登录
21. (12分)如图,在以O为原点的平面直角坐标系的第一象限中,有一个$8×8$的正方形网格,每个小正方形的顶点为格点.$△ ABC$的顶点、点D均为格点,点M在线段AB上,请你仅用无刻度直尺按要求完成作图,作图痕迹用虚线表示.
(1)直接写出$AB=$
(2)作$∠ ABD$的平分线,交$AD$于点$E$;
(3)在线段$BD$上画一点$N$,使得$BM=BN$;
(4)在平面直角坐标系中存在一点$P$,使得以$A,B,C,P$四个点为顶点的四边形为平行四边形,请求出全部点$P$的坐标.
(1)直接写出$AB=$
5
,在所给的网格中画出平行四边形$ABCD$;(2)作$∠ ABD$的平分线,交$AD$于点$E$;
(3)在线段$BD$上画一点$N$,使得$BM=BN$;
(4)在平面直角坐标系中存在一点$P$,使得以$A,B,C,P$四个点为顶点的四边形为平行四边形,请求出全部点$P$的坐标.
答案
21. 【点拨】本题考查平面直角坐标系中图形的性质及作图.
【解析】(1)由勾股定理得,$AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,平行四边形$ABCD$如图所示. 故答案为5.
(2)如图,在$BD$上取点$F$,使$BF = AB = 5$,连接$AF$,取$AF$的中点$G$,连接$BG$并延长,交$AD$于点$E$,则$BE$即为所求.
(3)如图,连接$FM$交$BE$于点$H$,连接$AH$并延长,交$BD$于点$N$,则点$N$即为所求.
(4)设点$P$的坐标为$(x,y)$.
①当$BC$是平行四边形的对角线时,$\begin{cases}\dfrac{x + 3}{2} = \dfrac{0 + 4}{2}, \\\dfrac{y + 8}{2} = \dfrac{4 + 0}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 1, \\y = -4,\end{cases}$即$P(1,-4)$;
②当$AC$是平行四边形的对角线时,$\begin{cases}\dfrac{x + 0}{2} = \dfrac{3 + 4}{2}, \\\dfrac{y + 4}{2} = \dfrac{8 + 0}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 7, \\y = 4,\end{cases}$即$P(7,4)$;
③当$AB$是平行四边形的对角线时,$\begin{cases}\dfrac{x + 4}{2} = \dfrac{0 + 3}{2}, \\\dfrac{y + 0}{2} = \dfrac{8 + 4}{2},\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = -1, \\y = 12,\end{cases}$即$P(-1,12)$.
综上所述,点$P$坐标为$(1,-4)$或$(7,4)$或$(-1,12)$.
解析
【分析】
本题分为四个小问，第(1)问需利用勾股定理计算AB的长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，在网格中确定点D的位置画出平行四边形；第(2)问作∠ABD的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，通过构造等腰三角形找到角平分线；第(3)问要使BM=BN，需结合网格利用线段相等的作图方法找到对应点；第(4)问求平行四边形的顶点P，需根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况，利用中点坐标公式列方程求解。
【解析】
(1) 由图可知，点A坐标为(3,8)，点B坐标为(0,4)，根据勾股定理，$AB=\sqrt{(3-0)^2+(8-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$；根据平行四边形对边平行且相等，确定点D坐标为(7,4)，连接AB、BC、CD、DA，得到平行四边形ABCD。
(2) 在BD上取点F，使$BF=AB=5$，连接AF，取AF的中点G，连接BG并延长交AD于点E，则BE即为∠ABD的平分线。
(3) 连接FM交BE于点H，连接AH并延长交BD于点N，则点N满足$BM=BN$。
(4) 设点$P(x,y)$，分三种情况：
①当BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：$\begin{cases}\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{0+4}{2}\\\dfrac{y+8}{2}=\dfrac{4+0}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-4\end{cases}$，即$P(1,-4)$；
②当AC为平行四边形对角线时，$\begin{cases}\dfrac{x+0}{2}=\dfrac{3+4}{2}\\\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{8+0}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$，即$P(7,4)$；
③当AB为平行四边形对角线时，$\begin{cases}\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{0+3}{2}\\\dfrac{y+0}{2}=\dfrac{8+4}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=12\end{cases}$，即$P(-1,12)$。
