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17.(6分)计算:
(1)$\sqrt{18}÷\sqrt{6}-\sqrt{\frac{1}{3}}$。
(2)$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$。
(1)$\sqrt{18}÷\sqrt{6}-\sqrt{\frac{1}{3}}$。
(2)$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$。
答案
17.(1)原式$=\sqrt{3}-\dfrac{1}{3}\sqrt{3}=\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$。(2)原式$=9-5=4$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算，需分两小问处理：
(1) 先利用二次根式除法法则计算除法项，再将减法项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
(2) 直接运用平方差公式简化计算，减少运算步骤。
【解析】
(1) 根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，原式$=\sqrt{18÷6}-\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$，合并同类二次根式得$\frac{3\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a²-b²$，原式$=3²-(\sqrt{5})²=9-5=4$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；(2)$4$
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题为二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式除法法则、同类二次根式合并及平方差公式的应用，是学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算，需分两小问处理：
(1) 先利用二次根式除法法则计算除法项，再将减法项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式；
(2) 直接运用平方差公式简化计算，减少运算步骤。
【解析】
(1) 根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，原式$=\sqrt{18÷6}-\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}$，合并同类二次根式得$\frac{3\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
(2) 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a²-b²$，原式$=3²-(\sqrt{5})²=9-5=4$。
【答案】
(1)$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；(2)$4$
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题为二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式除法法则、同类二次根式合并及平方差公式的应用，是学生需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8
18. (6分)解方程:
(1)$x^2=3x$。
(2)$2x^2 - 3x - 4=0$。
(1)$x^2=3x$。
(2)$2x^2 - 3x - 4=0$。
答案
18.(1)$x_1=0,x_2=3$。(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，优先观察方程特点选择简便方法：第(1)题移项后可通过因式分解简化计算；第(2)题无法因式分解，采用公式法求解。需注意移项要变号、判别式计算及求根公式的正确应用，确保步骤规范、计算准确。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 3x = 0$，
因式分解，得 $x(x - 3) = 0$，
则 $x = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
(2) 对于方程 $2x^2 - 3x - 4 = 0$，其中 $a = 2$，$b = -3$，$c = -4$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 2 × (-4) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$，
代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
得 $x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$，
即 $x_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=3$；(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题为一元二次方程的基础求解题，分别考查因式分解法和公式法两种核心解法，难度适中，能有效巩固学生对一元二次方程解法的掌握，步骤清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.6
解一元二次方程时，优先观察方程特点选择简便方法：第(1)题移项后可通过因式分解简化计算；第(2)题无法因式分解，采用公式法求解。需注意移项要变号、判别式计算及求根公式的正确应用，确保步骤规范、计算准确。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 - 3x = 0$，
因式分解，得 $x(x - 3) = 0$，
则 $x = 0$ 或 $x - 3 = 0$，
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
(2) 对于方程 $2x^2 - 3x - 4 = 0$，其中 $a = 2$，$b = -3$，$c = -4$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 × 2 × (-4) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$，
代入求根公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$，
