1. 将直角三角板 OAB 和直角三角板 OCD 如图摆放,点 O,B,D 都在直线 MN 上,点 A,C 在 MN 的上方,其中$∠ ABO=∠ CDO=90°,∠ AOB=30°,∠ COD=45°$.将三角板 OAB 绕点 O 以 5 度/秒的速度顺时针旋转,直至 OB 边第一次落在直线 MN 上,三角板 OAB 停止转动,设三角板 OAB 的旋转时间为 t 秒.

(1)若三角板 OCD 保持不动,则三角板 OAB 旋转秒时,OA 平分$∠ COD$.
(2)若三角板 OAB 旋转 5 秒时,三角板 OCD 绕点 O 以 3 度/秒的速度逆时针开始旋转,当三角板 OAB 停止转动时,三角板 OCD 也停止转动.
①三角板 OAB 旋转 10 秒时,OA 是否平分$∠ BOC$? 请说明理由;
②当 t 的值为多少时,射线 OA,OB,OC 中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角?

1.(1)25.5
【解析】如图①, 因为 OA 平分∠COD, 所以∠DOA=$\frac{1}{2}$∠COD=22.5°. 因为旋转, 所以∠MOA=30°+(5t)°.根据题意, 得 30°+(5t)°+22.5°=180°, 解得 t=25.5,即三角板 OAB 旋转 25.5 秒时,OA 平分∠COD.
(2)①OA 不是∠BOC 的平分线,理由如下:当 t=10 时,如图②,此时∠BOM=10×5=50°,∠DON=3×(10-5)=15°,所以∠AOC=180°-∠BOM-∠AOB-∠COD-∠DON=40°≠∠AOB,所以 OA 不是∠BOC 的平分线.
②当 OA 平分∠BOC 时,如图②,∠BOM=(5t)°,∠DON=[3(t-5)]°=(3t-15)°, 所以∠AOC=180°-∠BOM-∠AOB-∠COD-∠DON=(120-8t)°.根据题意,得 120-8t=30,解得 t=$\frac{45}{4}$;
当 OB 平分∠AOC 时,如图③,∠BOM=(5t)°,∠DON=[3(t-5)]°=(3t-15)°, 所以∠BOC=∠BOM-(180°-∠COD-∠DON)=(8t-150)°.根据题意,得 8t-150=30,解得 t=$\frac{45}{2}$;
当 OC 平分∠BOA 时,如图④,∠BOM=(5t)°,∠DON=[3(t-5)]°=(3t-15)°, 所以∠BOC=180°-∠BOM-∠COD-∠DON=(150-8t)°.根据题意,得 150-8t=$\frac{1}{2}$×30,解得 t=$\frac{135}{8}$.综上,当 t 的值为$\frac{45}{4}$或$\frac{45}{2}$或$\frac{135}{8}$时,射线 OA,OB,OC 中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角.