【答案】
$AB=5$；平行四边形ABCD、∠ABD的平分线BE、点N如图所示；点P的坐标为$(1,-4)$或$(7,4)$或$(-1,12)$
【知识点】
勾股定理、平行四边形的性质、角平分线的作法、中点坐标公式
【点评】
本题结合网格考查几何作图与平行四边形的坐标问题，需要学生掌握格点中线段长度计算、角平分线的作图技巧，以及平行四边形的分类讨论思想，综合性较强，能有效考查学生的几何素养。
【难度系数】
0.5
本题分为四个小问，第(1)问需利用勾股定理计算AB的长度，再根据平行四边形对边平行且相等的性质，在网格中确定点D的位置画出平行四边形；第(2)问作∠ABD的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，通过构造等腰三角形找到角平分线；第(3)问要使BM=BN，需结合网格利用线段相等的作图方法找到对应点；第(4)问求平行四边形的顶点P，需根据平行四边形对角线互相平分的性质，分三种对角线情况，利用中点坐标公式列方程求解。
【解析】
(1) 由图可知，点A坐标为(3,8)，点B坐标为(0,4)，根据勾股定理，$AB=\sqrt{(3-0)^2+(8-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$；根据平行四边形对边平行且相等，确定点D坐标为(7,4)，连接AB、BC、CD、DA，得到平行四边形ABCD。
(2) 在BD上取点F，使$BF=AB=5$，连接AF，取AF的中点G，连接BG并延长交AD于点E，则BE即为∠ABD的平分线。
(3) 连接FM交BE于点H，连接AH并延长交BD于点N，则点N满足$BM=BN$。
(4) 设点$P(x,y)$，分三种情况：
①当BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得：$\begin{cases}\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{0+4}{2}\\\dfrac{y+8}{2}=\dfrac{4+0}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-4\end{cases}$，即$P(1,-4)$；
②当AC为平行四边形对角线时，$\begin{cases}\dfrac{x+0}{2}=\dfrac{3+4}{2}\\\dfrac{y+4}{2}=\dfrac{8+0}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=7\\y=4\end{cases}$，即$P(7,4)$；
③当AB为平行四边形对角线时，$\begin{cases}\dfrac{x+4}{2}=\dfrac{0+3}{2}\\\dfrac{y+0}{2}=\dfrac{8+4}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-1\\y=12\end{cases}$，即$P(-1,12)$。
【答案】
$AB=5$；平行四边形ABCD、∠ABD的平分线BE、点N如图所示；点P的坐标为$(1,-4)$或$(7,4)$或$(-1,12)$
【知识点】
勾股定理、平行四边形的性质、角平分线的作法、中点坐标公式
【点评】
本题结合网格考查几何作图与平行四边形的坐标问题，需要学生掌握格点中线段长度计算、角平分线的作图技巧，以及平行四边形的分类讨论思想，综合性较强，能有效考查学生的几何素养。
【难度系数】
0.5
22. 我们知道$(\sqrt{a})^2 = a($其中$a ≥ 0)$，利用这个性质可以求方程$\sqrt{x+3}=4$的解，两边平方得$x + 3 = 16$，从而求出方程的解为$x=13$. 请尝试利用这个性质探究方程$\sqrt{x^2 + 41} - \sqrt{x^2 + 2} = 3$的解，你求出这个方程的解是________.
答案
22. $\pm\sqrt{23}$ 【点拨】本题考查二次根式的性质和解方程.
【解析】$\sqrt{x^2 + 41} - \sqrt{x^2 + 2} = 3$
$\sqrt{x^2 + 41} = 3 + \sqrt{x^2 + 2}$
$x^2 + 41 = 9 + x^2 + 2 + 6\sqrt{x^2 + 2}$
$5 = \sqrt{x^2 + 2}$
$25 = x^2 + 2$
解得$x = \sqrt{23}$或$x = -\sqrt{23}$,
经检验,$x = \sqrt{23}$或$x = -\sqrt{23}$都是原方程的解.
$\therefore$ 原方程的解为$x = \pm\sqrt{23}$. 故答案为$\pm\sqrt{23}$.
【解析】$\sqrt{x^2 + 41} - \sqrt{x^2 + 2} = 3$
$\sqrt{x^2 + 41} = 3 + \sqrt{x^2 + 2}$
$x^2 + 41 = 9 + x^2 + 2 + 6\sqrt{x^2 + 2}$
$5 = \sqrt{x^2 + 2}$
$25 = x^2 + 2$
解得$x = \sqrt{23}$或$x = -\sqrt{23}$,
经检验,$x = \sqrt{23}$或$x = -\sqrt{23}$都是原方程的解.
$\therefore$ 原方程的解为$x = \pm\sqrt{23}$. 故答案为$\pm\sqrt{23}$.
