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9. 如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中的四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形,H为DE的中点。作直线HF,EG,分别交正方形ABCD各边于点M,N,P,Q,若$HF=2\sqrt{2}$,则PQ的长为 (
A.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
C.$\frac{10}{3}\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
C
)A.$2\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}+2\sqrt{2}$
C.$\frac{10}{3}\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
9.C 【解析】因为四边形EFGH是正方形，$HF=2\sqrt{2}$，所以$EH=FG=2$，$∠ EGF=45°$。因为H为DE的中点，所以$DH=EH=2$，$DE=4$。因为四个直角三角形全等，所以$CG=AE=DH=2$。所以$BC=AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=2\sqrt{5}$。因为$∠ CGF=90°$，$FG=CG=2$，所以$∠ CFG=45°=∠ EGF$。所以$PQ// CT$。因为$PT// CQ$，所以四边形CQPT是平行四边形。所以$PQ=CT$。因为$PQ// CT$，易知E为AF中点，P为AT中点，所以$AP=PT$。同理，因为F为BG中点，所以$BT=PT$。所以$BT=\frac{1}{3}AB=\frac{2\sqrt{5}}{3}$。所以$PQ=CT=\sqrt{BT^2+BC^2}=\frac{10\sqrt{2}}{3}$。故选C。
解析
【分析】
首先，根据正方形EFGH的对角线HF长度，求出其边长；利用H是DE中点及四个直角三角形全等的条件，得到相关线段长度；再通过角度关系推出平行线，结合平行四边形的判定得到PQ与CT的等量关系；最后利用中点性质和勾股定理计算CT的长度，从而得到PQ的长。
【解析】
1. 因为四边形EFGH是正方形，HF为其对角线，已知HF=2√2，根据正方形对角线与边长的关系，正方形边长EH=FG=EF=GH=HF/√2=2√2/√2=2。
2. 由H为DE中点，得DE=2EH=4，DH=EH=2。又四个直角三角形全等，故CG=AE=DH=2，且∠CGF=90°，FG=CG=2，因此△CGF是等腰直角三角形，∠CFG=45°，结合∠EGF=45°，可得PQ//CT（CT为辅助线）。
3. 因为PT//CQ，所以四边形CQPT是平行四边形，根据平行四边形对边相等，得PQ=CT。
4. 由中点性质易知，E为AF中点，P为AT中点，F为BG中点，故BT=PT=AP，即BT=AB/3。在正方形ABCD中，AB=BC=√(AE²+DE²)=√(2²+4²)=√20=2√5，因此BT=2√5/3。
5. 在Rt△BCT中，由勾股定理得CT=√(BT²+BC²)=√[( (2√5/3)² + (2√5)² )]=√[(20/9)+20]=√(200/9)=10√2/3，故PQ=10√2/3。
【答案】
C
【知识点】
正方形性质、全等三角形性质、勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查正方形、全等三角形、平行四边形的性质及勾股定理的应用，需要学生具备较强的几何推导能力，属于几何综合题。
【难度系数】
0.4
首先，根据正方形EFGH的对角线HF长度，求出其边长；利用H是DE中点及四个直角三角形全等的条件，得到相关线段长度；再通过角度关系推出平行线，结合平行四边形的判定得到PQ与CT的等量关系；最后利用中点性质和勾股定理计算CT的长度，从而得到PQ的长。
【解析】
1. 因为四边形EFGH是正方形，HF为其对角线，已知HF=2√2，根据正方形对角线与边长的关系，正方形边长EH=FG=EF=GH=HF/√2=2√2/√2=2。
2. 由H为DE中点，得DE=2EH=4，DH=EH=2。又四个直角三角形全等，故CG=AE=DH=2，且∠CGF=90°，FG=CG=2，因此△CGF是等腰直角三角形，∠CFG=45°，结合∠EGF=45°，可得PQ//CT（CT为辅助线）。
3. 因为PT//CQ，所以四边形CQPT是平行四边形，根据平行四边形对边相等，得PQ=CT。
4. 由中点性质易知，E为AF中点，P为AT中点，F为BG中点，故BT=PT=AP，即BT=AB/3。在正方形ABCD中，AB=BC=√(AE²+DE²)=√(2²+4²)=√20=2√5，因此BT=2√5/3。
5. 在Rt△BCT中，由勾股定理得CT=√(BT²+BC²)=√[( (2√5/3)² + (2√5)² )]=√[(20/9)+20]=√(200/9)=10√2/3，故PQ=10√2/3。
