26. (10分)初中数学中,利用数形结合的思想可以解决一些难题.如利用绝对值的几何意义可以解决含参的方程与不等式的问题,利用“平面内两点之间的距离公式”可以解决含参的二次根式求和的最值问题. 对于平面直角坐标系中的任意两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,我们把$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$叫作$P_1,P_2$两点间的距离,记作$d(P_1,P_2)$.
例:点$A(-2,4),B(1,-2),d(A,B)=\sqrt{(-2 - 1)^2 + (4 + 2)^2}=3\sqrt{5}$.
(1)已知点$A(1,-1),B(-2,3)$,则$d(A,B)=$;
(2)已知点$A(a,-1),B(-1,3)$,若$d(A,B)=5$,求$a$的值;
(3)利用上述知识,运用“数形结合”的思想,求$\sqrt{(x - 1)^2 + 4}+\sqrt{(x - 4)^2 + 9}$的最小值.

26. 【点拨】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用,以及利用数形结合思想解决最值问题的能力.
【解析】(1)将点$A(1,-1)$和$B(-2,3)$的坐标代入公式得$d(A,B) = \sqrt{(1 + 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{25} = 5$.
故答案为5.
(2)根据题意可知,$\sqrt{(a + 1)^2 + (-1 - 3)^2} = 5$,$(a + 1)^2 + 16 = 25$,
解得$a = 2$或$a = -4$.
(3)$\sqrt{(x - 1)^2 + 4} + \sqrt{(x - 4)^2 + 9}$可看作点$(x,0)$到点$(1,2)$和$(4,3)$的距离之和,
$\because$ 点$(4,3)$关于$x$轴的对称点为$(4,-3)$,
$\therefore \sqrt{(x - 1)^2 + 4} + \sqrt{(x - 4)^2 + 9}$的最小值为点$(1,2)$到点$(4,-3)$的直线距离,为$\sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

【分析】
本题围绕平面直角坐标系中两点间距离公式展开，核心是运用公式计算、解方程及数形结合思想求最值。第(1)问直接代入两点间距离公式计算；第(2)问根据距离公式列含参数的方程，解方程求参数值；第(3)问将代数式转化为x轴上动点到两定点的距离和，利用对称点转化为两点间直线距离求最小值，体现数形结合的思想。
【解析】
(1) 根据两点间距离公式，将$A(1,-1)$、$B(-2,3)$代入：
$d(A,B)=\sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2}=\sqrt{3^2 + (-4)^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
(2) 已知$d(A,B)=5$，代入公式得：
$\sqrt{(a - (-1))^2 + (-1 - 3)^2}=5$，即$\sqrt{(a + 1)^2 + (-4)^2}=5$，
两边平方得：$(a + 1)^2 + 16=25$，
整理得：$(a + 1)^2=9$，
开方得：$a + 1=\pm3$，
解得：$a=2$或$a=-4$。
(3) 代数式$\sqrt{(x - 1)^2 + 4}+\sqrt{(x - 4)^2 + 9}$可看作平面内x轴上的动点$(x,0)$到定点$(1,2)$和$(4,3)$的距离之和。
根据“两点之间线段最短”，作点$(4,3)$关于x轴的对称点$(4,-3)$，则动点到两定点的距离和等于到$(1,2)$和$(4,-3)$的距离和，其最小值为两点间直线距离：
$\sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - 2)^2}=\sqrt{3^2 + (-5)^2}=\sqrt{9 + 25}=\sqrt{34}$。
【答案】
(1)5；(2)$a=2$或$a=-4$；(3)$\sqrt{34}$
【知识点】
两点间距离公式、数形结合求最值
【点评】
本题考查两点间距离公式的应用，重点考查数形结合思想的运用，第(3)问将代数表达式转化为几何距离问题，通过对称点转化为线段长度求最值，是初中数形结合的典型应用，需理解代数表达式的几何意义。
【难度系数】
0.6