解析
【分析】
解这类含两个二次根式的无理方程，需利用题目给出的$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的性质，通过移项、平方逐步消去根号，转化为整式方程求解，最后要检验解是否满足原方程（避免平方操作产生的增根）。具体思路：先将方程中的一个二次根式移到等号右侧，再对两边平方消去一个根号；整理后再次移项、平方得到整式方程，求解后验证解的有效性。
【解析】
$\sqrt{x^2 + 41} - \sqrt{x^2 + 2} = 3$，
移项得：$\sqrt{x^2 + 41} = 3 + \sqrt{x^2 + 2}$，
两边平方（利用$(\sqrt{a})^2=a$）：
$(\sqrt{x^2 + 41})^2 = (3 + \sqrt{x^2 + 2})^2$，
展开得：$x^2 + 41 = 9 + x^2 + 2 + 6\sqrt{x^2 + 2}$，
化简得：$41 = 11 + 6\sqrt{x^2 + 2}$，
移项整理：$6\sqrt{x^2 + 2} = 30$，
两边除以6得：$\sqrt{x^2 + 2} = 5$，
再次两边平方：$x^2 + 2 = 25$，
解得：$x^2 = 23$，即$x = \sqrt{23}$或$x = -\sqrt{23}$，
经检验，$x = \sqrt{23}$和$x = -\sqrt{23}$均满足原方程，是原方程的解。
【答案】
$\pm\sqrt{23}$
【知识点】
二次根式的性质、无理方程的解法
【点评】
本题考查利用二次根式的平方性质解无理方程，核心是通过两次平方消去根号转化为整式方程，需注意移项后平方的运算准确性，以及解无理方程必须检验是否为增根，避免出错。
【难度系数】
0.6
解这类含两个二次根式的无理方程，需利用题目给出的$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$的性质，通过移项、平方逐步消去根号，转化为整式方程求解，最后要检验解是否满足原方程（避免平方操作产生的增根）。具体思路：先将方程中的一个二次根式移到等号右侧，再对两边平方消去一个根号；整理后再次移项、平方得到整式方程，求解后验证解的有效性。
【解析】
$\sqrt{x^2 + 41} - \sqrt{x^2 + 2} = 3$，
移项得：$\sqrt{x^2 + 41} = 3 + \sqrt{x^2 + 2}$，
两边平方（利用$(\sqrt{a})^2=a$）：
$(\sqrt{x^2 + 41})^2 = (3 + \sqrt{x^2 + 2})^2$，
展开得：$x^2 + 41 = 9 + x^2 + 2 + 6\sqrt{x^2 + 2}$，
化简得：$41 = 11 + 6\sqrt{x^2 + 2}$，
移项整理：$6\sqrt{x^2 + 2} = 30$，
两边除以6得：$\sqrt{x^2 + 2} = 5$，
再次两边平方：$x^2 + 2 = 25$，
解得：$x^2 = 23$，即$x = \sqrt{23}$或$x = -\sqrt{23}$，
经检验，$x = \sqrt{23}$和$x = -\sqrt{23}$均满足原方程，是原方程的解。
【答案】
$\pm\sqrt{23}$
【知识点】
二次根式的性质、无理方程的解法
【点评】
本题考查利用二次根式的平方性质解无理方程，核心是通过两次平方消去根号转化为整式方程，需注意移项后平方的运算准确性，以及解无理方程必须检验是否为增根，避免出错。
【难度系数】
0.6
23. 如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=√6,BC=3−√3,CD=6,则AD边的长为
$4\sqrt{3}$
.答案
23. $4\sqrt{3}$ 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质,含$30°$角的直角三角形的性质,矩形的判定和性质,勾股定理.
【解析】如图,过点$A$作$AM ⊥ BC$交$CB$的延长线于点$M$,过点$D$作$DN ⊥ BC$交$BC$的延长线于点$N$.
$\because ∠ ABC = 135°$,$\therefore ∠ ABM = 45°$,$\therefore AM = BM$.
$\because AB = \sqrt{6}$,$\therefore AM = BM = \sqrt{3}$.
$\because ∠ BCD = 120°$,$\therefore ∠ DCN = 60°$,$\therefore ∠ CDN = 30°$,
$\therefore CN = \dfrac{1}{2}CD = 3$,$\therefore DN = \sqrt{CD^2 - CN^2} = 3\sqrt{3}$,
$\therefore MN = BM + BC + CN = 6$.
