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1. ★★★ 若方程$3(x-1)+8=x+3$与关于$x$的方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解相同，则$k$的值为________.
答案
解 3(x-1)+8=x+3 得 x=-1,把 x=-1 代入$\frac{x+k}{5}=\frac{2-x}{3}$,得$\frac{-1+k}{5}=\frac{2-(-1)}{3}$,解得 k=6.
2. (2025·泰州期中)若关于$x$的一元一次方程$\dfrac{x}{1234}-3=2x+k$的解为$x=-11$,则关于$y$的一元一次方程$\dfrac{1}{1234}(2y-1)-1=4y+k$的解为$y=\_\_\_\_\_\_$.
答案
设 a=2y-1,则方程$\frac{1}{1234}(2y-1)-1=4y+k$可变为$\frac{1}{1234}a-1=2a+2+k$,即$\frac{1}{1234}a-3=2a+k$.因为关于 x 的一元一次方程$\frac{x}{1234}-3=2x+k$的解为 x=-11,所以关于 a 的一元一次方程$\frac{1}{1234}a-3=2a+k$的解为 a=-11,所以 2y-1=-11,所以 y=-5.
3. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 5 - \frac{kx + 2}{3} = 3k - \frac{2 + 2x}{4} $ 与方程 $ 2 - \frac{1 + x}{6} = 3 + x $ 的解互为相反数，则 $ k $ 的值为 ______。
答案
解 $2-\frac{1+x}{6}=3+x$ 得 x=-1,因为关于 x 的方程$5-\frac{kx+2}{3}=3k-\frac{2+2x}{4}$与方程$2-\frac{1+x}{6}=3+x$的解互为相反数,所以 x=1 是方程$5-\frac{kx+2}{3}=3k-\frac{2+2x}{4}$的解,所以 $5-\frac{k+2}{3}=3k-1$, 解得 $k=\frac{8}{5}$.
4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 3x - 2 = \dfrac{3x + 2}{2} $ 与 $ 3x - m = x + \dfrac{m}{3} $ 的解互为倒数，求 $ m $ 的值.
答案
解方程 $3x-2=\frac{3x+2}{2}$ 得 x=2, 因为方程 $3x-2=\frac{3x+2}{2}$ 与$3x-m=x+\frac{m}{3}$的解互为倒数,所以 $3x-m=x+\frac{m}{3}$ 的解为 $x=\frac{1}{2}$, 所以 $\frac{3}{2}-m=\frac{1}{2}+\frac{m}{3}$, 解得 $m=\frac{3}{4}$.
5. 若关于x的方程$13m+x=59$的解是关于x的方程$\frac{2x-3m}{3}-\frac{x-1}{4}=1$的解的5倍,求m的值.
答案
由方程 13m+x=59 得 x=59-13m, 由方程$\frac{2x-3m}{3}-\frac{x-1}{4}=1$得 $x=\frac{9+12m}{5}$, 由题意得 $59-13m=5×\frac{9+12m}{5}$, 解得 m=2.
6. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 5x - 2m = 4(x - 1) + 1 $ 的解比关于 $ x $ 的方程 $ 2(x + 1) - m = x - 2(m - 2) $ 的解大4, 求 $ m $ 的值.
答案
由方程 5x-2m=4(x-1)+1 得 x=-3+2m, 由方程 2(x+1)-m=x-2(m-2) 得 x=-m+2, 根据题意可知 -3+2m=-m+2+4, 所以 3m=9, 解得 m=3.
7. 小明解关于 $ x $ 的方程$\frac{2x - 1}{5} + 1 = \frac{x + a}{2}$时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为 $ x = 4 $，试求 $ a $ 的值，并正确求出方程的解.
答案
由题意可知, 在去分母时, 方程左边的 1 没有乘 10, 则2(2x-1)+1=5(x+a), 把 x=4 代入得 a=-1, 将 a=-1 代入原方程得$\frac{2x-1}{5}+1=\frac{x-1}{2}$, 去分母得 4x-2+10=5x-5, 移项、合并同类项得 -x=-13, 解得 x=13.