【答案】
C
【知识点】
正方形性质、全等三角形性质、勾股定理
【点评】
本题以赵爽弦图为背景，综合考查正方形、全等三角形、平行四边形的性质及勾股定理的应用，需要学生具备较强的几何推导能力，属于几何综合题。
【难度系数】
0.4
10. 解一元二次方程时，小马同学粗心地将$x^2$项的系数与常数项对换了，使得方程发生改变。他正确地解出了这个改变后的方程，得到一个根是2，另一个根等于原方程的一个根，则原方程两根的平方和是（
A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{5}{4}$
D
）A.$\dfrac{3}{2}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{4}{5}$
D.$\dfrac{5}{4}$
答案
10.D 【解析】设原来的方程为$ax^2+bx+c=0$，则小马计算的方程为$cx^2+bx+a=0$，令$ax^2+bx+c=cx^2+bx+a$，解得$x=1$或$x=-1$，故两个方程相同的根为$x=1$或$x=-1$。设原来的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根为$x_1$，另一个根为$x_2$，则$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-\frac{b}{a})^2-2×\frac{c}{a}$，当两个相同的根为1时，$2+1=-\frac{b}{c}$，$2×1=\frac{a}{c}$，所以$\frac{b}{a}=-\frac{3}{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。所以$(-\frac{b}{a})^2-2×\frac{c}{a}=(\frac{3}{2})^2-2×\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$。当两个相同的根为$-1$时，$2+(-1)=-\frac{b}{c}$，$2×(-1)=\frac{a}{c}$，所以$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{c}{a}=-\frac{1}{2}$。所以$(-\frac{b}{a})^2-2×\frac{c}{a}=(-\frac{1}{2})^2-2×(-\frac{1}{2})=\frac{5}{4}$。综上所述，原方程两根的平方和是$\frac{5}{4}$。故选D。
解析
【分析】
首先设原一元二次方程为$ax^2 + bx + c = 0$，则对换$x^2$项系数与常数项后的方程为$cx^2 + bx + a = 0$。两个方程的一次项系数相同，联立两方程可求出公共根，再结合新方程的根（一个是2，另一个是原方程的根），利用韦达定理求出原方程两根的和与积，最后计算两根的平方和。
【解析】
设原方程为$ax^2 + bx + c = 0$，则小马计算的方程为$cx^2 + bx + a = 0$。
联立两方程：$\begin{cases}ax^2 + bx + c = 0 \\ cx^2 + bx + a = 0\end{cases}$，两式相减得：$(a - c)x^2 = a - c$。
若$a ≠ c$，则$x^2 = 1$，解得公共根为$x = 1$或$x = -1$。
设原方程的两根为$x_1, x_2$，新方程的两根为$2$和公共根$m$（$m=1$或$-1$）。
根据韦达定理，新方程中：$2 + m = -\frac{b}{c}$，$2m = \frac{a}{c}$，即$\frac{b}{a} = -\frac{2 + m}{2m}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{2m}$。
原方程两根平方和为：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-\frac{b}{a})^2 - 2 · \frac{c}{a}$。
当$m=1$时：$\frac{b}{a} = -\frac{2+1}{2×1} = -\frac{3}{2}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{2×1} = \frac{1}{2}$，代入得：$(-\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$。
当$m=-1$时：$\frac{b}{a} = -\frac{2 + (-1)}{2×(-1)} = \frac{1}{2}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{2×(-1)} = -\frac{1}{2}$，代入得：$(\frac{1}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$。
综上，原方程两根的平方和为$\frac{5}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根
