登录
三、解答题(本大题共5小题,共52分.解答应写出过程)
17. (10分)计算:(1)$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$; (2)$7a\sqrt{8a} - 4a^2\sqrt{\frac{1}{8a}} + 7a\sqrt{2a}$.
17. (10分)计算:(1)$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$; (2)$7a\sqrt{8a} - 4a^2\sqrt{\frac{1}{8a}} + 7a\sqrt{2a}$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式的运算,正确化简二次根式是解题的关键.
【解析】(1)$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$= 0$.
(2)$7a\sqrt{8a} - 4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}} + 7a\sqrt{2a}$
$= 7a × 2\sqrt{2a} - 4a^2 × \dfrac{\sqrt{2a}}{4a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 14a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 20a\sqrt{2a}$.
【解析】(1)$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$= 0$.
(2)$7a\sqrt{8a} - 4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}} + 7a\sqrt{2a}$
$= 7a × 2\sqrt{2a} - 4a^2 × \dfrac{\sqrt{2a}}{4a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 14a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 20a\sqrt{2a}$.
解析
【分析】本题考查二次根式的加减运算，解题时需先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），化简过程中要注意系数与根式的正确运算，避免符号或计算错误。
【解析】(1)$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$= 0$；
(2)$7a\sqrt{8a} - 4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}} + 7a\sqrt{2a}$
$= 7a × 2\sqrt{2a} - 4a^2 × \dfrac{\sqrt{2a}}{4a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 14a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 20a\sqrt{2a}$。
【答案】(1)$0$；(2)$20a\sqrt{2a}$
【知识点】二次根式的化简、二次根式的加减运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题型，重点考查最简二次根式的化简及同类二次根式的合并，解题关键是准确化简每个二次根式，计算时需注意系数的运算，整体难度不大，适合巩固二次根式的运算能力。
【难度系数】0.7
【解析】(1)$\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$
$= 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + \sqrt{2}$
$= 0$；
(2)$7a\sqrt{8a} - 4a^2\sqrt{\dfrac{1}{8a}} + 7a\sqrt{2a}$
$= 7a × 2\sqrt{2a} - 4a^2 × \dfrac{\sqrt{2a}}{4a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 14a\sqrt{2a} - a\sqrt{2a} + 7a\sqrt{2a}$
$= 20a\sqrt{2a}$。
【答案】(1)$0$；(2)$20a\sqrt{2a}$
【知识点】二次根式的化简、二次根式的加减运算
【点评】本题是二次根式运算的基础题型，重点考查最简二次根式的化简及同类二次根式的合并，解题关键是准确化简每个二次根式，计算时需注意系数的运算，整体难度不大，适合巩固二次根式的运算能力。
【难度系数】0.7
18. (10 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,E,F 分别为边 AD,BC 的中点,对角线 AC 分别交 BE,DF 于点 G,H. 求证:$AG=CH$.
第 18 题图
第 18 题图
答案
18. 【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质,全等三角形的判定和性质.
【解析】证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD // BC$,$AD = BC$,$\therefore ∠ ADF = ∠ CFH$,$∠ EAG = ∠ FCH$.
$\because E,F$分别为边$AD,BC$的中点,
$\therefore AE = DE = \dfrac{1}{2}AD$,$CF = BF = \dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore AE = CF$,$DE // BF$,$DE = BF$,
$\therefore$ 四边形$BFDE$是平行四边形,
$\therefore BE // DF$,$\therefore ∠ AEG = ∠ ADF$,$\therefore ∠ AEG = ∠ CFH$.
在$△ AEG$和$△ CFH$中,$\begin{cases}∠ EAG = ∠ FCH, \\AE = CF, \\∠ AEG = ∠ CFH,\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ CFH(\mathrm{ASA})$,$\therefore AG = CH$.
【解析】证明:$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD // BC$,$AD = BC$,$\therefore ∠ ADF = ∠ CFH$,$∠ EAG = ∠ FCH$.
$\because E,F$分别为边$AD,BC$的中点,
$\therefore AE = DE = \dfrac{1}{2}AD$,$CF = BF = \dfrac{1}{2}BC$,
$\therefore AE = CF$,$DE // BF$,$DE = BF$,
$\therefore$ 四边形$BFDE$是平行四边形,
$\therefore BE // DF$,$\therefore ∠ AEG = ∠ ADF$,$\therefore ∠ AEG = ∠ CFH$.
