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1. 关于 $ x $ 的方程 $ 2a(x+5)=3x+1 $ 无解,求 $ a $ 的值.
类型二 无数解
类型二 无数解
答案
由原方程得 2ax+10a-3x-1=0,即(2a-3)x=1-10a,要使方程无解,则 2a-3=0,且 1-10a≠0,解得 $ a=\dfrac{3}{2} $.
2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ a(2x-1)+3b=5x-3 $ 有无数解,求 $ a,b $ 的值.
答案
因为 $ a(2x-1)+3b=5x-3 $,所以 2ax-a+3b=5x-3,所以(2a-5)x=a-3b-3,要使方程有无数解,则 2a-5=0,a-3b-3=0,解得 $ a=\dfrac{5}{2},b=-\dfrac{1}{6} $.
3. (2025·重庆月考)若关于$x$的方程$5x+\dfrac{ax-2}{2}=5(x-1)+2$的解是正整数,且关于$y$的多项式$(a+1)y^2 - ay -1$是二次三项式,那么所有满足条件的整数$a$的值之和是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
-6
【解析】解方程 $ 5x+\dfrac{ax-2}{2}=5(x-1)+2 $ 得 $ x=-\dfrac{4}{a} $,又因为关于 $ x $ 的方程的解是正整数,所以 $ a=-1 $ 或 $ a=-2 $ 或 $ a=-4 $.因为关于 $ y $ 的多项式 $ (a+1)y^2-ay-1 $ 是二次三项式,所以 $ a+1≠0 $ 且 $ a≠0 $,解得 $ a≠-1 $ 且 $ a≠0 $.综上所述,$ a=-2 $ 或 $ a=-4 $,故 $ -2-4=-6 $.
【解析】解方程 $ 5x+\dfrac{ax-2}{2}=5(x-1)+2 $ 得 $ x=-\dfrac{4}{a} $,又因为关于 $ x $ 的方程的解是正整数,所以 $ a=-1 $ 或 $ a=-2 $ 或 $ a=-4 $.因为关于 $ y $ 的多项式 $ (a+1)y^2-ay-1 $ 是二次三项式,所以 $ a+1≠0 $ 且 $ a≠0 $,解得 $ a≠-1 $ 且 $ a≠0 $.综上所述,$ a=-2 $ 或 $ a=-4 $,故 $ -2-4=-6 $.
4. 已知 $ a,b $ 为定值,关于 $ x $ 的方程 $ \frac{kx+a}{3}=1-\frac{2x+bk}{6} $,无论 $ k $ 为何值,它的解总是 $ x=2 $,求 $ a+b $ 的值.
答案
把 $ x=2 $ 代入 $ \dfrac{kx+a}{3}=1-\dfrac{2x+bk}{6} $,得 $ \dfrac{2k+a}{3}=1-\dfrac{4+bk}{6} $,所以 2(2k+a)=6-(4+bk),整理得 $ (4+b)k+2a-2=0 $,因为无论 $ k $ 为何值,它的解总是 $ x=2 $,所以 4+b=0,2a-2=0,解得 $ b=-4 $, $ a=1 $,所以 $ a+b=-3 $.
