登录
27. (12分)已知,在$□ ABCD$中,$AB ⊥ BD$,$AB=BD$,$E$为射线$BC$上一点,连接$AE$交$BD$于点$F$.
(1)如图1,若点$E$与点$C$重合,且$AF=2\sqrt{5}$,求$AD$的长;
(2)如图2,当点$E$在$BC$边上时,过点$D$作$DG ⊥ AE$于点$G$,延长$DG$交$BC$于点$H$,连接$FH$.求证:$AF=DH+FH$;
(3)如图3,当点$E$在射线$BC$上运动时,$M$为$AE$的中点,连接$BM$,$CM$.已知$AB=4\sqrt{2}$,请直接写出$BM+CM$的最小值.
(1)如图1,若点$E$与点$C$重合,且$AF=2\sqrt{5}$,求$AD$的长;
(2)如图2,当点$E$在$BC$边上时,过点$D$作$DG ⊥ AE$于点$G$,延长$DG$交$BC$于点$H$,连接$FH$.求证:$AF=DH+FH$;
(3)如图3,当点$E$在射线$BC$上运动时,$M$为$AE$的中点,连接$BM$,$CM$.已知$AB=4\sqrt{2}$,请直接写出$BM+CM$的最小值.
答案
27. 【点拨】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识.
【解析】(1)$\because AB ⊥ BD$,$\therefore ∠ ABD = 90°$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$AB = BD$,
$\therefore BF = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}AB$.
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中,$AF^2 = AB^2 + BF^2$,
$\therefore (2\sqrt{5})^2 = (2BF)^2 + BF^2$,解得$BF = 2$(负值已舍去),
$\therefore AB = 4$.
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = 4\sqrt{2}$.
(2)证明:如图1,在$AF$上截取$AK = DH$,连接$BK$.
$\because ∠ AFD = ∠ ABF + ∠ 2 = ∠ FGD + ∠ 3$,$∠ ABF = ∠ FGD = 90°$,
$\therefore ∠ 2 = ∠ 3$.
在$△ ABK$和$△ DBH$中,$\begin{cases}AB = DB, \\∠ 2 = ∠ 3, \\AK = DH,\end{cases}$
$\therefore △ ABK ≌ △ DBH(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BK = BH$,$∠ 6 = ∠ 1$.
又$\because AB ⊥ BD$,$AB = BD$,$\therefore ∠ ABD = 90°$,$∠ 4 = ∠ BAD = 45°$.
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,
$\therefore AD // BC$,$\therefore ∠ 1 = ∠ 4 = ∠ 6 = 45°$,
$\therefore ∠ 5 = ∠ ABD - ∠ 6 = 45°$,$\therefore ∠ 5 = ∠ 1$.
在$△ FBK$和$△ FBH$中,$\begin{cases}BF = BF, \\∠ 5 = ∠ 1, \\BK = BH,\end{cases}$
$\therefore △ FBK ≌ △ FBH(\mathrm{SAS})$,$\therefore KF = FH$.
$\because AF = AK + KF$,$\therefore AF = DH + FH$.
(3)$\because AB ⊥ BD$,$AB = BD = 4\sqrt{2}$,
$\therefore △ ABD$为等腰直角三角形,$\therefore AD = 8$.
又$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore BC = AD = 8$.
如图2,取$AB$的中点$P$,连接$PM$,则$PM$是$△ ABE$的中位线,
$\therefore PM // BE$,且$PM = \dfrac{1}{2}BE$,
$\therefore$ 无论点$E$在射线$BC$上怎样运动,点$M$总在$PM$这条直线上,作点$B$关于直线$PM$的对称点$B'$,易得点$B'$在边$AD$上,连接$BB'$,可得$BB' ⊥ AD$.