在$△ AEG$和$△ CFH$中,$\begin{cases}∠ EAG = ∠ FCH, \\AE = CF, \\∠ AEG = ∠ CFH,\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ CFH(\mathrm{ASA})$,$\therefore AG = CH$.
解析
【分析】要证明$AG=CH$，可通过证明三角形全等实现。首先利用平行四边形$ABCD$的性质，得到$AD// BC$且$AD=BC$，结合$E$、$F$分别为$AD$、$BC$中点，推出$AE=CF$；再由$DE// BF$且$DE=BF$，判定四边形$BFDE$是平行四边形，进而得到$BE// DF$，推出对应角相等；最后利用“角边角（ASA）”证明$△ AEG≌△ CFH$，即可得出$AG=CH$。
【解析】证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC$，$AD = BC$，
$\therefore ∠ EAG = ∠ FCH$，$∠ ADF = ∠ CFH$。
$\because E$，$F$分别为边$AD$，$BC$的中点，
$\therefore AE = DE = \dfrac{1}{2}AD$，$CF = BF = \dfrac{1}{2}BC$，
$\therefore AE = CF$，且$DE // BF$，$DE = BF$，
$\therefore$ 四边形$BFDE$是平行四边形，
$\therefore BE // DF$，
$\therefore ∠ AEG = ∠ ADF$，
$\therefore ∠ AEG = ∠ CFH$。
在$△ AEG$和$△ CFH$中，
$\begin{cases}∠ EAG = ∠ FCH, \\AE = CF, \\∠ AEG = ∠ CFH,\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ CFH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AG = CH$。
【答案】$AG=CH$
【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定（ASA）
【点评】本题是平行四边形与全等三角形结合的基础证明题，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件推导全等所需的边、角关系，能有效考查学生对几何核心知识点的应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】证明：$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD // BC$，$AD = BC$，
$\therefore ∠ EAG = ∠ FCH$，$∠ ADF = ∠ CFH$。
$\because E$，$F$分别为边$AD$，$BC$的中点，
$\therefore AE = DE = \dfrac{1}{2}AD$，$CF = BF = \dfrac{1}{2}BC$，
$\therefore AE = CF$，且$DE // BF$，$DE = BF$，
$\therefore$ 四边形$BFDE$是平行四边形，
$\therefore BE // DF$，
$\therefore ∠ AEG = ∠ ADF$，
$\therefore ∠ AEG = ∠ CFH$。
在$△ AEG$和$△ CFH$中，
$\begin{cases}∠ EAG = ∠ FCH, \\AE = CF, \\∠ AEG = ∠ CFH,\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ CFH(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AG = CH$。
【答案】$AG=CH$
【知识点】平行四边形的性质、全等三角形的判定（ASA）
【点评】本题是平行四边形与全等三角形结合的基础证明题，解题关键是利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件推导全等所需的边、角关系，能有效考查学生对几何核心知识点的应用能力。
【难度系数】0.5
19. (10分)已知$-3 ＜ x ＜ 2$,化简$|x - 2| - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$.
答案
19. 【点拨】本题考查绝对值和二次根式的化简以及完全平方公式.
【解析】$\because -3 ＜ x ＜ 2$,$\therefore x - 2 ＜ 0$,$x - 3 ＜ 0$,$2x - 5 ＜ 0$.
$\therefore |x - 2| - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$
$= 2 - x - (3 - x) + \sqrt{(2x - 5)^2}$
$= 2 - x - (3 - x) + (5 - 2x)$
$= 2 - x - 3 + x + 5 - 2x$
$= 4 - 2x$.
【解析】$\because -3 ＜ x ＜ 2$,$\therefore x - 2 ＜ 0$,$x - 3 ＜ 0$,$2x - 5 ＜ 0$.
$\therefore |x - 2| - \sqrt{(x - 3)^2} + \sqrt{4x^2 - 20x + 25}$
$= 2 - x - (3 - x) + \sqrt{(2x - 5)^2}$
$= 2 - x - (3 - x) + (5 - 2x)$
$= 2 - x - 3 + x + 5 - 2x$
$= 4 - 2x$.