【点评】
本题核心是通过联立两个方程找到公共根，再利用韦达定理计算两根平方和，需注意公共根的两种情况，避免漏解，考查对一元二次方程根的性质及韦达定理的应用能力。
【难度系数】
0.5
首先设原一元二次方程为$ax^2 + bx + c = 0$，则对换$x^2$项系数与常数项后的方程为$cx^2 + bx + a = 0$。两个方程的一次项系数相同，联立两方程可求出公共根，再结合新方程的根（一个是2，另一个是原方程的根），利用韦达定理求出原方程两根的和与积，最后计算两根的平方和。
【解析】
设原方程为$ax^2 + bx + c = 0$，则小马计算的方程为$cx^2 + bx + a = 0$。
联立两方程：$\begin{cases}ax^2 + bx + c = 0 \\ cx^2 + bx + a = 0\end{cases}$，两式相减得：$(a - c)x^2 = a - c$。
若$a ≠ c$，则$x^2 = 1$，解得公共根为$x = 1$或$x = -1$。
设原方程的两根为$x_1, x_2$，新方程的两根为$2$和公共根$m$（$m=1$或$-1$）。
根据韦达定理，新方程中：$2 + m = -\frac{b}{c}$，$2m = \frac{a}{c}$，即$\frac{b}{a} = -\frac{2 + m}{2m}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{2m}$。
原方程两根平方和为：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-\frac{b}{a})^2 - 2 · \frac{c}{a}$。
当$m=1$时：$\frac{b}{a} = -\frac{2+1}{2×1} = -\frac{3}{2}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{2×1} = \frac{1}{2}$，代入得：$(-\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$。
当$m=-1$时：$\frac{b}{a} = -\frac{2 + (-1)}{2×(-1)} = \frac{1}{2}$，$\frac{c}{a} = \frac{1}{2×(-1)} = -\frac{1}{2}$，代入得：$(\frac{1}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$。
综上，原方程两根的平方和为$\frac{5}{4}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根
【点评】
本题核心是通过联立两个方程找到公共根，再利用韦达定理计算两根平方和，需注意公共根的两种情况，避免漏解，考查对一元二次方程根的性质及韦达定理的应用能力。
【难度系数】
0.5
11. 二次根式$\sqrt{x - 1}$中字母$x$的取值范围是________。
答案
11.$x≥1$
解析
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{x - 1}$中字母$x$的取值范围，需依据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数，因此对于$\sqrt{x - 1}$，有：
$x - 1 ≥ 0$
解这个不等式可得：$x ≥ 1$
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的基本条件，属于概念性基础题目，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，即可快速得出结果，是初中代数的基础考点。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式$\sqrt{x - 1}$中字母$x$的取值范围，需依据二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于$x$的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
根据二次根式的定义，二次根式的被开方数为非负数，因此对于$\sqrt{x - 1}$，有：
$x - 1 ≥ 0$
解这个不等式可得：$x ≥ 1$
【答案】
$x≥1$
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的基本条件，属于概念性基础题目，只要牢记二次根式被开方数非负的性质，即可快速得出结果，是初中代数的基础考点。
【难度系数】
0.9
12.若一元二次方程$x^2+bx+4=0$有两个相等的实数根，则$b$的值为________。
答案
12.$\pm4$
解析
【分析】
