24.(12分)小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究：
素材提供:“两块相同直角三角板,两条平行线”。三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放,其中∠ACB=∠DFE=90°,∠BAC=∠FDE=60°,l₁//l₂,点A,B在直线l₁上,点D,E在直线l₂上。
动手实践:将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形,也能得到许多有趣的结论。
问题解决:小宁将三角板ABC向右平移。
(1)如图1,当点F落在线段BC上时,求∠BFE的度数。
(2)如图2,在三角板ABC向右平移过程中,连结BF(初始状态E,F,B三点在同一直线上),记∠BFE=α,∠CBF=β。
①当点F在BC右侧时,试探究α与β的数量关系；
②小宁发现,当点F在BC左侧时,α与β的数量关系将发生改变,那么此时α与β的数量关系是。
(3)思维拓展:小宁和小波一起将两块三角板旋转,如图3,小宁将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转,同时小波将三角板DEF绕点D以每秒2°的速度逆时针旋转,设时间为t秒,∠1=t°,∠2=2t°,且0≤t≤60,若边AC与三角板DEF的一条边平行时,请直接写出所有满足条件的t的值。

(1)延长$BC$交直线$l_2$于点$M$,如图1,因为$l_1// l_2$且$∠ ABC=30°$,所以$∠ DMB=∠ ABC=30°$,又因为$∠ DEF=30°$,所以$∠ EFM=180°-∠ DMF-∠ DEF=120°$,$∠ BFE=180°-∠ EFM=60°$。
(2)①延长$EF$交$l_1$于点$G$,如图2,因为$∠ BFE=α$,所以$∠ BFG=180°-α$,因为$∠ ABC=30°$,$∠ DEF=30°$,$∠ CBF=β$,所以$∠ GBF=∠ GBC+∠ CBF=30°+β$,又因为$l_1// l_2$,所以$∠ FGB=∠ FED=30°$,因为$∠ FGB+∠ BFG+∠ GBF=180°$,所以$30°+30°+β+180°-α=180°$,所以$α-β=60°$;
②延长$DF$交$l_1$于点$P$,如图3,因为$l_1// l_2$,所以$∠ DPB+∠ PDE=180°$,所以$∠ DPB=180°-∠ PDE=180°-60°=120°$,因为$∠ BFE=α$,$∠ CBF=β$,$∠ ABC=30°$,所以$∠ PBF=30°-β$,$∠ PFB=180°-∠ DFE-∠ BFE=180°-90°-α=90°-α$,因为$∠ FPB+∠ PBF+∠ PFB=180°$,所以$120°+90°-α+30°-β=180°$,所以$α+β=60°$,故答案为$α+β=60°$。
(3)①当$AC// DF$时,延长$DF$交$l_1$于点$P$,交$AB$于点$Q$,如图4,所以$∠ BQF=∠ CAB=60°$,所以$∠ PQA=60°$,因为$l_1// l_2$,所以$∠ APQ=∠ FDE+2t°=60°+2t°$,因为$∠ PAQ+∠ APQ+∠ PQA=180°$,所以$t°+60°+60°+2t°=180°$,解得$t=20$;
②当$AC// DE$时,延长$AB$交$DE$于点$Q$,交$l_2$于点$P$,如图5,则$∠ AQE=∠ CAB=60°$,所以$∠ DQP=60°$,因为$l_1// l_2$,所以$∠ DPQ=∠ BAM=t°$,所以$2t°+60°+t°=180°$,解得$t=40$;
③当$AC// EF$时,作直线$EF$分别交$l_1$,$l_2$于点$M$,$P$,$AB$交$EF$于点$Q$,如图6,则$∠ BQF=∠ CAB=60°$,所以$∠ AQM=60°$,易得$∠ MPD=2t-30°$,因为$l_1// l_2$,所以$∠ AMQ=∠ MPD$,所以$∠ AMQ=2t°-30°$,因为$∠ QAM+∠ AMQ+∠ AQM=180°$,所以$t°+60°+2t°-30°=180°$,解得$t=50$。
综上,$t$的值为20或40或50。