得 $x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4}$，
即 $x_1 = \frac{3 + \sqrt{41}}{4}$，$x_2 = \frac{3 - \sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=3$；(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解法、公式法
【点评】
本题为一元二次方程的基础求解题，分别考查因式分解法和公式法两种核心解法，难度适中，能有效巩固学生对一元二次方程解法的掌握，步骤清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.6
19.(6分)某社区开展“垃圾分类小卫士”积分活动,随机抽取甲、乙两个志愿小组,6月份记录的8次积分数据如下(单位:分),根据以下信息解答问题。
甲志愿小组:89,91,88,92,95,87,88,90；
乙志愿小组:79,97,84,100,88,92,89,91。
(1)请将表格补充完整:
| 志愿小组 | 平均数/分 | 中位数/分 | 方差/分² |
| :------: | :-------: | :--------: | :------: |
| 甲 |
| 89.5 | |
| 乙 | 90 | | 39.5 |
(2)若社区按积分波动大小进行评奖,积分波动小的志愿小组将被评选为“稳定贡献奖”,你认为哪组更合适?请作出判断,并说明理由。
甲志愿小组:89,91,88,92,95,87,88,90；
乙志愿小组:79,97,84,100,88,92,89,91。
(1)请将表格补充完整:
| 志愿小组 | 平均数/分 | 中位数/分 | 方差/分² |
| :------: | :-------: | :--------: | :------: |
| 甲 |
| 89.5 | || 乙 | 90 | | 39.5 |
(2)若社区按积分波动大小进行评奖,积分波动小的志愿小组将被评选为“稳定贡献奖”,你认为哪组更合适?请作出判断,并说明理由。
答案
19.(1)甲志愿小组积分的平均数为$\dfrac{1}{8}×(87+88+88+89+90+91+92+95)=90$(分),方差为$\dfrac{1}{8}×[(87-90)^2+2×(88-90)^2+(89-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(95-90)^2]=6$(分²)。乙志愿小组的积分按从小到大的顺序重新排列为79,84,88,89,91,92,97,100,所以其中位数为$\dfrac{89+91}{2}=90$,故答案为:90;90;6。(2)甲志愿小组被评选为“稳定贡献奖”更合适。理由如下:因为甲乙两组的平均分相同,而$S_甲^2=6,S_乙^2=39.5$,所以$S_甲^2＜S_乙^2$。所以甲志愿小组的积分波动小,评选甲志愿小组为“稳定贡献奖”。
解析
【分析】
要解决本题，需先明确平均数、中位数、方差的计算规则，以及方差反映数据稳定性的意义：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两数的平均数；方差是各数据与平均数差的平方和除以数据个数，方差越小数据波动越小。第(1)问分别计算甲的平均数、方差，乙的中位数；第(2)问通过比较两组方差判断稳定性。
【解析】
(1) 计算甲志愿小组的平均数：
甲的8个数据总和为$87+88+88+89+90+91+92+95=720$，平均数$\bar{x}_甲=\frac{720}{8}=90$（分）。
计算甲志愿小组的方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(87-90)^2+2×(88-90)^2+(89-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(95-90)^2]$
$=\frac{1}{8}×(9+8+1+0+1+4+25)=6$（分²）。
计算乙志愿小组的中位数：
将乙的8个数据从小到大排序为：79,84,88,89,91,92,97,100，共8个数据，中位数为第4、5个数的平均数：$\frac{89+91}{2}=90$（分）。
(2) 判断哪组更合适：
甲、乙两组平均数均为90分，$s^2_甲=6$，$s^2_乙=39.5$，因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，所以甲组积分波动更小，更稳定，故甲组更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数为90，方差为6；乙的中位数为90；
(2) 甲志愿小组更合适，理由：甲乙平均数相同，甲的方差更小，积分波动小，稳定性更强。
【知识点】
平均数计算，中位数计算，方差的意义
【点评】
本题考查统计中基础量的计算及方差的实际应用，属于常规统计题，需掌握相关公式，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先明确平均数、中位数、方差的计算规则，以及方差反映数据稳定性的意义：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两数的平均数；方差是各数据与平均数差的平方和除以数据个数，方差越小数据波动越小。第(1)问分别计算甲的平均数、方差，乙的中位数；第(2)问通过比较两组方差判断稳定性。
【解析】
(1) 计算甲志愿小组的平均数：
甲的8个数据总和为$87+88+88+89+90+91+92+95=720$，平均数$\bar{x}_甲=\frac{720}{8}=90$（分）。
计算甲志愿小组的方差：
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2$，代入数据得：
$s^2_甲=\frac{1}{8}×[(87-90)^2+2×(88-90)^2+(89-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(95-90)^2]$
$=\frac{1}{8}×(9+8+1+0+1+4+25)=6$（分²）。
计算乙志愿小组的中位数：
将乙的8个数据从小到大排序为：79,84,88,89,91,92,97,100，共8个数据，中位数为第4、5个数的平均数：$\frac{89+91}{2}=90$（分）。
(2) 判断哪组更合适：
甲、乙两组平均数均为90分，$s^2_甲=6$，$s^2_乙=39.5$，因为$s^2_甲 ＜ s^2_乙$，所以甲组积分波动更小，更稳定，故甲组更合适。
【答案】
(1) 甲的平均数为90，方差为6；乙的中位数为90；
(2) 甲志愿小组更合适，理由：甲乙平均数相同，甲的方差更小，积分波动小，稳定性更强。
【知识点】
平均数计算，中位数计算，方差的意义
【点评】
本题考查统计中基础量的计算及方差的实际应用，属于常规统计题，需掌握相关公式，难度适中。
【难度系数】
0.6