解析
【分析】要化简含绝对值和二次根式的式子，需先根据已知x的范围判断每个绝对值内、二次根式对应代数式的正负性：绝对值的性质是|a|=a（a≥0），|a|=-a（a＜0）；二次根式√a²=|a|，需先确定a的正负。本题中，先分别判断x-2、x-3、2x-5的正负，再利用上述性质化简，最后合并同类项即可。
【解析】
∵ -3 ＜ x ＜ 2，
∴ x - 2 ＜ 0，x - 3 ＜ 0，2x - 5 ＜ 0，
∴ |x - 2| - √(x - 3)² + √(4x² - 20x + 25)
= |x - 2| - |x - 3| + √[(2x - 5)²]
= (2 - x) - (3 - x) + (5 - 2x)
= 2 - x - 3 + x + 5 - 2x
= 4 - 2x。
【答案】4 - 2x
【知识点】绝对值化简，二次根式化简，完全平方公式
【点评】本题考查绝对值与二次根式的化简，核心是利用已知条件判断代数式的正负，再结合绝对值、二次根式的性质去掉符号，计算时需注意符号的处理，属于基础代数运算题。
【难度系数】0.6
【解析】
∵ -3 ＜ x ＜ 2，
∴ x - 2 ＜ 0，x - 3 ＜ 0，2x - 5 ＜ 0，
∴ |x - 2| - √(x - 3)² + √(4x² - 20x + 25)
= |x - 2| - |x - 3| + √[(2x - 5)²]
= (2 - x) - (3 - x) + (5 - 2x)
= 2 - x - 3 + x + 5 - 2x
= 4 - 2x。
【答案】4 - 2x
【知识点】绝对值化简，二次根式化简，完全平方公式
【点评】本题考查绝对值与二次根式的化简，核心是利用已知条件判断代数式的正负，再结合绝对值、二次根式的性质去掉符号，计算时需注意符号的处理，属于基础代数运算题。
【难度系数】0.6
20. (10分)(1)如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,E,F分别是AB,CD的中点,我们可以连接AF并延长与BC的延长线相交于点G,然后运用三角形的中位线来证明:$EF=\frac{1}{2}(AD+BC)$,请你完成证明过程;
(2)如图2,在四边形ABCD中,$AD// BC,∠ B=90°,AD=3,BC=4,CD=7$,E是AB的中点,求点E到CD的距离EH的长.
(2)如图2,在四边形ABCD中,$AD// BC,∠ B=90°,AD=3,BC=4,CD=7$,E是AB的中点,求点E到CD的距离EH的长.
答案
20. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质,准确作出辅助线是解题的关键.
【解析】(1)证明:$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ DAF = ∠ G$,$∠ ADF = ∠ GCF$.
又$\because F$是$CD$的中点,$\therefore DF = CF$.
在$△ ADF$和$△ GCF$中,$\begin{cases}∠ DAF = ∠ G, \\∠ ADF = ∠ GCF, \\DF = CF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ GCF(\mathrm{AAS})$,$\therefore AD = CG$,$AF = GF$.
又$\because E$是$AB$的中点,
$\therefore EF$是$△ ABG$的中位线,$\therefore EF = \dfrac{1}{2}BG$.
又$\because BG = BC + CG$,$AD = CG$,
$\therefore EF = \dfrac{1}{2}(AD + BC)$.
(2)如图,过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$,则四边形$ABND$为矩形,
$\therefore AB = DN$,$BN = AD = 3$,$\therefore NC = 1$,$\therefore DN = \sqrt{CD^2 - NC^2} = 4\sqrt{3}$,
$\therefore EB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}DN = 2\sqrt{3}$.
连接$DE$并延长交$CB$的延长线于点$K$,连接$EC$.
$\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = BE$.
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ BKE$,$∠ A = ∠ EBK$,$\therefore △ ADE ≌ △ BKE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BK = AD = 3$,$DE = KE$,
$\therefore CK = CB + BK = 7$,$\therefore CD = CK$.
又$\because DE = EK$,$\therefore ∠ ECK = ∠ ECD$,即$EC$平分$∠ DCK$.
