1. 如图①,点 O 为直线 AB 上一点,过 O 点作射线 OC,使∠BOC=120°,将一直角三角尺的直角顶点放在点 O 处,一边 OM 在射线 OB 上,另一边 ON 在直线 AB 的下方.
(1)如图②,将图①中的三角尺绕点 O 逆时针旋转,使边 OM 在∠BOC 的内部,且 OM 恰好平分∠BOC.此时∠AOM=°.
(2)如图③,继续将图②中的三角尺绕点 O 按逆时针方向旋转,使得 ON 在∠AOC 的内部.试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什么等量关系,并说明你的理由.
(3)将图①中的三角尺绕点 O 按每秒 12°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转过程中,若直线 ON 恰好平分∠AOC,则此时三角尺绕点 O 旋转的时间是多少秒?
(4)将图①中的三角尺绕点 O 按每秒 12°的速度沿逆时针方向旋转,同时射线 OC 绕点 O 以每秒 2°的速度沿逆时针方向旋转,旋转 30 秒后都停止.在旋转的过程中,若直线 ON 恰好平分∠AOC,则此时三角尺绕点 O 旋转的时间是秒.(直接写出答案)

1.(1) 120
【解析】因为 OM 恰好平分∠BOC,∠BOC=120°,所以∠BOM=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°,所以∠AOM=180°-∠BOM=180°-60°=120°.
(2)∠AOM-∠NOC=30°,理由如下：
因为∠BOC=120°,所以∠AOC=180°-∠BOC=60°.因为∠AON=∠NOM-∠AOM = ∠AOC - ∠NOC,所以 90°-∠AOM=60°-∠NOC,所以∠AOM-∠NOC=30°.
(3)设三角尺绕点 O 旋转的时间是 t 秒,因为∠BOC=120°,所以∠AOC=180°-∠BOC=60°,当 ON 在∠AOC外部时,如图①所示,因为直线 NH 平分∠AOC,所以∠AOH=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°,所以∠BON=∠AOH=30°,所以此时的旋转角度为 90°-30°=60°,所以 12t=60,解得 t=5;当 ON 在∠AOC 内部时,如图②所示,因为 ON 恰好平分∠AOC,所以∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°,所以此时旋转的角度为 90°+120°+30°=240°,所以 12t=240,解得 t=20.综上所述,当直线 ON 恰好平分∠AOC 时,三角尺绕点 O 旋转的时间是5秒或20秒.

(4)$\frac{60}{11}$或$\frac{240}{11}$
【解析】设运动时间为 m 秒时,直线 ON 恰好平分∠AOC,所以∠AOC=60°-(2m)°,当 ON 在∠AOC外部时,如图①所示,因为直线 NH 平分∠AOC,所以∠AOH=$\frac{1}{2}$∠AOC = 30°-m°,所以∠BON = ∠AOH = 30°-m°,所以此时的旋转角度为 90°-(30°-m°)=60°+m°,所以 12m°=60°+m°,解得m=$\frac{60}{11}$;
当 ON 在∠AOC 内部时,如图②所示,因为 ON 恰好平分∠AOC,所以∠CON=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°-m°,所以此时旋转的角度为 90° + 120° + 30° - m° + 2m° = 240° + m°,所以12m°=240°+m°,解得 m=$\frac{240}{11}$.
综上所述,当直线 ON 恰好平分∠AOC 时,三角尺绕点 O 旋转的时间是$\frac{60}{11}$秒或$\frac{240}{11}$秒.