$\because △ ABD$是等腰直角三角形,
$\therefore$ 点$B'$在$AD$的中点处,连接$B'M$,$B'C$,
$\therefore BM + CM = B'M + CM$,
$\therefore$ 当$B'$,$M$,$C$三点共线时,$BM + CM$的值最小,最小值为$B'C$的长.
又$\because ∠ BB'D = 90°$,$\therefore BB' = \dfrac{1}{2}AD = 4$.
$\because BB' ⊥ AD$,$AD // BC$,$\therefore BB' ⊥ BC$.
$\therefore B'C = \sqrt{BC^2 + BB'^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = 4\sqrt{5}$,即$BM + CM$的最小值为$4\sqrt{5}$.
解析
【分析】
本题为平行四边形综合题，分三小问逐步拆解思路：
1. 第(1)问：利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合AB⊥BD、AB=BD的条件，确定F为BD中点，再在Rt△ABF中用勾股定理求AB，最后在等腰直角△ABD中计算AD长度。
2. 第(2)问：采用截长补短法，在AF上截取AK=DH，通过SAS证明△ABK≌△DBH得BK=BH，再证△FBK≌△FBH得KF=FH，从而推导出AF=DH+FH。
3. 第(3)问：利用三角形中位线确定点M的运动轨迹，结合轴对称（将军饮马模型）转化BM为B'M，将BM+CM转化为B'M+CM，三点共线时取最小值，计算对应线段长度即可。
【解析】
(1)
∵ AB⊥BD，
∴ ∠ABD=90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即F为BD中点，故BF=½BD。
又AB=BD，
∴ BF=½AB。
在Rt△ABF中，由勾股定理：AF²=AB²+BF²，代入AF=2√5得：
(2√5)²=(2BF)²+BF² → 20=5BF² → BF=2，故AB=4，BD=4。
在Rt△ABD中，AD=√(AB²+BD²)=√(4²+4²)=4√2。
(2) 证明：如图1，在AF上截取AK=DH，连接BK。
∵ DG⊥AE，
∴ ∠FGD=90°，又∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3，∠ABF=∠FGD=90°，
∴ ∠2=∠3。
在△ABK和△DBH中：
$\begin{cases}AB=DB \\∠2=∠3 \\AK=DH\end{cases}$
∴ △ABK≌△DBH(SAS)，得BK=BH，∠6=∠1。
∵ AB⊥BD，AB=BD，
∴ ∠ABD=90°，∠BAD=45°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠1=∠4=45°，故∠6=45°，则∠5=∠ABD-∠6=45°，即∠5=∠1。
在△FBK和△FBH中：
$\begin{cases}BF=BF \\∠5=∠1 \\BK=BH\end{cases}$
∴ △FBK≌△FBH(SAS)，得KF=FH。
∵ AF=AK+KF，
∴ AF=DH+FH。
(3)
∵ AB⊥BD，AB=BD=4√2，
∴ △ABD为等腰直角三角形，AD=8。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=8。
取AB中点P，连接PM，
∵ M为AE中点，
∴ PM是△ABE的中位线，故PM//BE，PM=½BE，即点M在直线PM上运动。
作点B关于PM的对称点B'，易得B'为AD中点，连接B'C，则BM=B'M，故BM+CM=B'M+CM。
当B'、M、C三点共线时，BM+CM最小，最小值为B'C的长度。
∵ BB'⊥AD，AD//BC，
∴ BB'⊥BC，BB'=½AD=4，BC=8，
∴ B'C=√(BC²+BB'²)=√(8²+4²)=4√5，即BM+CM的最小值为4√5。
【答案】
(1) AD的长为4√2；
(2) 证明成立；
(3) BM+CM的最小值为4√5；
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、轴对称最短路径
【点评】
本题融合平行四边形、全等、轴对称等核心知识点，第(1)问基础，第(2)问需掌握截长补短法，第(3)问运用中位线转化线段，综合性较强，对几何推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