过点$A$作$AE ⊥ DN$于点$E$,则四边形$AENM$为矩形,
$\therefore AE = MN = 6$,$NE = AM = \sqrt{3}$,$\therefore DE = DN - NE = 2\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,由勾股定理得,$AD = \sqrt{AE^2 + DE^2} = 4\sqrt{3}$.
故答案为$4\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题要求不规则四边形ABCD中AD的长度，核心思路是通过作辅助线将四边形转化为直角三角形和矩形，利用特殊角（135°、120°）构造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，结合矩形性质和勾股定理计算。具体步骤为：过A、D分别作BC所在直线的垂线，构造直角三角形求出相关线段长度；再作AE垂直DN形成矩形，最后用勾股定理计算AD。
【解析】
如图，过点A作AM⊥BC交CB的延长线于点M，过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N，过点A作AE⊥DN于点E。
∵ ∠ABC = 135°，
∴ ∠ABM = 180° - 135° = 45°，
∴ △ABM是等腰直角三角形，AM = BM。
∵ AB = √6，
∴ AM = BM = AB·sin45° = √6×(√2/2) = √3。
∵ ∠BCD = 120°，
∴ ∠DCN = 180° - 120° = 60°，在Rt△DCN中，∠CDN = 30°，
∴ CN = (1/2)CD = (1/2)×6 = 3，DN = CD·sin60° = 6×(√3/2) = 3√3。
∴ MN = BM + BC + CN = √3 + (3 - √3) + 3 = 6。
∵ AE⊥DN，AM⊥BC，DN⊥BC，
∴ 四边形AENM为矩形，
∴ AE = MN = 6，NE = AM = √3，
∴ DE = DN - NE = 3√3 - √3 = 2√3。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD = √(AE² + DE²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3。
【答案】
4√3
【知识点】
等腰直角三角形、含30°角的直角三角形、勾股定理
【点评】
本题通过辅助线将不规则四边形转化为规则图形，利用特殊角的性质简化计算，考查几何转化能力与勾股定理的应用，是中等难度的几何求值题。
【难度系数】
0.5
本题要求不规则四边形ABCD中AD的长度，核心思路是通过作辅助线将四边形转化为直角三角形和矩形，利用特殊角（135°、120°）构造等腰直角三角形和含30°角的直角三角形，结合矩形性质和勾股定理计算。具体步骤为：过A、D分别作BC所在直线的垂线，构造直角三角形求出相关线段长度；再作AE垂直DN形成矩形，最后用勾股定理计算AD。
【解析】
如图，过点A作AM⊥BC交CB的延长线于点M，过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N，过点A作AE⊥DN于点E。
∵ ∠ABC = 135°，
∴ ∠ABM = 180° - 135° = 45°，
∴ △ABM是等腰直角三角形，AM = BM。
∵ AB = √6，
∴ AM = BM = AB·sin45° = √6×(√2/2) = √3。
∵ ∠BCD = 120°，
∴ ∠DCN = 180° - 120° = 60°，在Rt△DCN中，∠CDN = 30°，
∴ CN = (1/2)CD = (1/2)×6 = 3，DN = CD·sin60° = 6×(√3/2) = 3√3。
∴ MN = BM + BC + CN = √3 + (3 - √3) + 3 = 6。
∵ AE⊥DN，AM⊥BC，DN⊥BC，
∴ 四边形AENM为矩形，
∴ AE = MN = 6，NE = AM = √3，
∴ DE = DN - NE = 3√3 - √3 = 2√3。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD = √(AE² + DE²) = √(6² + (2√3)²) = √(36 + 12) = √48 = 4√3。
【答案】
4√3
【知识点】
等腰直角三角形、含30°角的直角三角形、勾股定理
【点评】
本题通过辅助线将不规则四边形转化为规则图形，利用特殊角的性质简化计算，考查几何转化能力与勾股定理的应用，是中等难度的几何求值题。
【难度系数】
0.5
24. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$D$是$BC$的中点,$E$是边$AC$上一点,且$DE$平分$△ ABC$的周长.若$BC=10$,$DE=2\sqrt{5}$,则$AE$的长为________.
答案
24. $\sqrt{15} - \sqrt{10}$ 【点拨】本题考查三角形中位线定理,勾股定理.
【解析】如图,延长$CA$,使$EF = EC$,连接$FB$.
$\because E,D$分别是$CF,BC$的中点,$DE = 2\sqrt{5}$,
$\therefore BF = 2DE = 4\sqrt{5}$,$BD = CD$.
