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9. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, BC=4, AC=3$, 将 $△ ABC$ 绕点 $B$ 按逆时针方向旋转得 $△ A'BC'$, 若点 $C'$ 在 $AB$ 上, 则 $AA'$ 的长为（
A.$\sqrt{10}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$
A
）A.$\sqrt{10}$
B.$4$
C.$2\sqrt{5}$
D.$5$
答案
9.A 【解析】因为将$△ ABC$绕点$B$逆时针旋转得$△ A'BC'$,所以$∠ A'C'B=∠ C=90°,A'C'=AC=3,BC'=BC=4$。根据勾股定理,得$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=5$,所以$AC'=AB-BC'=1$。在$Rt△ AA'C'$中,由勾股定理,得$AA'=\sqrt{AC'^2+A'C'^2}=\sqrt{10}$。故选A。
解析
【分析】
要计算AA'的长度，需利用旋转的性质得到对应边的关系，再结合勾股定理分步求解：首先在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长，再根据点C'在AB上的位置求出AC'的长度，最后在Rt△AA'C'中再次用勾股定理计算AA'。
【解析】
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，
∴旋转前后对应边相等、对应角相等，即A'C'=AC=3，BC'=BC=4，∠A'C'B=∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理：
AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。
∵点C'在AB上，
∴AC'=AB - BC'=5 - 4=1。
又
∵∠A'C'B=90°，
∴∠AC'A'=90°，即△AA'C'为直角三角形，
在Rt△AA'C'中，根据勾股定理：
AA'=√(AC'² + A'C'²)=√(1² + 3²)=√10。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题考查旋转的性质与勾股定理的综合应用，解题核心是利用旋转的性质确定对应边的长度，再结合直角三角形的勾股定理计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要计算AA'的长度，需利用旋转的性质得到对应边的关系，再结合勾股定理分步求解：首先在Rt△ABC中用勾股定理求出AB的长，再根据点C'在AB上的位置求出AC'的长度，最后在Rt△AA'C'中再次用勾股定理计算AA'。
【解析】
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A'BC'，
∴旋转前后对应边相等、对应角相等，即A'C'=AC=3，BC'=BC=4，∠A'C'B=∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理：
AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。
∵点C'在AB上，
∴AC'=AB - BC'=5 - 4=1。
又
∵∠A'C'B=90°，
∴∠AC'A'=90°，即△AA'C'为直角三角形，
在Rt△AA'C'中，根据勾股定理：
AA'=√(AC'² + A'C'²)=√(1² + 3²)=√10。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；勾股定理
【点评】
本题考查旋转的性质与勾股定理的综合应用，解题核心是利用旋转的性质确定对应边的长度，再结合直角三角形的勾股定理计算，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF=2,点P在边AD上运动(不与点A,D重合),连结点P与AC的中点O并延长交BC于点Q,连结PE,PF,QE,QF。在点P从点D运动到点A的整个过程中,四边形PEQF的形状变化依次是 (
A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
C
)A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
答案
10.C
解析
【分析】
要解决本题，首先利用矩形性质证明四边形PEQF始终为平行四边形，再结合特殊平行四边形（菱形、矩形）的判定条件，分析动点P运动过程中对角线的变化，从而判断形状的变化顺序。矩形ABCD中，AD//BC，可证△APO≌△CQO得PO=QO；结合AC中点O及AE=CF=2，得EO=FO，故四边形PEQF对角线互相平分，初始为平行四边形。再根据“对角线垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形”，分析动点P运动时对角线PQ与AC、EF的关系，确定特殊形状的出现时机。
【解析】