本题为平行四边形综合题，分三小问逐步拆解思路：
1. 第(1)问：利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合AB⊥BD、AB=BD的条件，确定F为BD中点，再在Rt△ABF中用勾股定理求AB，最后在等腰直角△ABD中计算AD长度。
2. 第(2)问：采用截长补短法，在AF上截取AK=DH，通过SAS证明△ABK≌△DBH得BK=BH，再证△FBK≌△FBH得KF=FH，从而推导出AF=DH+FH。
3. 第(3)问：利用三角形中位线确定点M的运动轨迹，结合轴对称（将军饮马模型）转化BM为B'M，将BM+CM转化为B'M+CM，三点共线时取最小值，计算对应线段长度即可。
【解析】
(1)
∵ AB⊥BD，
∴ ∠ABD=90°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即F为BD中点，故BF=½BD。
又AB=BD，
∴ BF=½AB。
在Rt△ABF中，由勾股定理：AF²=AB²+BF²，代入AF=2√5得：
(2√5)²=(2BF)²+BF² → 20=5BF² → BF=2，故AB=4，BD=4。
在Rt△ABD中，AD=√(AB²+BD²)=√(4²+4²)=4√2。
(2) 证明：如图1，在AF上截取AK=DH，连接BK。
∵ DG⊥AE，
∴ ∠FGD=90°，又∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3，∠ABF=∠FGD=90°，
∴ ∠2=∠3。
在△ABK和△DBH中：
$\begin{cases}AB=DB \\∠2=∠3 \\AK=DH\end{cases}$
∴ △ABK≌△DBH(SAS)，得BK=BH，∠6=∠1。
∵ AB⊥BD，AB=BD，
∴ ∠ABD=90°，∠BAD=45°。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠1=∠4=45°，故∠6=45°，则∠5=∠ABD-∠6=45°，即∠5=∠1。
在△FBK和△FBH中：
$\begin{cases}BF=BF \\∠5=∠1 \\BK=BH\end{cases}$
∴ △FBK≌△FBH(SAS)，得KF=FH。
∵ AF=AK+KF，
∴ AF=DH+FH。
(3)
∵ AB⊥BD，AB=BD=4√2，
∴ △ABD为等腰直角三角形，AD=8。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=8。
取AB中点P，连接PM，
∵ M为AE中点，
∴ PM是△ABE的中位线，故PM//BE，PM=½BE，即点M在直线PM上运动。
作点B关于PM的对称点B'，易得B'为AD中点，连接B'C，则BM=B'M，故BM+CM=B'M+CM。
当B'、M、C三点共线时，BM+CM最小，最小值为B'C的长度。
∵ BB'⊥AD，AD//BC，
∴ BB'⊥BC，BB'=½AD=4，BC=8，
∴ B'C=√(BC²+BB'²)=√(8²+4²)=4√5，即BM+CM的最小值为4√5。
【答案】
(1) AD的长为4√2；
(2) 证明成立；
(3) BM+CM的最小值为4√5；
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、轴对称最短路径
【点评】
本题融合平行四边形、全等、轴对称等核心知识点，第(1)问基础，第(2)问需掌握截长补短法，第(3)问运用中位线转化线段，综合性较强，对几何推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5
28. (12分)如图,在平面直角坐标系中,点B为坐标原点,$AD = m,CD = n$,且$\sqrt{m^2 - 8\sqrt{2}m + 32} + (n - 13)^2 = 0$.
(1)直接写出$m,n$的值:$m =$
(2)连接$AC,BD$,若$AC = BD,AC ⊥ BD,∠ BAD = 105°$,求$AB$的长.
(3)在(2)的条件下,求$BC$的长.
(1)直接写出$m,n$的值:$m =$
$4\sqrt{2}$
,$n =$13
;(2)连接$AC,BD$,若$AC = BD,AC ⊥ BD,∠ BAD = 105°$,求$AB$的长.
(3)在(2)的条件下,求$BC$的长.