$\because DE$平分$△ ABC$的周长,
$\therefore AB + BD + AE = EC + CD$,
$\therefore AB = EC - AE$.
$\because AF = EF - AE$,$\therefore AF = AB$.
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF^2 + AB^2 = BF^2$,
$\therefore AF = AB = 2\sqrt{10}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = 2\sqrt{15}$,
$\therefore FC = AF + AC = 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}$,$\therefore EC = \dfrac{1}{2}FC = \sqrt{10} + \sqrt{15}$,$\therefore AE = AC - EC = 2\sqrt{15} - (\sqrt{10} + \sqrt{15}) = \sqrt{15} - \sqrt{10}$.
故答案为$\sqrt{15} - \sqrt{10}$.
解析
【分析】
要解决本题，需通过添加辅助线构造中位线与等腰三角形，结合三角形中位线定理、勾股定理及周长平分的条件逐步推导。首先延长CA至点F，使EF=EC，利用中点关系得到DE是△BCF的中位线，进而得到BF的长度；再根据DE平分△ABC的周长推导线段关系，结合AF=AB的结论，在直角三角形中用勾股定理求出AB、AC，最终计算AE的长度。
【解析】
如图，延长CA，使EF = EC，连接FB。
∵ E是CF的中点，D是BC的中点，
∴ DE是△BCF的中位线，
∴ BF = 2DE = 2×2√5 = 4√5，BD = CD。
∵ DE平分△ABC的周长，
∴ AB + BD + AE = EC + CD，
又
∵ BD = CD，
∴ AB + AE = EC，即AB = EC - AE。
∵ AF = EF - AE，且EF = EC，
∴ AF = EC - AE，因此AF = AB。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF² + AB² = BF²，
∵ AF = AB，
∴ 2AB² = (4√5)² = 80，解得AB = 2√10。
在Rt△ABC中，BC=10，由勾股定理得：
AC = √(BC² - AB²) = √(10² - (2√10)²) = √(100 - 40) = 2√15。
∵ FC = AF + AC = 2√10 + 2√15，E是CF中点，
∴ EC = 1/2 FC = (2√10 + 2√15)/2 = √10 + √15，
∴ AE = AC - EC = 2√15 - (√10 + √15) = √15 - √10。
【答案】
√15 - √10
【知识点】
三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助线将分散的线段关系整合，综合运用几何定理求解，重点考查学生的辅助线构造能力和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
要解决本题，需通过添加辅助线构造中位线与等腰三角形，结合三角形中位线定理、勾股定理及周长平分的条件逐步推导。首先延长CA至点F，使EF=EC，利用中点关系得到DE是△BCF的中位线，进而得到BF的长度；再根据DE平分△ABC的周长推导线段关系，结合AF=AB的结论，在直角三角形中用勾股定理求出AB、AC，最终计算AE的长度。
【解析】
如图，延长CA，使EF = EC，连接FB。
∵ E是CF的中点，D是BC的中点，
∴ DE是△BCF的中位线，
∴ BF = 2DE = 2×2√5 = 4√5，BD = CD。
∵ DE平分△ABC的周长，
∴ AB + BD + AE = EC + CD，
又
∵ BD = CD，
∴ AB + AE = EC，即AB = EC - AE。
∵ AF = EF - AE，且EF = EC，
∴ AF = EC - AE，因此AF = AB。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF² + AB² = BF²，
∵ AF = AB，
∴ 2AB² = (4√5)² = 80，解得AB = 2√10。
在Rt△ABC中，BC=10，由勾股定理得：
AC = √(BC² - AB²) = √(10² - (2√10)²) = √(100 - 40) = 2√15。
∵ FC = AF + AC = 2√10 + 2√15，E是CF中点，
∴ EC = 1/2 FC = (2√10 + 2√15)/2 = √10 + √15，
∴ AE = AC - EC = 2√15 - (√10 + √15) = √15 - √10。
【答案】
√15 - √10
【知识点】
三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题通过构造辅助线将分散的线段关系整合，综合运用几何定理求解，重点考查学生的辅助线构造能力和几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.3
25. 在面积为$6\sqrt{21}$的平行四边形$ABCD$中,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,作$AF ⊥ CD$于点$F$.若$AB = 3\sqrt{7},BC = 2\sqrt{7}$,则$CE + CF$的值为________.
答案
25. $2 + \sqrt{7}$或$10 + 5\sqrt{7}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质及勾股定理.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AB = CD = 3\sqrt{7}$,$BC = AD = 2\sqrt{7}$.