$\because EB ⊥ BC$,$EH ⊥ CD$,
$\therefore EH = EB = 2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证明梯形中位线公式，需通过延长AF交BC的延长线于点G，利用AD//BC的条件证明△ADF与△GCF全等，得到AD=CG、AF=GF，进而将EF转化为△ABG的中位线，借助三角形中位线定理推导结论；
(2) 求点E到CD的距离，先作DN⊥BC构造矩形ABND，算出AB的长度，再延长DE交CB的延长线于点K，证明△ADE与△BKE全等，得到CD=CK，利用等腰三角形三线合一得EC平分∠DCK，结合角平分线性质即可求出EH的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD//BC，
∴ ∠DAF = ∠G，∠ADF = ∠GCF。
又
∵ F是CD的中点，
∴ DF = CF。
在△ADF和△GCF中，
$\begin{cases}∠DAF = ∠G, \\∠ADF = ∠GCF, \\DF = CF,\end{cases}$
∴ △ADF ≌ △GCF（AAS），
∴ AD = CG，AF = GF。
又
∵ E是AB的中点，
∴ EF是△ABG的中位线，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BG。
又
∵ BG = BC + CG，AD = CG，
∴ EF = $\frac{1}{2}(AD + BC)$。
(2) 解：过点D作DN⊥BC于点N，则四边形ABND为矩形，
∴ AB = DN，BN = AD = 3，
∴ NC = BC - BN = 4 - 3 = 1，
∴ DN = $\sqrt{CD^2 - NC^2} = \sqrt{7^2 - 1^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ EB = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DN = 2\sqrt{3}$。
连接DE并延长交CB的延长线于点K，连接EC。
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠BKE，∠A = ∠EBK，
∴ △ADE ≌ △BKE（AAS），
∴ BK = AD = 3，DE = KE，
∴ CK = CB + BK = 4 + 3 = 7，
∴ CD = CK。
又
∵ DE = EK，
∴ EC平分∠DCK，即∠ECK = ∠ECD。
∵ EB⊥BC，EH⊥CD，
∴ EH = EB = 2$\sqrt{3}$。
【答案】
20. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，准确作出辅助线是解题的关键。
【解析】(1)证明:$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ DAF = ∠ G$,$∠ ADF = ∠ GCF$.
又$\because F$是$CD$的中点,$\therefore DF = CF$.
在$△ ADF$和$△ GCF$中,$\begin{cases}∠ DAF = ∠ G, \\∠ ADF = ∠ GCF, \\DF = CF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ GCF(\mathrm{AAS})$,$\therefore AD = CG$,$AF = GF$.
又$\because E$是$AB$的中点,
$\therefore EF$是$△ ABG$的中位线,$\therefore EF = \dfrac{1}{2}BG$.
又$\because BG = BC + CG$,$AD = CG$,
$\therefore EF = \dfrac{1}{2}(AD + BC)$.
(2)如图,过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$,则四边形$ABND$为矩形,
$\therefore AB = DN$,$BN = AD = 3$,$\therefore NC = 1$,$\therefore DN = \sqrt{CD^2 - NC^2} = 4\sqrt{3}$,
$\therefore EB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}DN = 2\sqrt{3}$.
连接$DE$并延长交$CB$的延长线于点$K$,连接$EC$.
$\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = BE$.
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ BKE$,$∠ A = ∠ EBK$,$\therefore △ ADE ≌ △ BKE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BK = AD = 3$,$DE = KE$,
$\therefore CK = CB + BK = 7$,$\therefore CD = CK$.
又$\because DE = EK$,$\therefore ∠ ECK = ∠ ECD$,即$EC$平分$∠ DCK$.
$\because EB ⊥ BC$,$EH ⊥ CD$,
$\therefore EH = EB = 2\sqrt{3}$.
