再将除法转化为乘法，对分子、分母因式分解后约分得到最简分式；接着根据分式有意义的条件（分母不为0）确定x的取值范围，排除使原式无意义的数，最后选取合适的x代入最简式求值。
【解析】原式$=(\dfrac{2x-3}{x-2}-1)÷\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}$
化简括号内：$\dfrac{2x-3}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2}=\dfrac{2x-3-(x-2)}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-2}$
将除法转化为乘法，对分子因式分解：$\dfrac{x-1}{x-2}÷\dfrac{(x-1)^2}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
约分后得：$\dfrac{1}{x-1}$
根据分式有意义，分母不为0，得$x≠1$且$x≠2$，故选取$x=3$
代入得：$\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】分式的化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】本题为分式化简求值的常规基础题，需熟练掌握分式运算规则，核心是确定x的取值范围，避免选取使原式无意义的数值，整体难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】原式$=(\dfrac{2x-3}{x-2}-1)÷\dfrac{x^2-2x+1}{x-2}$
化简括号内：$\dfrac{2x-3}{x-2}-\dfrac{x-2}{x-2}=\dfrac{2x-3-(x-2)}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-2}$
将除法转化为乘法，对分子因式分解：$\dfrac{x-1}{x-2}÷\dfrac{(x-1)^2}{x-2}=\dfrac{x-1}{x-2}·\dfrac{x-2}{(x-1)^2}$
约分后得：$\dfrac{1}{x-1}$
根据分式有意义，分母不为0，得$x≠1$且$x≠2$，故选取$x=3$
代入得：$\dfrac{1}{3-1}=\dfrac{1}{2}$
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】分式的化简求值，分式有意义的条件，因式分解
【点评】本题为分式化简求值的常规基础题，需熟练掌握分式运算规则，核心是确定x的取值范围，避免选取使原式无意义的数值，整体难度不大。
【难度系数】0.6