1. 证明四边形PEQF为平行四边形：
矩形ABCD中，AD//BC，故∠PAO=∠QCO，OA=OC，∠AOP=∠COQ，因此△APO≌△CQO（ASA），得PO=QO。
由勾股定理，AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10，O为AC中点，故AO=OC=5。已知AE=CF=2，因此EO=AO-AE=3，FO=OC-CF=3，即EO=FO。
四边形PEQF的对角线互相平分，故始终为平行四边形。
2. 分析特殊形状的判定：
菱形：平行四边形对角线垂直时为菱形。AC斜率为$\frac{3}{4}$，设P(p,0)，PQ过O(4,3)，则PQ斜率为$\frac{-3}{p-4}$。当PQ⊥AC时，斜率乘积为-1，解得$p=\frac{25}{4}=6.25$，此时平行四边形变为菱形。
矩形：平行四边形对角线相等时为矩形。EF长度为6，PQ长度为$\sqrt{(8-2p)^2+36}$，令PQ=EF=6，解得p=4，此时平行四边形变为矩形。
3. 形状变化顺序：
点P从D(p=8)向A(p=0)运动，过程为：p=8→6.25（平行四边形→菱形）→6.25→4（平行四边形）→4（矩形）→4→0（平行四边形），故形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
矩形性质、平行四边形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】
本题结合矩形性质与特殊平行四边形的判定，分析动点运动过程中图形的动态变化，需理清对角线的特殊条件对应的动点位置，考查几何逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用矩形性质证明四边形PEQF始终为平行四边形，再结合特殊平行四边形（菱形、矩形）的判定条件，分析动点P运动过程中对角线的变化，从而判断形状的变化顺序。矩形ABCD中，AD//BC，可证△APO≌△CQO得PO=QO；结合AC中点O及AE=CF=2，得EO=FO，故四边形PEQF对角线互相平分，初始为平行四边形。再根据“对角线垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形”，分析动点P运动时对角线PQ与AC、EF的关系，确定特殊形状的出现时机。
【解析】
1. 证明四边形PEQF为平行四边形：
矩形ABCD中，AD//BC，故∠PAO=∠QCO，OA=OC，∠AOP=∠COQ，因此△APO≌△CQO（ASA），得PO=QO。
由勾股定理，AC=√(AB²+BC²)=√(6²+8²)=10，O为AC中点，故AO=OC=5。已知AE=CF=2，因此EO=AO-AE=3，FO=OC-CF=3，即EO=FO。
四边形PEQF的对角线互相平分，故始终为平行四边形。
2. 分析特殊形状的判定：
菱形：平行四边形对角线垂直时为菱形。AC斜率为$\frac{3}{4}$，设P(p,0)，PQ过O(4,3)，则PQ斜率为$\frac{-3}{p-4}$。当PQ⊥AC时，斜率乘积为-1，解得$p=\frac{25}{4}=6.25$，此时平行四边形变为菱形。
矩形：平行四边形对角线相等时为矩形。EF长度为6，PQ长度为$\sqrt{(8-2p)^2+36}$，令PQ=EF=6，解得p=4，此时平行四边形变为矩形。
3. 形状变化顺序：
点P从D(p=8)向A(p=0)运动，过程为：p=8→6.25（平行四边形→菱形）→6.25→4（平行四边形）→4（矩形）→4→0（平行四边形），故形状依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形。
【答案】
C
【知识点】
矩形性质、平行四边形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】
本题结合矩形性质与特殊平行四边形的判定，分析动点运动过程中图形的动态变化，需理清对角线的特殊条件对应的动点位置，考查几何逻辑分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
11.若一个多边形的内角和为$360°$,则这个多边形的边数为
4
。答案
11.4
解析
【分析】首先回忆多边形内角和的计算公式：n边形（n≥3且为整数）的内角和为$(n-2)×180°$。题目已知该多边形内角和为$360°$，因此将内角和代入公式，通过解方程即可求出多边形的边数。
【解析】设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180° = 360°$
两边同时除以$180°$，得：$n - 2 = 2$
移项计算得：$n = 4$
【答案】4
【知识点】多边形内角和公式
【点评】本题是多边形内角和的基础应用题，直接考查公式的记忆与简单应用，属于基础题型，只要牢记多边形内角和公式就能快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】设这个多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式列方程：
$(n-2)×180° = 360°$
两边同时除以$180°$，得：$n - 2 = 2$
移项计算得：$n = 4$
【答案】4
【知识点】多边形内角和公式