【知识点】
全等三角形判定、三角形中位线定理、角平分线性质
【点评】
本题是梯形相关的综合题，核心是通过构造辅助线将梯形问题转化为三角形问题，利用全等三角形和中位线、角平分线的性质解决问题，辅助线的构造是解题的关键，考查学生的几何转化能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明梯形中位线公式，需通过延长AF交BC的延长线于点G，利用AD//BC的条件证明△ADF与△GCF全等，得到AD=CG、AF=GF，进而将EF转化为△ABG的中位线，借助三角形中位线定理推导结论；
(2) 求点E到CD的距离，先作DN⊥BC构造矩形ABND，算出AB的长度，再延长DE交CB的延长线于点K，证明△ADE与△BKE全等，得到CD=CK，利用等腰三角形三线合一得EC平分∠DCK，结合角平分线性质即可求出EH的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD//BC，
∴ ∠DAF = ∠G，∠ADF = ∠GCF。
又
∵ F是CD的中点，
∴ DF = CF。
在△ADF和△GCF中，
$\begin{cases}∠DAF = ∠G, \\∠ADF = ∠GCF, \\DF = CF,\end{cases}$
∴ △ADF ≌ △GCF（AAS），
∴ AD = CG，AF = GF。
又
∵ E是AB的中点，
∴ EF是△ABG的中位线，
∴ EF = $\frac{1}{2}$BG。
又
∵ BG = BC + CG，AD = CG，
∴ EF = $\frac{1}{2}(AD + BC)$。
(2) 解：过点D作DN⊥BC于点N，则四边形ABND为矩形，
∴ AB = DN，BN = AD = 3，
∴ NC = BC - BN = 4 - 3 = 1，
∴ DN = $\sqrt{CD^2 - NC^2} = \sqrt{7^2 - 1^2} = 4\sqrt{3}$，
∴ EB = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DN = 2\sqrt{3}$。
连接DE并延长交CB的延长线于点K，连接EC。
∵ E是AB的中点，
∴ AE = BE。
∵ AD//BC，
∴ ∠ADE = ∠BKE，∠A = ∠EBK，
∴ △ADE ≌ △BKE（AAS），
∴ BK = AD = 3，DE = KE，
∴ CK = CB + BK = 4 + 3 = 7，
∴ CD = CK。
又
∵ DE = EK，
∴ EC平分∠DCK，即∠ECK = ∠ECD。
∵ EB⊥BC，EH⊥CD，
∴ EH = EB = 2$\sqrt{3}$。
【答案】
20. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，准确作出辅助线是解题的关键。
【解析】(1)证明:$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ DAF = ∠ G$,$∠ ADF = ∠ GCF$.
又$\because F$是$CD$的中点,$\therefore DF = CF$.
在$△ ADF$和$△ GCF$中,$\begin{cases}∠ DAF = ∠ G, \\∠ ADF = ∠ GCF, \\DF = CF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ GCF(\mathrm{AAS})$,$\therefore AD = CG$,$AF = GF$.
又$\because E$是$AB$的中点,
$\therefore EF$是$△ ABG$的中位线,$\therefore EF = \dfrac{1}{2}BG$.
又$\because BG = BC + CG$,$AD = CG$,
$\therefore EF = \dfrac{1}{2}(AD + BC)$.
(2)如图,过点$D$作$DN ⊥ BC$于点$N$,则四边形$ABND$为矩形,
$\therefore AB = DN$,$BN = AD = 3$,$\therefore NC = 1$,$\therefore DN = \sqrt{CD^2 - NC^2} = 4\sqrt{3}$,
$\therefore EB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}DN = 2\sqrt{3}$.
连接$DE$并延长交$CB$的延长线于点$K$,连接$EC$.
$\because E$是$AB$的中点,$\therefore AE = BE$.
$\because AD // BC$,
$\therefore ∠ ADE = ∠ BKE$,$∠ A = ∠ EBK$,$\therefore △ ADE ≌ △ BKE(\mathrm{AAS})$,
$\therefore BK = AD = 3$,$DE = KE$,
$\therefore CK = CB + BK = 7$,$\therefore CD = CK$.
又$\because DE = EK$,$\therefore ∠ ECK = ∠ ECD$,即$EC$平分$∠ DCK$.
$\because EB ⊥ BC$,$EH ⊥ CD$,
$\therefore EH = EB = 2\sqrt{3}$.
【知识点】
全等三角形判定、三角形中位线定理、角平分线性质
【点评】
本题是梯形相关的综合题，核心是通过构造辅助线将梯形问题转化为三角形问题，利用全等三角形和中位线、角平分线的性质解决问题，辅助线的构造是解题的关键，考查学生的几何转化能力。
【难度系数】
0.6