【分析】
本题围绕平行线与三角板的角度关系展开，需通过作辅助线、利用平行线性质和三角形内角和定理推导角度关系，分情况讨论旋转时的平行条件。
(1) 延长BC交l₂，利用平行线同位角相等得∠DMB=∠ABC，再结合三角板的∠DEF，通过三角形内角和与平角关系求∠BFE；
(2) ①②分别延长EF、DF交l₁，利用平行线同位角相等，结合三角形内角和定理推导α与β的数量关系；
(3) 分AC与DF、DE、EF平行三种情况，根据旋转角度表示相关角，结合平行线性质和三角形内角和列方程求解t。
【解析】
(1) 延长BC交直线l₂于点M，如图1。
∵ l₁//l₂，∠ABC=30°，
∴ ∠DMB=∠ABC=30°。
又
∵ ∠DEF=30°，在△EFM中，∠EFM=180°-∠DMF-∠DEF=180°-30°-30°=120°，
∴ ∠BFE=180°-∠EFM=180°-120°=60°。
(2) ① 延长EF交l₁于点G，如图2。
∵ ∠BFE=α，
∴ ∠BFG=180°-α。
∵ l₁//l₂，
∴ ∠FGB=∠FED=30°。
又
∵ ∠ABC=30°，∠CBF=β，
∴ ∠GBF=∠ABC+∠CBF=30°+β。
在△FGB中，∠FGB+∠BFG+∠GBF=180°，即30°+(180°-α)+(30°+β)=180°，化简得α-β=60°。
② 延长DF交l₁于点P，如图3。
∵ l₁//l₂，
∴ ∠DPB=180°-∠PDE=180°-60°=120°。
∵ ∠CBF=β，∠ABC=30°，
∴ ∠PBF=30°-β。
∵ ∠DFE=90°，∠BFE=α，
∴ ∠PFB=180°-∠DFE-∠BFE=90°-α。
在△PFB中，∠DPB+∠PBF+∠PFB=180°，即120°+(30°-β)+(90°-α)=180°，化简得α+β=60°。
(3) 分三种情况：
① 当AC//DF时，延长DF交l₁于点P，交AB于点Q，如图4。
∵ AC//DF，
∴ ∠BQF=∠CAB=60°，
∴ ∠PQA=60°。
∵ l₁//l₂，∠FDE=60°，DEF绕D逆时针转2t°，
∴ ∠APQ=60°+2t°。
在△APQ中，∠PAQ=t°+∠BAC？不，∠PAQ是旋转的t°，∠PAQ=t°，∠APQ=60°+2t°，∠PQA=60°，故t°+60°+60°+2t°=180°，解得t=20。
② 当AC//DE时，延长AB交DE于点Q，交l₂于点P，如图5。
∵ AC//DE，
∴ ∠AQE=∠CAB=60°，
∴ ∠DQP=60°。
∵ l₁//l₂，∠BAM=t°，
∴ ∠DPQ=t°，又∠EDP=2t°，故2t°+60°+t°=180°，解得t=40。
③ 当AC//EF时，作直线EF分别交l₁、l₂于点M、P，AB交EF于点Q，如图6。
∵ AC//EF，
∴ ∠BQF=∠CAB=60°，
∴ ∠AQM=60°。
∵ DEF绕D逆时针转2t°，
∴ ∠MPD=2t°-30°，l₁//l₂得∠AMQ=∠MPD=2t°-30°。
在△AQM中，∠QAM=t°+∠BAC？不，∠QAM=t°，∠AMQ=2t°-30°，∠AQM=60°，故t°+60°+2t°-30°=180°，解得t=50。
综上，t的值为20或40或50。
【答案】
(1) 60°；
(2) ① α-β=60°；② α+β=60°；
(3) t的值为20或40或50。






【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的角度计算
【点评】
本题是平行线与三角板结合的探究题，需通过作辅助线转化角度关系，分情况讨论旋转时的平行条件，考查几何推理与分类讨论能力，解题关键是构造辅助线利用平行线性质。
【难度系数】
0.5