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23. (10分)如图1,E是正方形ABCD内部的一点,DE=DA。连结AE,CE,过点C作AE的垂线交AE的延长线于点F。
(1)猜测∠CEF的度数,并说明理由。
(2)若AE=2EF=4,求正方形ABCD的边长。
(3)如图2,过点E作AF的垂线交CD于点H。当AF恰好经过BC的中点G时,设正方形ABCD的边长为a,用含a的代数式表示EH。
(1)猜测∠CEF的度数,并说明理由。
(2)若AE=2EF=4,求正方形ABCD的边长。
(3)如图2,过点E作AF的垂线交CD于点H。当AF恰好经过BC的中点G时,设正方形ABCD的边长为a,用含a的代数式表示EH。
答案
23.(1)$∠ CEF=45°$。理由如下:在正方形$ABCD$中,$DA=DC,∠ ADC=90°$,设$∠ ADE=α$,则$∠ EDC=90°-α$。因为$DE=DA$,所以$∠ DEA=\dfrac{180°-α}{2}=90°-\dfrac{1}{2}α$。因为$DA=DC$,所以$DE=DC$。所以$∠ DEC=\dfrac{180°-(90°-α)}{2}=45°+\dfrac{1}{2}α$。所以$∠ CEF=180°-(90°-\dfrac{1}{2}α)-(45°+\dfrac{1}{2}α)=45°$。
(2)因为$AE=2EF=4$,所以$EF=2$。由(1)知,$∠ CEF=45°$,因为$CF⊥ AF$,所以$△ EFC$是等腰直角三角形。所以$CF=EF=2$。如图1,连结$AC$。因为$AF=AE+EF=6$,所以$AC=\sqrt{AF^2+CF^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。所以正方形的边长为$\dfrac{2\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{5}$。
(3)如图2,连结$AH,GH$,过点$C$作$CM⊥ EH$于点$M$。因为$EH⊥ AF,∠ CEF=45°$,所以$∠ MEC=∠ FEC=45°$。因为$CF⊥ AF,CM⊥ EH$,所以$CM=CF,∠ CMH=∠ EMC=∠ F=90°$。所以$∠ MCF=90°$。因为$∠ DCB=∠ MCF=90°$,所以$∠ GCF=∠ MCH$。所以$△ MHC≌△ FGC(\mathrm{ASA})$。所以$CG=CH$。因为$G$是$BC$的中点,所以$BG=GC=CH=DH=\dfrac{1}{2}a$。$AD=AB=a$,所以$AG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}a$。因为$S_{△ AHG}=S_{\mathrm{正方形}ABCD}-S_{△ ABG}-S_{△ ADH}-S_{△ GCH}=a^2-\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{2}a· a·2-\dfrac{1}{2}·\dfrac{1}{2}a·\dfrac{1}{2}a=\dfrac{3}{8}a^2$,所以$EH=\dfrac{\dfrac{3}{8}a^2·2}{\dfrac{\sqrt{5}}{2}a}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}a$。
解析
【分析】
本题为正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要确定∠CEF的度数，利用正方形边长相等得DA=DC，结合DE=DA推出DE=DC，通过设角表示等腰三角形的底角，再利用平角定义计算角度；
(2) 由(1)的45°角结合CF⊥AF，可判断△EFC为等腰直角三角形，算出CF长度，连接AC后用勾股定理求对角线AC，进而得到正方形边长；
(3) 通过作辅助线CM⊥EH，利用角平分线性质和全等三角形判定得到CH与CG的关系，再用面积法计算EH的长度。
【解析】
(1) 解：∠CEF=45°，理由如下：
在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=90°，设∠ADE=α，则∠EDC=90°−α。
∵DE=DA，
∴△ADE为等腰三角形，∠DEA=(180°−α)/2=90°−(1/2)α。
又
∵DA=DC，
∴DE=DC，△CDE为等腰三角形，∠DEC=(180°−(90°−α))/2=45°+(1/2)α。
∵∠DEA + ∠DEC + ∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°−(90°−(1/2)α)−(45°+(1/2)α)=45°。
(2) 解：
∵AE=2EF=4，
∴EF=2，AF=AE+EF=6。
由(1)知∠CEF=45°，又CF⊥AF，
∴△EFC是等腰直角三角形，CF=EF=2。
连接AC，在Rt△AFC中，AC=√(AF²+CF²)=√(6²+2²)=2√10。
∵正方形对角线AC=边长×√2，
∴正方形边长=AC/√2=2√10/√2=2√5。
(3) 解：如图2，连结AH、GH，过点C作CM⊥EH于点M。
∵EH⊥AF，∠CEF=45°，
∴∠MEC=∠FEC=45°，即CE平分∠HEF。
又CF⊥AF，CM⊥EH，
∴CM=CF，∠CMH=∠EMC=∠F=90°，故∠MCF=90°。
∵∠DCB=∠MCF=90°，
∴∠GCF=∠MCH。
在△MHC和△FGC中：
$\{\begin{array}{l}∠CMH=∠CFG=90°\\CM=CF\\∠MCH=∠FCG\end{array} $
