1. (2025·扬州期末)如图①是一个可折叠台灯.图②、图③是其平面示意图,支架AB,BC为固定支撑杆,支架OC可绕点C旋转调节.已知灯体顶角$∠DOE=52°$,顶角平分线OP始终与OC垂直.
(1)如图②,当支架OC旋转至水平位置时,OD恰好与BC平行,求支架BC与水平方向的夹角$∠θ$的度数;
(2)若将图②中的OC绕点C顺时针旋转$15°$到如图③的位置,求此时OD与水平方向的夹角$∠OQM$的度数.

1. (1) 因为OP平分∠DOE, ∠DOE=52°, 所以∠DOP=$\frac{1}{2}$∠DOE=26°. 因为OP⊥OC, 所以∠COP=90°, 所以∠COD=∠COP+∠DOP=90°+26°=116°.因为OD//BC,所以∠C=180°−∠COD=180°−116°=64°.因为OC//BF,所以∠CBF=∠C=64°,即∠θ=64°.

(2)如图,过点C作CG//MN,过点O作OH//MN,所以OH//CG,所以∠COH = ∠OCG = 15°. 因为∠COD = 116°, 所以∠HOQ = ∠COD+∠COH = 116°+15° = 131°. 因为OH // MN, 所以∠OQM + ∠HOQ = 180°, 所以∠OQM = 180° − ∠HOQ = 180°−131°=49°.

2. 如图，$∠ AOB=110°$，$△ COD$是一块含$30°$角（$∠ COD=30°$）的三角板，与$∠ AOB$摆在同一平面内，且$30°$角的顶点与$∠ AOB$的顶点$O$重合，边$OC$和边$OB$重合，$OE$平分$∠ AOC$，$OF$平分$∠ BOD$.（本题中的角均大于$0°$且小于$180°$）
(1) 如图①，边$OC$和边$OB$重合，三角板的另一边$OD$在$∠ AOB$的外部时，求$∠ EOF$的度数.
(2) 如图②，把三角板绕点$O$逆时针旋转$α$，即$∠ BOC=α$，且$0°＜α＜140°$.请根据条件完成探究：
①探究三角板旋转过程中，$∠ EOF$的大小是否改变？若有改变，请直接用含$α$的式子表示$∠ EOF$；若没有改变，请直接写出定值$∠ EOF$的度数.
②在三角板旋转过程中，是否存在$α$使得$∠ AOE+∠ DOF=\dfrac{3}{7}∠ AOD$？若存在，请求出$α$的值，若不存在，请说明理由.

2. (1)因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,∠AOB=110°,∠COD=30°,所以∠BOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = 55°, ∠COF = $\frac{1}{2}$∠COD = 15°, 所以∠EOF = ∠EOC + ∠COF = 55° + 15°=70°.
(2)①没有改变,∠EOF=70°. 【解析】当0°＜α＜30°时,所示,∠AOC=110°−α,∠BOD=30°−α.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,所以∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=55°−$\frac{1}{2}$α,∠BOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=15°−$\frac{1}{2}$α,所以∠EOF=∠EOC+∠BOC+∠BOF=70°;
当30°≤α＜110°时,所示,∠BOD=∠BOC−∠COD=α−30°.因为OF平分∠BOD,OE平分∠AOC,所以∠BOF=∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(α−30°)=$\frac{1}{2}$α−15°,∠AOE=∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(110°−α)=55°−$\frac{1}{2}$α,所以∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF=70°;
当110°≤α＜140°时,所示,此时∠AOC=∠BOC−∠AOB=α−110°,∠BOD=∠BOC−∠COD=α−30°.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,所以∠AOE = ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$(α−110°)=$\frac{1}{2}$α−55°,∠DOF = ∠BOF = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$(α−30°)=$\frac{1}{2}$α−15°,所以∠EOF = ∠BOC−∠COE−∠BOF = α−$\frac{1}{2}$α+55°−$\frac{1}{2}$α+15°=70°.综上,∠EOF的大小没有改变,且∠EOF=70°.
②存在.当0°＜α＜30°时,所示,此时∠AOC=∠AOB−∠BOC=110°−α,∠BOD=∠COD−∠BOC=30°−α.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,所以∠AOE = ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$(110°−α) = 55°−$\frac{1}{2}$α,∠DOF = ∠BOF = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$(30°−α) = 15°−$\frac{1}{2}$α,∠AOE+∠DOF = 55°−$\frac{1}{2}$α+15°−$\frac{1}{2}$α=70°−α,∠AOD=110°+30°−α=140°−α.因为∠AOE+∠DOF=$\frac{3}{7}$∠AOD,所以70°−α=$\frac{3}{7}$(140°−α),解得α=17.5°;
当30°≤α＜110°时,所示,此时∠BOD=∠BOC−∠COD=α−30°.因为OF平分∠BOD,OE平分∠AOC,所以∠BOF=∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(α−30°)=$\frac{1}{2}$α−15°,∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(110°−α)=55°−$\frac{1}{2}$α,所以∠AOE+∠DOF=55°−$\frac{1}{2}$α+$\frac{1}{2}$α−15°=40°,∠AOD=110°−α+30°=140°−α.因为∠AOE+∠DOF=$\frac{3}{7}$∠AOD,所以40°=$\frac{3}{7}$(140°−α),解得α=$(\frac{140}{3})°$;
当110°≤α＜140°时,所示,此时∠AOC=∠BOC−∠AOB=α−110°,∠BOD=∠BOC−∠COD=α−30°.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$(α−110°)=$\frac{1}{2}$α−55°,∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD=$\frac{1}{2}$(α−30°)=$\frac{1}{2}$α−15°,所以∠AOE+∠DOF=$\frac{1}{2}$α−55°+$\frac{1}{2}$α−15°=α−70°,∠AOD=30°−(α−110°)=140°−α.因为∠AOE+∠DOF=$\frac{3}{7}$∠AOD,所以α−70°=$\frac{3}{7}$(140°−α),解得α=91°(不符合题意,舍去).综上,α=17.5°或α=$(\frac{140}{3})°$.