20.(6分)如图,校园空地上有一面长为4 m的墙。为了创建美丽校园,学校决定用这面墙和20 m的围栏围成一个矩形花园ABCD。
(1)如图1,利用墙围成矩形花园ABCD,若围成的花园的面积为32 m²,求花园的边长。
(2)如图2,用围栏补墙得到矩形花园ABCD,花园的面积可能为36 m²吗?若能,请求出BC的长;若不能,请说明理由。

20.(1)设$AD$为$x$ m,则$AB$为$(10-\dfrac{1}{2}x)$m。由题意得$x(10-\dfrac{1}{2}x)=32$,解得$x_1=4,x_2=16$。因为墙长为4 m,所以$x_2=16$舍去。当$x=4$时,$10-\dfrac{1}{2}x=8$。所以矩形花园的边长分别为8 m和4 m。(2)能。设$BC$为$y$ m,则$AB$为$(12-y)$m。由题意得$y(12-y)=36$,解得$y_1=y_2=6$。所以$BC$的长为6 m。

【分析】
本题是一元二次方程在矩形面积问题中的实际应用，需结合图形明确围栏的组成，根据矩形面积公式列方程求解，同时要结合实际意义舍去不符合条件的解。
(1) 图1中利用整面墙AD，围栏仅围AB、BC、CD三边，AB=CD，总围栏长20m，因此可设AD=x m，用x表示AB的长度，再根据面积列方程，结合墙长限制舍去不合理的解；
(2) 图2中利用墙的AE段，围栏需围AB、BC、CD、DE四边，总围栏长20m，结合墙长4m推导AB与BC的关系，再假设面积为36m²，列方程判断是否有符合实际的解。
【解析】
(1) 设AD的长度为$x$ m，则BC=$x$ m，AB=CD。
由总围栏长20m得：$2AB + x = 20$，故$AB = \frac{20 - x}{2}$ m。
根据矩形面积公式，列方程：
$x · \frac{20 - x}{2} = 32$
整理得：$x^2 - 20x + 64 = 0$，
因式分解得：$(x - 4)(x - 16) = 0$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 16$。
因为墙长为4m，AD不能超过墙长，所以$x_2 = 16$舍去。
当$x = 4$时，$AB = \frac{20 - 4}{2} = 8$ m，
即矩形花园的边长为8 m和4 m。
(2) 设BC的长度为$y$ m，由图2可知，墙长AE=4m，故$DE = BC - AE = y - 4$ m。
总围栏长为$AB + BC + CD + DE = 20$ m，且AB=CD，代入得：
$2AB + y + (y - 4) = 20$，
化简得：$AB = 12 - y$。
假设花园面积为36 m²，根据面积公式列方程：
$y(12 - y) = 36$，
整理得：$y^2 - 12y + 36 = 0$，
解得：$y_1 = y_2 = 6$。
此时$AB = 12 - 6 = 6$ m，$DE = 6 - 4 = 2$ m，均为正数，符合实际，故面积可以为36 m²，BC的长为6 m。
【答案】
(1) 矩形花园的边长分别为8 m和4 m；(2) 能，BC的长为6 m。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合矩形围栏的实际问题考查一元二次方程的应用，关键是理清围栏的组成部分，需注意根据实际意义舍去不符合的解，属于常规应用题。
【难度系数】
0.5

21.(8分)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=100°,点P在对角线AC上,PE//BC交AB于点E,PF//AB交BC于点F。
(1)求∠EPF的度数。
(2)连结PD,当∠DPC=60°时,请判断PD与PF的数量关系并证明。

21.(1)因为$PE// BC,PF// AB$,所以四边形$EBFP$是平行四边形。所以$∠ EPF=∠ ABC=100°$。(2)$PD=PF$。理由如下:如图,连结$PB$。在菱形$ABCD$中,$CB=CD,∠ DCA=∠ BCA$,因为$PC=PC$,所以$△ CDP≌△ CBP$。所以$PD=PB,∠ BPC=∠ DPC=60°$。因为$∠ ABC=100°,BA=BC$,所以$∠ BAC=∠ BCA=40°$。因为$PF// AB$,所以$∠ CPF=∠ CAB=40°$。所以$∠ BPF=60°-40°=20°,∠ PFB=40°+40°=80°$。所以$∠ PBF=∠ PFB=80°$。所以$PB=PF$。所以$PD=PF$。

【分析】
第(1)问：已知PE//BC，PF//AB，根据平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）可推出四边形EBFP为平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质，即可求出∠EPF的度数。
第(2)问：要判断PD与PF的数量关系，先连接PB，利用菱形的性质（四边相等、对角线平分内角）证明△CDP≌△CBP，得到PD=PB；再结合平行线的性质和三角形内角和，推导得出∠PBF=∠PFB，进而得到PB=PF，最终推出PD=PF。
【解析】
(1)
∵ PE//BC，PF//AB，
∴ 四边形EBFP是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ ∠EPF = ∠ABC = 100°（平行四边形的对角相等）。
(2) PD = PF，证明如下：
连接PB，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CB = CD，∠DCA = ∠BCA（菱形的四条边相等，对角线平分一组对角），
又
∵ PC = PC，
∴ △CDP ≌ △CBP（SAS），
∴ PD = PB，∠BPC = ∠DPC = 60°。
∵ 四边形ABCD是菱形，∠ABC = 100°，
∴ BA = BC，∠BAC = ∠BCA = (180° - 100°)÷2 = 40°，
∵ PF//AB，
∴ ∠CPF = ∠CAB = 40°（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠BPF = ∠BPC - ∠CPF = 60° - 40° = 20°，
∵ ∠PFB是△CPF的外角，
∴ ∠PFB = ∠BCA + ∠CPF = 40° + 40° = 80°，
在△PBF中，∠PBF = 180° - ∠BPF - ∠PFB = 180° - 20° - 80° = 80°，
∴ ∠PBF = ∠PFB，
∴ PB = PF（等角对等边），
又
∵ PD = PB，
∴ PD = PF。
【答案】
(1) ∠EPF = 100°；(2) PD = PF
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查菱形、平行四边形、全等三角形的相关知识，解题关键是利用菱形性质推导边和角的关系，通过构造辅助线证明三角形全等，结合平行线和等腰三角形性质推导边相等，逻辑严谨，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5