要解决本题，需运用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题已知方程有两个相等实数根，只需代入对应系数计算即可求出$b$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + 4 = 0$，其中$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=4$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入系数得：
$b^2 - 4×1×4 = 0$，
化简得$b^2 = 16$，
解得$b = ±4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于初中数学核心基础知识点，只要牢记判别式与根的对应关系，即可快速求解，是必须掌握的送分题型。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需运用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），当方程有两个相等的实数根时，判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。本题已知方程有两个相等实数根，只需代入对应系数计算即可求出$b$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + bx + 4 = 0$，其中$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=4$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入系数得：
$b^2 - 4×1×4 = 0$，
化简得$b^2 = 16$，
解得$b = ±4$。
【答案】
$\pm4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的基础应用，属于初中数学核心基础知识点，只要牢记判别式与根的对应关系，即可快速求解，是必须掌握的送分题型。
【难度系数】
0.8
13. 已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4$的平均数是5,则另一组数据$5x_1 - 5$,$5x_2 - 5$,$5x_3 - 5$,$5x_4 - 5$的平均数是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
13.20
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用平均数的定义或数据线性变换后的平均数性质：首先，平均数等于一组数据的总和除以数据的个数；已知原4个数据的平均数，可先求出原数据总和，再计算新数据的总和，最后求新数据的平均数，也可直接用“若数据变为$ax_i + b$，则新平均数为$a×原平均数 + b$”的性质快速计算。
【解析】
1. 根据平均数定义，原数据的平均数$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = 5$，因此原数据总和$x_1+x_2+x_3+x_4 = 5×4 = 20$。
2. 计算新数据的总和：
$(5x_1 -5)+(5x_2 -5)+(5x_3 -5)+(5x_4 -5) = 5(x_1+x_2+x_3+x_4) - 5×4$
3. 代入原总和计算：
$5×20 - 20 = 100 - 20 = 80$
4. 新数据的平均数为：$\frac{80}{4} = 20$。
【答案】
20
【知识点】
平均数计算，数据变换与平均数的关系
【点评】
本题考查统计中平均数的基础性质，属于基础题型，解题思路清晰，只要掌握平均数的定义或线性变换规律即可快速解答，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需利用平均数的定义或数据线性变换后的平均数性质：首先，平均数等于一组数据的总和除以数据的个数；已知原4个数据的平均数，可先求出原数据总和，再计算新数据的总和，最后求新数据的平均数，也可直接用“若数据变为$ax_i + b$，则新平均数为$a×原平均数 + b$”的性质快速计算。
【解析】
1. 根据平均数定义，原数据的平均数$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = 5$，因此原数据总和$x_1+x_2+x_3+x_4 = 5×4 = 20$。
2. 计算新数据的总和：
$(5x_1 -5)+(5x_2 -5)+(5x_3 -5)+(5x_4 -5) = 5(x_1+x_2+x_3+x_4) - 5×4$
3. 代入原总和计算：
$5×20 - 20 = 100 - 20 = 80$
4. 新数据的平均数为：$\frac{80}{4} = 20$。
【答案】
20
【知识点】
平均数计算，数据变换与平均数的关系
【点评】
本题考查统计中平均数的基础性质，属于基础题型，解题思路清晰，只要掌握平均数的定义或线性变换规律即可快速解答，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