①如图1,由平行四边形面积公式得,$BC · AE = CD · AF = 6\sqrt{21}$,
$\therefore AE = 3\sqrt{3}$,$AF = 2\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理得$AB^2 = AE^2 + BE^2$,
解得$BE = 6 ＞ 2\sqrt{7}$,即点$E$在线段$BC$的延长线上.
同理可得,$DF = 4 ＜ 3\sqrt{7}$,即点$F$在线段$DC$上,
$\therefore CE = 6 - 2\sqrt{7}$,$CF = 3\sqrt{7} - 4$,即$CE + CF = 2 + \sqrt{7}$;
②如图2,由①得,$AE = 3\sqrt{3}$,$AF = 2\sqrt{3}$.
在$△ ABE$中,由勾股定理得,$BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = 6$.
同理可得,$DF = 4$.
$\therefore CE = 6 + 2\sqrt{7}$,$CF = 3\sqrt{7} + 4$,$\therefore CE + CF = 10 + 5\sqrt{7}$.
综上可得,$CE + CF = 2 + \sqrt{7}$或$10 + 5\sqrt{7}$.
故答案为$2 + \sqrt{7}$或$10 + 5\sqrt{7}$.
解析
【分析】
要解决本题，需分两种情况讨论高的垂足位置：首先利用平行四边形面积公式求出高AE、AF的长度，再通过勾股定理计算BE、DF的长度，结合BE与BC、DF与CD的大小关系判断垂足位置，进而求出CE、CF的长度，最终得到CE+CF的值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3√7，BC=AD=2√7。
平行四边形面积=底×高，故BC·AE=CD·AF=6√21，
代入得：AE=6√21÷2√7=3√3，AF=6√21÷3√7=2√3。
情况1：如图1，E在BC的延长线上，F在DC上。
在Rt△ABE中，由勾股定理：BE=√(AB² - AE²)=√[(3√7)² - (3√3)²]=√(63-27)=6。
∵6＞2√7，
∴CE=BE - BC=6 - 2√7。
同理，在Rt△ADF中，DF=√(AD² - AF²)=√[(2√7)² - (2√3)²]=√(28-12)=4。
∵4＜3√7，
∴CF=CD - DF=3√7 -4。
∴CE+CF=(6-2√7)+(3√7 -4)=2 +√7。
情况2：如图2，E在CB的延长线上，F在DC的延长线上。
由上述计算得BE=6，DF=4。
此时CE=BC + BE=2√7 +6，CF=CD + DF=3√7 +4。
∴CE+CF=(2√7 +6)+(3√7 +4)=10 +5√7。
综上，CE+CF的值为2 +√7或10 +5√7。
【答案】
2 + √7或10 + 5√7
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题考查平行四边形的性质与勾股定理的综合应用，关键在于分情况讨论高的垂足位置，避免漏解，是一道需要细心分析的中等难度题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需分两种情况讨论高的垂足位置：首先利用平行四边形面积公式求出高AE、AF的长度，再通过勾股定理计算BE、DF的长度，结合BE与BC、DF与CD的大小关系判断垂足位置，进而求出CE、CF的长度，最终得到CE+CF的值。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3√7，BC=AD=2√7。
平行四边形面积=底×高，故BC·AE=CD·AF=6√21，
代入得：AE=6√21÷2√7=3√3，AF=6√21÷3√7=2√3。
情况1：如图1，E在BC的延长线上，F在DC上。
在Rt△ABE中，由勾股定理：BE=√(AB² - AE²)=√[(3√7)² - (3√3)²]=√(63-27)=6。
∵6＞2√7，
∴CE=BE - BC=6 - 2√7。
同理，在Rt△ADF中，DF=√(AD² - AF²)=√[(2√7)² - (2√3)²]=√(28-12)=4。
∵4＜3√7，
∴CF=CD - DF=3√7 -4。
∴CE+CF=(6-2√7)+(3√7 -4)=2 +√7。
情况2：如图2，E在CB的延长线上，F在DC的延长线上。
由上述计算得BE=6，DF=4。
此时CE=BC + BE=2√7 +6，CF=CD + DF=3√7 +4。
∴CE+CF=(2√7 +6)+(3√7 +4)=10 +5√7。
综上，CE+CF的值为2 +√7或10 +5√7。
【答案】
2 + √7或10 + 5√7
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题考查平行四边形的性质与勾股定理的综合应用，关键在于分情况讨论高的垂足位置，避免漏解，是一道需要细心分析的中等难度题。
【难度系数】
0.4