【点评】本题是多边形内角和的基础应用题，直接考查公式的记忆与简单应用，属于基础题型，只要牢记多边形内角和公式就能快速求解。
【难度系数】0.9
12.若$x=2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+4x+a=0$的一个解，则$a$的值为________。
答案
12.−12
解析
【分析】首先明确一元二次方程解的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=2是该方程的解，因此将x=2代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解此方程即可求出a的值。
【解析】把x=2代入方程$x^2+4x+a=0$中，得：$2^2 + 4×2 + a = 0$，计算得$4 + 8 + a = 0$，即$12 + a = 0$，解得$a = -12$。
【答案】−12
【知识点】一元二次方程的解；代入求值
【点评】本题考查一元二次方程解的基础应用，属于简单题型，核心是利用方程解的定义代入计算，学生易掌握。
【难度系数】0.9
【解析】把x=2代入方程$x^2+4x+a=0$中，得：$2^2 + 4×2 + a = 0$，计算得$4 + 8 + a = 0$，即$12 + a = 0$，解得$a = -12$。
【答案】−12
【知识点】一元二次方程的解；代入求值
【点评】本题考查一元二次方程解的基础应用，属于简单题型，核心是利用方程解的定义代入计算，学生易掌握。
【难度系数】0.9
13.观察下列各式：①$\sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$；②$\sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；③$\sqrt{\frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{4})} = \frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；④$\sqrt{\frac{1}{3}(\frac{1}{4} - \frac{1}{5})} = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$；…，则第7个等式为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$
解析
【分析】
观察给出的4个等式，对应序号为1到4，先拆解每个等式的左右结构，归纳序号与等式各部分的规律：①左边：从第2个等式起，左边为$\sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$（n为序号）；②右边：每个等式右边为$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。将n=7代入规律，即可得到第7个等式。
【解析】
设第n个等式（n为正整数），根据已知等式归纳规律：
1. 左边：当n≥2时，左边为$\sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$；
2. 右边：每个等式右边为$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。
当n=7时，代入规律计算：
左边：$\sqrt{\frac{1}{7-1}(\frac{1}{7}-\frac{1}{7+1})}=\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})}$；
右边：$\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{7^2-1}}=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$。
因此第7个等式为$\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})}=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$
【知识点】
二次根式的性质，规律探究
【点评】
本题是规律探究型题目，需通过观察已知等式的结构特征，归纳出序号与等式各部分的对应关系，再代入计算，重点考查二次根式的化简和逻辑推理能力，属于中等难度的题型。
【难度系数】
0.5
观察给出的4个等式，对应序号为1到4，先拆解每个等式的左右结构，归纳序号与等式各部分的规律：①左边：从第2个等式起，左边为$\sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$（n为序号）；②右边：每个等式右边为$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。将n=7代入规律，即可得到第7个等式。
【解析】
设第n个等式（n为正整数），根据已知等式归纳规律：
1. 左边：当n≥2时，左边为$\sqrt{\frac{1}{n-1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})}$；