答案
28. 【点拨】本题考查非负数的性质,勾股定理以及全等三角形的判定和性质.
【解析】(1)$\because \sqrt{m^2 - 8\sqrt{2}m + 32} + (n - 13)^2 = 0$,
$\therefore \sqrt{(m - 4\sqrt{2})^2} + (n - 13)^2 = 0$.
$\therefore \begin{cases}m - 4\sqrt{2} = 0, \\n - 13 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 4\sqrt{2}, \\n = 13.\end{cases}$
故答案为$4\sqrt{2}$,$13$.
(2)如图,过点$D$作$ED ⊥ AD$,垂足为$D$,使$DE = AD$,连接$AE$,$BE$,则$∠ DAE = ∠ AED = 45°$,$AE = \sqrt{2}AD = 8$.
$\because AC ⊥ BD$,$\therefore ∠ CAD + ∠ ADB = 90°$.
又$\because ∠ ADB + ∠ BDE = 90°$,$\therefore ∠ BDE = ∠ CAD$.
在$△ BDE$和$△ CAD$中,$\begin{cases}DE = AD, \\∠ BDE = ∠ CAD, \\BD = CA,\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CAD(\mathrm{SAS})$,$\therefore BE = CD = 13$.
$\because ∠ BAD = 105°$,$∠ DAE = 45°$,$\therefore ∠ BAE = 60°$.
过点$E$作$EF ⊥ AB$于点$F$,则$∠ AEF = 30°$.
$\because AE = 8$,$\therefore AF = 4$,$EF = \sqrt{AE^2 - AF^2} = 4\sqrt{3}$.
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中,$BE = 13$,$EF = 4\sqrt{3}$,
$\therefore BF = \sqrt{BE^2 - EF^2} = 11$,$\therefore AB = BF + AF = 15$.
(3)$\because AB = 15$,$DC = 13$,$AD = 4\sqrt{2}$,且$AC ⊥ BD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$的各边满足:$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$,
$\therefore BC^2 = AB^2 + CD^2 - AD^2 = 362$,$\therefore BC = \sqrt{362}$.
解析
【分析】
1. 第(1)问：利用非负数的性质，几个非负数相加为0时，每个非负数都为0，先将根号内的二次式配方成完全平方形式，即可求出m、n的值。
2. 第(2)问：已知AC与BD垂直且相等，通过构造辅助线得到全等三角形，将CD转化为BE，再结合已知角度求出∠BAE的度数，利用勾股定理计算AB的长度。
3. 第(3)问：利用对角线互相垂直的四边形的特殊性质，代入各边长度即可求出BC的长。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{m^2 - 8\sqrt{2}m + 32} + (n - 13)^2 = 0$，将根号内配方得$\sqrt{(m - 4\sqrt{2})^2} + (n - 13)^2 = 0$，根据非负数性质，得$\begin{cases}m - 4\sqrt{2} = 0 \\n - 13 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 4\sqrt{2} \\n = 13\end{cases}$。
(2) 过点D作$ED ⊥ AD$，使$DE = AD$，连接AE、BE，则$∠DAE = ∠AED = 45°$，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 8$。因为$AC ⊥ BD$，所以$∠CAD + ∠ADB = 90°$，又$∠ADB + ∠BDE = 90°$，故$∠BDE = ∠CAD$。在$△BDE$和$△CAD$中，$\begin{cases}DE = AD \\∠BDE = ∠CAD \\BD = CA\end{cases}$，所以$△BDE ≌ △CAD(\mathrm{SAS})$，得$BE = CD = 13$。已知$∠BAD = 105°$，则$∠BAE = ∠BAD - ∠DAE = 105° - 45° = 60°$。过E作$EF ⊥ AB$于F，在$\mathrm{Rt}△AEF$中，$∠AEF = 30°$，$AE = 8$，所以$AF = AE·\cos60° = 4$，$EF = AE·\sin60° = 4\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△BEF$中，$BE = 13$，$EF = 4\sqrt{3}$，所以$BF = \sqrt{BE^2 - EF^2} = \sqrt{13^2 - (4\sqrt{3})^2} = 11$，故$AB = AF + BF = 4 + 11 = 15$。
