2. （2025·盐城期末）【基本概念】
钟面角是指时钟的时针与分针所成的角.如图①，$∠ AOB$即为某一时刻的钟面角.一般地，$0°≤ ∠ AOB≤ 180°$.
【简单认识】
时针和分针在绕点$O$一直沿着顺时针方向旋转，时针每小时转动的角度是$30°$，分针每小时转动一周，角度为$360°$.由此可知：
(1)时针每分钟转动$°$，分针每分钟转动$°$，钟面显示的时间是8时15分，此时钟面角$∠ AOB=$$°$.
【类比探究】
(2)①如图②，甲，乙两人分别从相距$30\ \mathrm{km}$的$A,B$两地同时出发前往$C$地，若甲的速度为$60\ \mathrm{km/h}$，乙的速度为$40\ \mathrm{km/h}$，甲追上乙需花多长时间？设甲追上乙所花时间为$x\ \mathrm{h}$，则可列方程为；
②$12:00$时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？
【深入思考】
(3)如图③，记钟面上刻度为3的点为$C$，在某天的$1:00$到$2:00$之间，当钟面角的两条边时针$OA$、分针$OB$所在射线与射线$OC$中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时，求出此时对应的时刻.

2.(1)0.5 6 157.5
【解析】由题意得时针每分钟转动30°÷60=0.5°,分针每分钟转动360°÷60=6°,当钟面显示的时间为8时15分时,则钟面角∠AOB=8×30°-15×6°+0.5°×15=157.5°.
(2)①(60-40)x=30
②设经过m分钟会再次出现时针和分针重合的现象,由题意得(6°-0.5°)m=360°,解得 m=$65\frac{5}{11}$,所以至少经过$65\frac{5}{11}$分钟会再次出现时针和分针重合的现象.
(3)由题意可知:当时间为1:00时,钟面角∠AOB=30°,时间为3点时,钟面角∠BOC=90°,所以∠AOC=60°(此时皆为初始状态),如图所示,所以,在某天的1:00到2:00之间,当钟面角的两条边时针OA、分针OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时,可把题意理解为射线OA是以每分钟0.5°的速度在转动,射线OB是以每分钟6°的速度在转动,同时出发,设它们转动的时间为t分钟,则可分四种情况讨论:当射线OB在射线OA的左侧,且满足射线OA平分∠BOC时,即$\frac{1}{2}$∠BOC=∠AOC,则有$\frac{1}{2}(90°-6t)=60°-0.5t$,解得t为负数,不符合题意,故舍去;当射线OB在∠AOC内部,且满足射线OB平分∠AOC时,即$\frac{1}{2}$∠AOC=∠BOC,则有$\frac{1}{2}(60°-0.5t)=90°-6t$,解得t=$\frac{240}{23}$,此时对应的时刻为1时$10\frac{10}{23}$分;
当射线OB在∠AOC外部,且满足射线OC平分∠AOB时,即$\frac{1}{2}$∠AOB=∠AOC,则有$\frac{1}{2}(6°t-0.5°t-30°)=60°-0.5°t$,解得t=$\frac{300}{13}$,此时对应的时刻为1时$23\frac{1}{13}$分;当射线OB在∠AOC外部,且满足射线OA平分∠BOC时,即$\frac{1}{2}$∠BOC=∠AOC,则有$\frac{1}{2}(360°-6°t+90°)=60°-0.5°t$,解得t=66(不符合题意,舍去).综上所述:当钟面角的两条边时针OA、分针OB所在射线与射线OC中恰有一条是另两条射线所成角的平分线时,对应的时刻为1时$10\frac{10}{23}$分或1时$23\frac{1}{13}$分.