2. 右边：每个等式右边为$\frac{1}{n}\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$。
当n=7时，代入规律计算：
左边：$\sqrt{\frac{1}{7-1}(\frac{1}{7}-\frac{1}{7+1})}=\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})}$；
右边：$\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{7^2-1}}=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$。
因此第7个等式为$\sqrt{\frac{1}{6}(\frac{1}{7}-\frac{1}{8})}=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{48}}$。
【答案】
$\sqrt{\dfrac{1}{6}(\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{8})}=\dfrac{1}{7}\sqrt{\dfrac{7}{48}}$
【知识点】
二次根式的性质，规律探究
【点评】
本题是规律探究型题目，需通过观察已知等式的结构特征，归纳出序号与等式各部分的对应关系，再代入计算，重点考查二次根式的化简和逻辑推理能力，属于中等难度的题型。
【难度系数】
0.5
14.两组数据$m,6,n$与$1,m,2n,7$的平均数都是6,若将这两组数据合并成一组数据,则这组新数据的上四分位数为
8
。答案
14.8
解析
【分析】
解决本题需分三步：1. 根据两组数据的平均数均为6，利用平均数公式列方程组求出未知参数m、n；2. 合并两组数据并排序；3. 依据上四分位数（第75百分位数）的定义计算结果。
【解析】
1. 求m、n的值：
第一组数据平均数为6，故$\frac{m + 6 + n}{3} = 6$，化简得$m + n = 12$；
第二组数据平均数为6，故$\frac{1 + m + 2n + 7}{4} = 6$，化简得$m + 2n = 16$；
联立方程组$\begin{cases}m + n = 12 \\ m + 2n = 16\end{cases}$，解得$n=4$，$m=8$。
2. 合并并排序数据：
两组数据分别为$8,6,4$和$1,8,8,7$，合并后排序为：$1,4,6,7,8,8,8$，共7个数据。
3. 计算上四分位数：
上四分位数即第75百分位数，计算位置$i = 7 × 75\% = 5.25$，i非整数时向上取整得6，对应排序后第6个数据为8。
【答案】
8
【知识点】
平均数、百分位数
【点评】
本题综合考查平均数与百分位数的计算，核心是先通过平均数确定参数，再正确处理数据合并与排序，最后按规则计算百分位数，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.5
解决本题需分三步：1. 根据两组数据的平均数均为6，利用平均数公式列方程组求出未知参数m、n；2. 合并两组数据并排序；3. 依据上四分位数（第75百分位数）的定义计算结果。
【解析】
1. 求m、n的值：
第一组数据平均数为6，故$\frac{m + 6 + n}{3} = 6$，化简得$m + n = 12$；
第二组数据平均数为6，故$\frac{1 + m + 2n + 7}{4} = 6$，化简得$m + 2n = 16$；
联立方程组$\begin{cases}m + n = 12 \\ m + 2n = 16\end{cases}$，解得$n=4$，$m=8$。
2. 合并并排序数据：
两组数据分别为$8,6,4$和$1,8,8,7$，合并后排序为：$1,4,6,7,8,8,8$，共7个数据。
3. 计算上四分位数：
上四分位数即第75百分位数，计算位置$i = 7 × 75\% = 5.25$，i非整数时向上取整得6，对应排序后第6个数据为8。
【答案】
8
【知识点】
平均数、百分位数
【点评】
本题综合考查平均数与百分位数的计算，核心是先通过平均数确定参数，再正确处理数据合并与排序，最后按规则计算百分位数，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.5
15. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$AB=4$,$D$,$E$分别是$AB$,$AC$边的中点,点$F$在$BC$的延长线上,$CF=\frac{1}{2}BC$,若$CF=3$,则$EF$的长为________。
答案
15.$4\sqrt{2}$ 【解析】如图,连结$DE,CD$。因为$D,E$分别是$AB,AC$边的中点,$AB=4$,所以$DE$是$△ ABC$的中位线,$BD=2$。所以$DE=\dfrac{1}{2}BC,DE// BC$。因为$CF=\dfrac{1}{2}BC,CF=3$,所以$DE=CF,BC=6$。所以四边形$DCFE$为平行四边形。所以$EF=CD$。因为$CA=CB,D$是$AB$的中点,所以$CD⊥ AB$。所以$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。所以$EF=4\sqrt{2}$。