(3) 因为$AC ⊥ BD$，根据对角线垂直的四边形的性质：$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$，代入$AB = 15$，$CD = 13$，$AD = 4\sqrt{2}$，得$BC^2 = 15^2 + 13^2 - (4\sqrt{2})^2 = 225 + 169 - 32 = 362$，所以$BC = \sqrt{362}$。
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$，$13$；
(2) $15$；
(3) $\sqrt{362}$；
【知识点】
非负数的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，解题关键在于辅助线的构造和对角线垂直的四边形性质的运用，对学生的几何思维和逻辑推理能力有一定要求，需熟练掌握相关定理才能顺利解答。
【难度系数】
0.4
1. 第(1)问：利用非负数的性质，几个非负数相加为0时，每个非负数都为0，先将根号内的二次式配方成完全平方形式，即可求出m、n的值。
2. 第(2)问：已知AC与BD垂直且相等，通过构造辅助线得到全等三角形，将CD转化为BE，再结合已知角度求出∠BAE的度数，利用勾股定理计算AB的长度。
3. 第(3)问：利用对角线互相垂直的四边形的特殊性质，代入各边长度即可求出BC的长。
【解析】
(1) 因为$\sqrt{m^2 - 8\sqrt{2}m + 32} + (n - 13)^2 = 0$，将根号内配方得$\sqrt{(m - 4\sqrt{2})^2} + (n - 13)^2 = 0$，根据非负数性质，得$\begin{cases}m - 4\sqrt{2} = 0 \\n - 13 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 4\sqrt{2} \\n = 13\end{cases}$。
(2) 过点D作$ED ⊥ AD$，使$DE = AD$，连接AE、BE，则$∠DAE = ∠AED = 45°$，$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = 8$。因为$AC ⊥ BD$，所以$∠CAD + ∠ADB = 90°$，又$∠ADB + ∠BDE = 90°$，故$∠BDE = ∠CAD$。在$△BDE$和$△CAD$中，$\begin{cases}DE = AD \\∠BDE = ∠CAD \\BD = CA\end{cases}$，所以$△BDE ≌ △CAD(\mathrm{SAS})$，得$BE = CD = 13$。已知$∠BAD = 105°$，则$∠BAE = ∠BAD - ∠DAE = 105° - 45° = 60°$。过E作$EF ⊥ AB$于F，在$\mathrm{Rt}△AEF$中，$∠AEF = 30°$，$AE = 8$，所以$AF = AE·\cos60° = 4$，$EF = AE·\sin60° = 4\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△BEF$中，$BE = 13$，$EF = 4\sqrt{3}$，所以$BF = \sqrt{BE^2 - EF^2} = \sqrt{13^2 - (4\sqrt{3})^2} = 11$，故$AB = AF + BF = 4 + 11 = 15$。
(3) 因为$AC ⊥ BD$，根据对角线垂直的四边形的性质：$AB^2 + CD^2 = AD^2 + BC^2$，代入$AB = 15$，$CD = 13$，$AD = 4\sqrt{2}$，得$BC^2 = 15^2 + 13^2 - (4\sqrt{2})^2 = 225 + 169 - 32 = 362$，所以$BC = \sqrt{362}$。
【答案】
(1) $4\sqrt{2}$，$13$；
(2) $15$；
(3) $\sqrt{362}$；
【知识点】
非负数的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查多个几何知识点，解题关键在于辅助线的构造和对角线垂直的四边形性质的运用，对学生的几何思维和逻辑推理能力有一定要求，需熟练掌握相关定理才能顺利解答。
【难度系数】
0.4