14. 将两张同样宽的纸片按如图所示的方式叠放在一起,记重叠部分为四边形ABCD,若AB=3 cm,则四边形ABCD的周长为
12
cm。答案
14.12
解析
【分析】
首先，两张对边平行的纸条叠放，重叠部分的四边形ABCD的两组对边分别平行，可先判定其为平行四边形；再根据两张纸片同样宽，结合平行四边形面积公式，推导得出平行四边形的邻边相等，进而判定ABCD为菱形，最后利用菱形周长公式计算结果。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为平行四边形：因为两张纸条的对边互相平行，所以AB//CD，AD//BC，根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
2. 判定平行四边形ABCD为菱形：设AB边上的高为$h_1$，BC边上的高为$h_2$，由于两张纸片同样宽，所以$h_1=h_2$。平行四边形的面积公式为$S=底×高$，则$S_{ABCD}=AB×h_1=BC×h_2$，结合$h_1=h_2$，可得$AB=BC$；一组邻边相等的平行四边形是菱形，故ABCD是菱形。
3. 计算周长：菱形的四条边长度相等，已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，因此四边形ABCD的周长为$4×AB=4×3=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形判定、菱形性质
【点评】
本题结合实际场景考查平行四边形与菱形的判定和性质，核心是利用“等宽纸条”的条件推导平行四边形邻边相等，进而判定为菱形，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
首先，两张对边平行的纸条叠放，重叠部分的四边形ABCD的两组对边分别平行，可先判定其为平行四边形；再根据两张纸片同样宽，结合平行四边形面积公式，推导得出平行四边形的邻边相等，进而判定ABCD为菱形，最后利用菱形周长公式计算结果。
【解析】
1. 判定四边形ABCD为平行四边形：因为两张纸条的对边互相平行，所以AB//CD，AD//BC，根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此四边形ABCD是平行四边形。
2. 判定平行四边形ABCD为菱形：设AB边上的高为$h_1$，BC边上的高为$h_2$，由于两张纸片同样宽，所以$h_1=h_2$。平行四边形的面积公式为$S=底×高$，则$S_{ABCD}=AB×h_1=BC×h_2$，结合$h_1=h_2$，可得$AB=BC$；一组邻边相等的平行四边形是菱形，故ABCD是菱形。
3. 计算周长：菱形的四条边长度相等，已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，因此四边形ABCD的周长为$4×AB=4×3=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形判定、菱形性质
【点评】
本题结合实际场景考查平行四边形与菱形的判定和性质，核心是利用“等宽纸条”的条件推导平行四边形邻边相等，进而判定为菱形，属于基础几何应用题型。
【难度系数】
0.5
15.如图,某小区计划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草。要使每一块草坪的面积都为$144\ \mathrm{m}^2$,设通道的宽为$x\ \mathrm{m}$,请补全关于$x$的方程:$(40-2x)(\_\_\_\_\_\_)=144×6$。
答案
15.$26-x$
解析
【分析】
本题可通过平移法将分散的6块草坪拼接成规则矩形，简化面积计算。先确定拼接后矩形的长和宽：原矩形长为40m，两条与AB平行的通道宽均为x，因此拼接后矩形的长为原长减去2x；原矩形宽为26m，一条与AD平行的通道宽为x，因此拼接后矩形的宽为原宽减去x。结合6块草坪总面积等于拼接后矩形面积，即可得出括号内的表达式。
【解析】
将6块草坪向中间平移，可拼接成一个完整的新矩形：
新矩形的长：原矩形的长减去两条竖直通道的宽度，即 $40 - 2x$（m）；
新矩形的宽：原矩形的宽减去一条水平通道的宽度，即 $26 - x$（m）；
由于6块草坪的总面积为 $144×6\ \mathrm{m}^2$，且拼接后矩形面积等于草坪总面积，因此方程为 $(40 - 2x)(26 - x) = 144×6$，故括号内应填 $26 - x$。
【答案】
$26 - x$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题利用平移转化的思想，将不规则草坪面积转化为规则矩形面积，是解决此类通道面积问题的常用方法，难度适中，属于基础应用题，考查学生图形转化与方程建立的能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过平移法将分散的6块草坪拼接成规则矩形，简化面积计算。先确定拼接后矩形的长和宽：原矩形长为40m，两条与AB平行的通道宽均为x，因此拼接后矩形的长为原长减去2x；原矩形宽为26m，一条与AD平行的通道宽为x，因此拼接后矩形的宽为原宽减去x。结合6块草坪总面积等于拼接后矩形面积，即可得出括号内的表达式。
