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22. (10分)根据以下素材,解决问题。
数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中,发现方程的根与系数之间存在着特殊关系,由于该关系最早由韦达发现,人们把这个关系称之为韦达定理。
素材1 材料1:关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根$x_1,x_2$和系数$a,b,c$,有如下关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$。
素材2 材料2:已知一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n+mn^2$的值。
解:因为$m,n$是一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根,所以$m+n=1,mn=-1$。图1则$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-1×1=-1$。
问题解决
问题1 若一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$
问题2 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+(2m+1)=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,且$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,求$m$的取值范围。
问题3 已知一元二次方程$2x^2+2025x-3=0$的两个实数根为$m,n$,求$(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)$的值。
数学家韦达在研究一元二次方程的解法的过程中,发现方程的根与系数之间存在着特殊关系,由于该关系最早由韦达发现,人们把这个关系称之为韦达定理。
素材1 材料1:关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两个实数根$x_1,x_2$和系数$a,b,c$,有如下关系:$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}$。
素材2 材料2:已知一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根分别为$m,n$,求$m^2n+mn^2$的值。
解:因为$m,n$是一元二次方程$x^2-x-1=0$的两个实数根,所以$m+n=1,mn=-1$。图1则$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-1×1=-1$。
问题解决
问题1 若一元二次方程$2x^2+3x-1=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$
$-\dfrac{3}{2}$
,$x_1x_2=$$-\dfrac{1}{2}$
。问题2 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+(2m+1)=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,且$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,求$m$的取值范围。
问题3 已知一元二次方程$2x^2+2025x-3=0$的两个实数根为$m,n$,求$(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)$的值。
答案
22.问题1:$-\dfrac{3}{2}$ $-\dfrac{1}{2}$
问题2:因为关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+(2m+1)=0$有两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=6,x_1x_2=2m+1$。因为$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,所以$2(2m+1)+6≥20$,解得$m≥3$。
问题3:因为一元二次方程$2x^2+2025x-3=0$的两个实数根为$m,n$,所以$m+n=-\dfrac{2025}{2},mn=-\dfrac{3}{2},2m^2+2025m-3=0,2n^2+2025n-3=0$。所以$2m^2+2024m-7=-m-4,2n^2+2026n+1=n+4$。所以$(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)=-(m+4)(n+4)=-[mn+4(m+n)+16]=-mn-4(m+n)-16=\dfrac{3}{2}-4×(-\dfrac{2025}{2})-16=\dfrac{3}{2}+4050-16=\dfrac{8071}{2}$。
问题2:因为关于$x$的一元二次方程$x^2-6x+(2m+1)=0$有两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=6,x_1x_2=2m+1$。因为$2x_1x_2+x_1+x_2≥20$,所以$2(2m+1)+6≥20$,解得$m≥3$。
问题3:因为一元二次方程$2x^2+2025x-3=0$的两个实数根为$m,n$,所以$m+n=-\dfrac{2025}{2},mn=-\dfrac{3}{2},2m^2+2025m-3=0,2n^2+2025n-3=0$。所以$2m^2+2024m-7=-m-4,2n^2+2026n+1=n+4$。所以$(2m^2+2024m-7)(2n^2+2026n+1)=-(m+4)(n+4)=-[mn+4(m+n)+16]=-mn-4(m+n)-16=\dfrac{3}{2}-4×(-\dfrac{2025}{2})-16=\dfrac{3}{2}+4050-16=\dfrac{8071}{2}$。
