9. (2024·上海崇明区期末)如图，$AD$ 为$△ ABC$ 的角平分线，$DE// AB$ 交 $AC$ 于点 $E$，若$∠ BAC=100^{\circ }$，则$∠ ADE=\_\_\_\_\_\_^{\circ }$.

9.50 [解析]
∵AD为△ABC的角平分线，$∠BAC=100°$，
∴$∠BAD=∠CAD=\dfrac{1}{2}×100°=50°$.
∵$DE// AB$,
∴$∠ADE=∠BAD=50°$.

10. (2025·北京朝阳区期中)在$△ ABC$中,$AB＞AC$,
$D,E$是$BC$边上的两点,且$BD＜BE$,有下列四个推断:
①若$AD$是$△ ABC$的高,则$AE$可能是$△ ABC$的中线;
②若$AD$是$△ ABC$的中线,则$AE$可能是$△ ABC$的高;
③若$AD$是$△ ABC$的角平分线,则$AE$可能是$△ ABC$的中线;
④若$AD$是$△ ABC$的高,则$AE$不可能是$△ ABC$的角平分线.
上述推断中所有正确结论的序号是.

10.②④ [解析]①
∵AB＞AC,AD是△ABC的高,
∴AE不可能是△ABC的中线,此推断错误;
②AD是△ABC的中线,则AE可能是△ABC的高,此推断正确;
③AD是△ABC的角平分线,则AE不可能是△ABC的中线,此推断错误;
④AD是△ABC的高,则AE不可能是△ABC的角平分线,此推断正确.故所有正确结论的序号为②④.

11. 在$△ ABC$中,$D$是$BC$的中点,$AB=12$,$AC=8$.用剪刀从点$D$入手进行裁剪,若沿$DA$剪成两个三角形,则它们周长的差为;若点$E$在$AB$上,沿$DE$剪开得到两部分周长差为2,则$AE=$.

11.4 1或3 [解析]如图(1),
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴△ABD的周长-△ACD的周长=AB+BD+AD-(AC+CD+AD)=AB-AC=4,
如图(2),设AE=x,则BE=12-x,
①当四边形ACDE的周长-△BDE的周长=2时,即AE+ED+CD+AC-(BE+BD+DE)=2,
整理,得AE+AC-BE=2,
∴x+8-(12-x)=2,解得x=3;
②当△BDE的周长-四边形ACDE的周长=2时,即BE+BD+DE-(AE+ED+CD+AC)=2,
整理,得BE-AE-AC=2,
∴12-x-x-8=2,解得x=1.
综上所述,AE=1或3.

12. (2025·广东珠海香洲区期末) 如图，点 A,B,C 分别是线段 BD，CE,AF 的中点，若 $△ DEF$的面积为 $a$，则 $△ ABC$ 的面积为.(用含 $a$ 的式子表示)

12.$\dfrac{1}{7}a$ [解析]如图,连接AE,CD,令△ABC的面积为x,
∵点B为CE的中点,
∴$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}=x$.
同理可得$S_{△ ADE}=x$,$S_{△ ACD}=S_{△ FCD}=x$,$S_{△ FCE}=2x$,
∴$S_{△ DEF}=7x$.
又△DEF的面积为a,
∴7x=a,
则$x=\dfrac{1}{7}a$.
∴△ABC的面积为$\dfrac{1}{7}a$.

13. 在$△ ABC$中,$AB:AC=3:2,BC=AC+$1,若$△ ABC$的中线$BD$把$△ ABC$的周长分成两部分的比是$8:7$,求边$AB$,$AC$的长.

13. 设AB=3x,则AC=2x,AD=CD=x,BC=2x+1.分两种情况讨论:
①当$(AB+AD):(BC+CD)=8:7$,
即7AB=8BC+CD时,
由题意,得$7×3x=8(2x+1)+x$,
解得x=2,则AB=6,AC=4;
②当$(BC+CD):(AB+AD)=8:7$,
即7BC=8AB+AD时,
由题意,得$7(2x+1)=8×3x+x$,
解得$x=\dfrac{7}{11}$,则$AB=\dfrac{21}{11}$,$AC=\dfrac{14}{11}$.
综上所述,AB=6,AC=4或$AB=\dfrac{21}{11}$,$AC=\dfrac{14}{11}$.

14. 整体思想 中考新考法 满足条件的结论开放 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$AE$平分$∠ BAC$，$∠ B = 70°$，$∠ C = 30°$.
(1)求$∠ BAE$的度数.
(2)求$∠ DAE$的度数.
(3)探究:如果条件$∠ B = 70°$，$∠ C = 30°$改成$∠ B - ∠ C = 40°$，是否也能得出$∠ DAE$的度数? 若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由.

14.(1)
∵$∠B+∠C+∠BAC=180°$,
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°$.
∵AE平分$∠BAC$,$\therefore∠BAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=40°$.
(2)
∵$AD⊥BC$,$\therefore∠ADB=90°$.
又$∠ADB+∠B+∠BAD=180°$,
∴$∠BAD=180°-90°-70°=20°$,
∴$∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°$.
(3)能.理由如下:
∵$∠B+∠C+∠BAC=180°$,
∴$∠BAC=180°-∠B-∠C$.
∵AE平分$∠BAC$,$\therefore∠BAE=\dfrac{1}{2}∠BAC=\dfrac{1}{2}×(180°-∠B-∠C)=90°-\dfrac{1}{2}(∠B+∠C)$.
∵$AD⊥BC$,$\therefore∠ADB=90°$.
又$∠ADB+∠B+∠BAD=180°$,
∴$∠BAD=90°-∠B$,
∴$∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-\dfrac{1}{2}(∠B+∠C)-(90°-∠B)=\dfrac{1}{2}(∠B-∠C)$.
∵$∠B-∠C=40°$,$\therefore∠DAE=\dfrac{1}{2}×40°=20°$.

15. (2024·浙江温州期中) 如图, $A D$ 是 $△ A B C$ 的高,
$C E$ 是 $△ A C B$ 的角平分线, $F$ 是 $A C$ 的中点,
$∠ A C B=50°, ∠ B A D=70°$.
(1) 求 $∠ A E C$ 的度数.
(2) 若 $△ B C F$ 与 $△ B A F$ 的周长差为 $3, A B=7$, 能否求出 $B C$ 的值? 若能, 请写出理由和结果; 若不能, 请你补充条件并解答.

15.(1)
∵AD是△ABC的高,
∴$∠ADC=90°$.
∵$∠ACB=50°$,
∴$∠CAD=40°$.
又$∠BAD=70°$,
∴$∠BAC=70°+40°=110°$.
∵CE为$∠ACB$的平分线,
∴$∠ACE=\dfrac{1}{2}∠ACB=25°$,
∴$∠AEC=180°-∠BAC-∠ACE=180°-110°-25°=45°$.
(2)能求出BC的值.理由如下:
∵F是AC中点,
∴AF=FC.
∵△BCF与△BAF的周长差为3,
∴$(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3$,
∴$BC-AB=3$.
∵AB=7,
∴$BC=3+7=10$.