【解析】
将6块草坪向中间平移，可拼接成一个完整的新矩形：
新矩形的长：原矩形的长减去两条竖直通道的宽度，即 $40 - 2x$（m）；
新矩形的宽：原矩形的宽减去一条水平通道的宽度，即 $26 - x$（m）；
由于6块草坪的总面积为 $144×6\ \mathrm{m}^2$，且拼接后矩形面积等于草坪总面积，因此方程为 $(40 - 2x)(26 - x) = 144×6$，故括号内应填 $26 - x$。
【答案】
$26 - x$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题利用平移转化的思想，将不规则草坪面积转化为规则矩形面积，是解决此类通道面积问题的常用方法，难度适中，属于基础应用题，考查学生图形转化与方程建立的能力。
【难度系数】
0.7
16.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=4 cm,∠ABC=60°,
∠BAC=90°,将纸片沿对角线AC对折,CF交边AD于点E,则折
叠后图中重合部分的面积是
∠BAC=90°,将纸片沿对角线AC对折,CF交边AD于点E,则折
叠后图中重合部分的面积是
$4\sqrt{3}$
cm²。答案
16.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决该问题，需结合平行四边形性质、折叠的全等性质推导重合部分的特征，再通过几何计算求面积：
1. 先在Rt△ABC中，利用已知边长和角度求出AC的长度与相关角度；
2. 利用平行四边形对边平行的性质，结合折叠后三角形全等，推出AE=EC，确定重合部分为等腰△AEC；
3. 通过建立坐标系求交点E的坐标，进而计算△AEC的面积。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4 cm，∠ABC=60°，则∠ACB=30°，故BC=2AB=8 cm，由勾股定理得：
AC = √(BC² - AB²) = √(8² - 4²) = √48 = 4√3 cm；
2. 因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，得∠EAC=∠ACB=30°；
沿AC对折后，△ABC≌△AFC，所以∠ACF=∠ACB=30°，因此∠EAC=∠ACF，即AE=EC；
3. 建立平面直角坐标系：设A(0,0)，AC在x轴上，则C(4√3,0)，B(0,4)，平行四边形ABCD中D(4√3,-4)，AD的直线方程为y = - (1/√3)x；
折叠后点B的对应点F为(0,-4)，CF的直线方程为y = (1/√3)x - 4；
联立两直线方程，解得交点E的坐标为(2√3, -2)；
4. 计算△AEC的面积：以AC为底（长4√3 cm），E到AC的距离为2 cm，故：
S△AEC = (1/2) × 4√3 × 2 = 4√3 cm²。
【答案】
4√3
【知识点】
平行四边形性质、折叠全等、三角形面积计算
【点评】
本题是几何综合题，需结合平行四边形、折叠的性质推导等腰三角形，再通过坐标法求交点计算面积，关键是找到AE=EC的关系，考查学生对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需结合平行四边形性质、折叠的全等性质推导重合部分的特征，再通过几何计算求面积：
1. 先在Rt△ABC中，利用已知边长和角度求出AC的长度与相关角度；
2. 利用平行四边形对边平行的性质，结合折叠后三角形全等，推出AE=EC，确定重合部分为等腰△AEC；
3. 通过建立坐标系求交点E的坐标，进而计算△AEC的面积。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4 cm，∠ABC=60°，则∠ACB=30°，故BC=2AB=8 cm，由勾股定理得：
AC = √(BC² - AB²) = √(8² - 4²) = √48 = 4√3 cm；
2. 因四边形ABCD是平行四边形，故AD//BC，得∠EAC=∠ACB=30°；
沿AC对折后，△ABC≌△AFC，所以∠ACF=∠ACB=30°，因此∠EAC=∠ACF，即AE=EC；
3. 建立平面直角坐标系：设A(0,0)，AC在x轴上，则C(4√3,0)，B(0,4)，平行四边形ABCD中D(4√3,-4)，AD的直线方程为y = - (1/√3)x；
折叠后点B的对应点F为(0,-4)，CF的直线方程为y = (1/√3)x - 4；
联立两直线方程，解得交点E的坐标为(2√3, -2)；
4. 计算△AEC的面积：以AC为底（长4√3 cm），E到AC的距离为2 cm，故：
S△AEC = (1/2) × 4√3 × 2 = 4√3 cm²。
【答案】
4√3
【知识点】
平行四边形性质、折叠全等、三角形面积计算
【点评】
本题是几何综合题，需结合平行四边形、折叠的性质推导等腰三角形，再通过坐标法求交点计算面积，关键是找到AE=EC的关系，考查学生对几何性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