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系）及方程根的定义展开解题。问题1直接套用韦达定理公式计算；问题2先利用韦达定理得到两根和与积，代入给定的不等式求解m的范围；问题3需结合方程根的定义对二次式降次，再结合韦达定理计算代数式的值，解题时要注意公式的准确应用和代数变形的正确性。
【解析】
问题1：对于一元二次方程$2x^2 + 3x -1 =0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$，根据韦达定理：
两根之和$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
问题2：对于一元二次方程$x^2 -6x + (2m+1)=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2m+1$，根据韦达定理得：
$x_1 +x_2 = 6$，$x_1x_2=2m+1$。
已知$2x_1x_2 +x_1 +x_2 ≥20$，代入得：
$2(2m+1) +6 ≥20$，
化简得：$4m +8 ≥20 →4m ≥12 →m≥3$。
问题3：对于一元二次方程$2x^2 +2025x -3=0$的两根$m,n$，根据韦达定理：
$m +n = -\frac{2025}{2}$，$mn=-\frac{3}{2}$；
又因为$m,n$是方程的根，所以满足$2m^2 +2025m -3=0$，$2n^2 +2025n -3=0$，变形得：
$2m^2 = -2025m +3$，$2n^2=-2025n +3$。
对所求代数式变形：
$2m^2 +2024m -7 = (-2025m +3) +2024m -7 = -m -4$，
$2n^2 +2026n +1 = (-2025n +3) +2026n +1 =n +4$。
则乘积为：
$(-m -4)(n +4) = -mn -4(m +n) -16$，
代入数值计算：
$-(-\frac{3}{2}) -4×(-\frac{2025}{2}) -16 = \frac{3}{2} + 4050 -16 = \frac{8071}{2}$。
【答案】
问题1：$-\dfrac{3}{2}$，$-\dfrac{1}{2}$；
问题2：$m≥3$；
问题3：$\dfrac{8071}{2}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根的定义，一元一次不等式的解法
【点评】
本题综合考查韦达定理的应用，涉及代数式变形、不等式求解等知识点，要求学生熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，以及利用方程根的定义进行降次处理，是代数部分的基础题型，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.5
本题围绕一元二次方程的韦达定理（根与系数的关系）及方程根的定义展开解题。问题1直接套用韦达定理公式计算；问题2先利用韦达定理得到两根和与积，代入给定的不等式求解m的范围；问题3需结合方程根的定义对二次式降次，再结合韦达定理计算代数式的值，解题时要注意公式的准确应用和代数变形的正确性。
【解析】
问题1：对于一元二次方程$2x^2 + 3x -1 =0$，其中$a=2$，$b=3$，$c=-1$，根据韦达定理：
两根之和$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。
问题2：对于一元二次方程$x^2 -6x + (2m+1)=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=2m+1$，根据韦达定理得：
$x_1 +x_2 = 6$，$x_1x_2=2m+1$。
已知$2x_1x_2 +x_1 +x_2 ≥20$，代入得：
$2(2m+1) +6 ≥20$，
化简得：$4m +8 ≥20 →4m ≥12 →m≥3$。
问题3：对于一元二次方程$2x^2 +2025x -3=0$的两根$m,n$，根据韦达定理：
$m +n = -\frac{2025}{2}$，$mn=-\frac{3}{2}$；
又因为$m,n$是方程的根，所以满足$2m^2 +2025m -3=0$，$2n^2 +2025n -3=0$，变形得：
$2m^2 = -2025m +3$，$2n^2=-2025n +3$。
对所求代数式变形：
$2m^2 +2024m -7 = (-2025m +3) +2024m -7 = -m -4$，
$2n^2 +2026n +1 = (-2025n +3) +2026n +1 =n +4$。
则乘积为：
$(-m -4)(n +4) = -mn -4(m +n) -16$，
代入数值计算：
$-(-\frac{3}{2}) -4×(-\frac{2025}{2}) -16 = \frac{3}{2} + 4050 -16 = \frac{8071}{2}$。
【答案】
问题1：$-\dfrac{3}{2}$，$-\dfrac{1}{2}$；
问题2：$m≥3$；
问题3：$\dfrac{8071}{2}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程根的定义，一元一次不等式的解法
【点评】
本题综合考查韦达定理的应用，涉及代数式变形、不等式求解等知识点，要求学生熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，以及利用方程根的定义进行降次处理，是代数部分的基础题型，需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.5