解析
【分析】
要计算EF的长度，需通过几何定理转化线段关系：首先利用中位线性质和已知条件推导四边形DCFE为平行四边形，得到EF=CD；再结合等腰三角形三线合一的性质，用勾股定理计算CD的长度，即可得到EF的长。具体思路：1. 由CF=1/2 BC和CF=3，求出BC的长度；2. 根据D、E是AB、AC中点，得出DE是△ABC的中位线，得到DE与BC的数量和位置关系，结合CF=1/2 BC，判定四边形DCFE是平行四边形，从而EF=CD；3. 利用等腰三角形三线合一得CD⊥AB，再用勾股定理计算CD，进而得到EF。
【解析】
解：连接DE、CD。
∵ D、E分别是AB、AC的中点，AB=4，
∴ DE是△ABC的中位线，BD=1/2 AB=2，
∴ DE=1/2 BC，DE//BC。
又
∵ CF=1/2 BC，CF=3，
∴ DE=CF=3，BC=6，
∴ DE//CF且DE=CF，
∴ 四边形DCFE是平行四边形，
∴ EF=CD。
∵ AC=BC，D是AB的中点，
∴ CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
在Rt△CDB中，由勾股定理得：
CD=√(BC² - BD²)=√(6² - 2²)=√32=4√2，
∴ EF=CD=4√2。
【答案】
4√2
【知识点】
三角形中位线、平行四边形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解题关键是通过平行四边形转化线段，再结合等腰三角形性质和勾股定理计算，需熟练掌握相关几何定理的应用，难度中等。
【难度系数】
0.4
要计算EF的长度，需通过几何定理转化线段关系：首先利用中位线性质和已知条件推导四边形DCFE为平行四边形，得到EF=CD；再结合等腰三角形三线合一的性质，用勾股定理计算CD的长度，即可得到EF的长。具体思路：1. 由CF=1/2 BC和CF=3，求出BC的长度；2. 根据D、E是AB、AC中点，得出DE是△ABC的中位线，得到DE与BC的数量和位置关系，结合CF=1/2 BC，判定四边形DCFE是平行四边形，从而EF=CD；3. 利用等腰三角形三线合一得CD⊥AB，再用勾股定理计算CD，进而得到EF。
【解析】
解：连接DE、CD。
∵ D、E分别是AB、AC的中点，AB=4，
∴ DE是△ABC的中位线，BD=1/2 AB=2，
∴ DE=1/2 BC，DE//BC。
又
∵ CF=1/2 BC，CF=3，
∴ DE=CF=3，BC=6，
∴ DE//CF且DE=CF，
∴ 四边形DCFE是平行四边形，
∴ EF=CD。
∵ AC=BC，D是AB的中点，
∴ CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
在Rt△CDB中，由勾股定理得：
CD=√(BC² - BD²)=√(6² - 2²)=√32=4√2，
∴ EF=CD=4√2。
【答案】
4√2
【知识点】
三角形中位线、平行四边形判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理，解题关键是通过平行四边形转化线段，再结合等腰三角形性质和勾股定理计算，需熟练掌握相关几何定理的应用，难度中等。
【难度系数】
0.4
16. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=3$,$AC=4$,$D$是边$BC$上一点,将$△ ABD$沿直线$AD$折叠,点$B$的对应点为点$B'$,当$B'D$平行于$△ ABC$的一条边时,$BD$的长为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
16.1或3 【解析】如图1,当$B'D// AC$时,设$AB'$交$BC$于点$E$,则$∠ CAE=∠ B'$。因为$∠ BAC=90°,AB=3,AC=4$,所以$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5,∠ B+∠ C=90°$。由折叠的性质得$△ ABD≌△ AB'D$,所以$∠ B=∠ B',B'D=BD,AB'=AB=3$。所以$∠ CAE=∠ B$。所以$∠ AEB=∠ CAE+∠ C=∠ B+∠ C=90°$。所以$∠ B'ED=90°,AE⊥ BC$。所以$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×5× AE=\dfrac{1}{2}×3×4$,解得$AE=\dfrac{12}{5}$。所以$B'E=AB'-AE=3-\dfrac{12}{5}=\dfrac{3}{5},BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{3^2-(\dfrac{12}{5})^2}=\dfrac{9}{5}$。所以$DE=\dfrac{9}{5}-BD$。因为$DE^2+B'E^2=B'D^2$,所以$(\dfrac{9}{5}-BD)^2+(\dfrac{3}{5})^2=BD^2$,解得$BD=1$。如图2,当$B'D// AB$时,$∠ BAD=∠ B'DA$。由折叠的性质得$∠ BDA=∠ B'DA$,所以$∠ BAD=∠ BDA$。所以$BD=AB=3$。因为点$D$在$BC$上,所以不存在$B'D// BC$的情况。综上所述,$BD$的长为1或3。