∴△MHC≌△FGC（ASA），得CG=CH。
∵G是BC中点，正方形边长为a，
∴CG=CH=$\frac{1}{2}a$，BG=DH=$\frac{1}{2}a$。
计算△AHG的面积：
$S_{△AHG}=S_{正方形ABCD}-S_{△ABG}-S_{△ADH}-S_{△GCH}$
$=a^2-\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}·\frac{1}{2}a·\frac{1}{2}a=\frac{3}{8}a^2$。
又AG=$\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{a^2+(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，且$S_{△AHG}=\frac{1}{2}·AG·EH$，
∴$EH=\frac{2·\frac{3}{8}a^2}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}=\frac{3\sqrt{5}}{10}a$。
【答案】
(1) ∠CEF=45°；
(2) 正方形边长为$2\sqrt{5}$；
(3) $EH=\frac{3\sqrt{5}}{10}a$；
【知识点】
正方形性质、等腰三角形、全等三角形、勾股定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查正方形性质、等腰三角形与全等三角形的判定性质、勾股定理及面积法，逻辑推理要求较高，需逐步推导辅助关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题为正方形背景下的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要确定∠CEF的度数，利用正方形边长相等得DA=DC，结合DE=DA推出DE=DC，通过设角表示等腰三角形的底角，再利用平角定义计算角度；
(2) 由(1)的45°角结合CF⊥AF，可判断△EFC为等腰直角三角形，算出CF长度，连接AC后用勾股定理求对角线AC，进而得到正方形边长；
(3) 通过作辅助线CM⊥EH，利用角平分线性质和全等三角形判定得到CH与CG的关系，再用面积法计算EH的长度。
【解析】
(1) 解：∠CEF=45°，理由如下：
在正方形ABCD中，DA=DC，∠ADC=90°，设∠ADE=α，则∠EDC=90°−α。
∵DE=DA，
∴△ADE为等腰三角形，∠DEA=(180°−α)/2=90°−(1/2)α。
又
∵DA=DC，
∴DE=DC，△CDE为等腰三角形，∠DEC=(180°−(90°−α))/2=45°+(1/2)α。
∵∠DEA + ∠DEC + ∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°−(90°−(1/2)α)−(45°+(1/2)α)=45°。
(2) 解：
∵AE=2EF=4，
∴EF=2，AF=AE+EF=6。
由(1)知∠CEF=45°，又CF⊥AF，
∴△EFC是等腰直角三角形，CF=EF=2。
连接AC，在Rt△AFC中，AC=√(AF²+CF²)=√(6²+2²)=2√10。
∵正方形对角线AC=边长×√2，
∴正方形边长=AC/√2=2√10/√2=2√5。
(3) 解：如图2，连结AH、GH，过点C作CM⊥EH于点M。
∵EH⊥AF，∠CEF=45°，
∴∠MEC=∠FEC=45°，即CE平分∠HEF。
又CF⊥AF，CM⊥EH，
∴CM=CF，∠CMH=∠EMC=∠F=90°，故∠MCF=90°。
∵∠DCB=∠MCF=90°，
∴∠GCF=∠MCH。
在△MHC和△FGC中：
$\{\begin{array}{l}∠CMH=∠CFG=90°\\CM=CF\\∠MCH=∠FCG\end{array} $
∴△MHC≌△FGC（ASA），得CG=CH。
∵G是BC中点，正方形边长为a，
∴CG=CH=$\frac{1}{2}a$，BG=DH=$\frac{1}{2}a$。
计算△AHG的面积：
$S_{△AHG}=S_{正方形ABCD}-S_{△ABG}-S_{△ADH}-S_{△GCH}$
$=a^2-\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}·a·\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}·\frac{1}{2}a·\frac{1}{2}a=\frac{3}{8}a^2$。
又AG=$\sqrt{AB^2+BG^2}=\sqrt{a^2+(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$，且$S_{△AHG}=\frac{1}{2}·AG·EH$，
∴$EH=\frac{2·\frac{3}{8}a^2}{\frac{\sqrt{5}}{2}a}=\frac{3\sqrt{5}}{10}a$。
【答案】
(1) ∠CEF=45°；
(2) 正方形边长为$2\sqrt{5}$；
(3) $EH=\frac{3\sqrt{5}}{10}a$；
【知识点】
正方形性质、等腰三角形、全等三角形、勾股定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查正方形性质、等腰三角形与全等三角形的判定性质、勾股定理及面积法，逻辑推理要求较高，需逐步推导辅助关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