解析
【分析】
本题需分情况讨论$B'D$与$△ ABC$各边平行的情况，利用折叠的性质（对应边、对应角相等），结合直角三角形的勾股定理、面积法等知识求解$BD$的长度，注意排除$B'D// BC$的不存在情况。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$∠ B+∠ C=90°$。
由折叠性质，$△ ABD≌△ AB'D$，故$∠ B=∠ B'$，$AB'=AB=3$，$B'D=BD$。
情况1：当$B'D// AC$时，如图1：
设$AB'$交$BC$于点$E$，因为$B'D// AC$，所以$∠ CAE=∠ B'$，又$∠ B=∠ B'$，故$∠ CAE=∠ B$。
因此$∠ AEB=∠ CAE+∠ C=∠ B+∠ C=90°$，即$AE⊥ BC$。
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AE$，代入得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$，解得$AE=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$，则$B'E=AB'-AE=3-\frac{12}{5}=\frac{3}{5}$。
设$BD=x$，则$DE=BE-BD=\frac{9}{5}-x$，在$\mathrm{Rt}△B'ED$中，由勾股定理：$DE^2+B'E^2=B'D^2$，即$(\frac{9}{5}-x)^2+(\frac{3}{5})^2=x^2$，展开化简得$\frac{90}{25}-\frac{18}{5}x=0$，解得$x=1$，即$BD=1$。
情况2：当$B'D// AB$时，如图2：
因为$B'D// AB$，所以$∠ BAD=∠ B'DA$，由折叠性质$∠ BDA=∠ B'DA$，故$∠ BAD=∠ BDA$，因此$BD=AB=3$，且$3＜5$，点$D$在$BC$上，符合条件。
不存在$B'D// BC$的情况，综上$BD$的长为$1$或$3$。
【答案】
1或3
【知识点】
折叠性质、勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题考查折叠的性质，需分类讨论$B'D$与三角形各边平行的情况，结合直角三角形的相关知识求解，关键是利用折叠的对应关系转化角和边，难度适中。
【难度系数】
0.4
本题需分情况讨论$B'D$与$△ ABC$各边平行的情况，利用折叠的性质（对应边、对应角相等），结合直角三角形的勾股定理、面积法等知识求解$BD$的长度，注意排除$B'D// BC$的不存在情况。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$∠ B+∠ C=90°$。
由折叠性质，$△ ABD≌△ AB'D$，故$∠ B=∠ B'$，$AB'=AB=3$，$B'D=BD$。
情况1：当$B'D// AC$时，如图1：
设$AB'$交$BC$于点$E$，因为$B'D// AC$，所以$∠ CAE=∠ B'$，又$∠ B=∠ B'$，故$∠ CAE=∠ B$。
因此$∠ AEB=∠ CAE+∠ C=∠ B+∠ C=90°$，即$AE⊥ BC$。
由三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· AC=\frac{1}{2}BC· AE$，代入得$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× AE$，解得$AE=\frac{12}{5}$。
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$BE=\sqrt{AB^2-AE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$，则$B'E=AB'-AE=3-\frac{12}{5}=\frac{3}{5}$。
设$BD=x$，则$DE=BE-BD=\frac{9}{5}-x$，在$\mathrm{Rt}△B'ED$中，由勾股定理：$DE^2+B'E^2=B'D^2$，即$(\frac{9}{5}-x)^2+(\frac{3}{5})^2=x^2$，展开化简得$\frac{90}{25}-\frac{18}{5}x=0$，解得$x=1$，即$BD=1$。
情况2：当$B'D// AB$时，如图2：
因为$B'D// AB$，所以$∠ BAD=∠ B'DA$，由折叠性质$∠ BDA=∠ B'DA$，故$∠ BAD=∠ BDA$，因此$BD=AB=3$，且$3＜5$，点$D$在$BC$上，符合条件。
不存在$B'D// BC$的情况，综上$BD$的长为$1$或$3$。
【答案】
1或3
【知识点】
折叠性质、勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题考查折叠的性质，需分类讨论$B'D$与三角形各边平行的情况，结合直角三角形的相关知识求解，关键是利用折叠的对应关系转化角和边，难度适中。
【难度系数】
0.4
