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1. 关于数“$\sqrt{2}$”，下列说法中正确的是 （
A.它是一个无理数
B.它是一个有理数
C.它是一个整数
D.它是一个分数
A
）A.它是一个无理数
B.它是一个有理数
C.它是一个整数
D.它是一个分数
答案
1.A
解析
【分析】
要判断关于$\sqrt{2}$的说法是否正确，需先明确无理数、有理数、整数、分数的定义，再逐一分析每个选项，确定$\sqrt{2}$所属的数的类别，从而选出正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 无理数：无限不循环小数；
2. 有理数：整数和分数的统称，其中分数包括有限小数和无限循环小数；
3. 整数：正整数、0、负整数；
4. 分数：正分数、负分数（形如$\frac{m}{n}$，m、n为整数且n≠0）。
对各选项分析：
选项A：$\sqrt{2}$是无限不循环小数，符合无理数的定义，该说法正确；
选项B：有理数包含整数和分数，$\sqrt{2}$不属于有理数，该说法错误；
选项C：$\sqrt{2}$不是整数，该说法错误；
选项D：$\sqrt{2}$不能表示为两个整数的比值，不是分数，该说法错误。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的概念，有理数的分类
【点评】
本题考查无理数的基本概念，属于基础题型，准确掌握各类数的定义是解题的关键，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断关于$\sqrt{2}$的说法是否正确，需先明确无理数、有理数、整数、分数的定义，再逐一分析每个选项，确定$\sqrt{2}$所属的数的类别，从而选出正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：
1. 无理数：无限不循环小数；
2. 有理数：整数和分数的统称，其中分数包括有限小数和无限循环小数；
3. 整数：正整数、0、负整数；
4. 分数：正分数、负分数（形如$\frac{m}{n}$，m、n为整数且n≠0）。
对各选项分析：
选项A：$\sqrt{2}$是无限不循环小数，符合无理数的定义，该说法正确；
选项B：有理数包含整数和分数，$\sqrt{2}$不属于有理数，该说法错误；
选项C：$\sqrt{2}$不是整数，该说法错误；
选项D：$\sqrt{2}$不能表示为两个整数的比值，不是分数，该说法错误。
综上，正确答案为A。
【答案】
A
【知识点】
无理数的概念，有理数的分类
【点评】
本题考查无理数的基本概念，属于基础题型，准确掌握各类数的定义是解题的关键，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 若一元二次方程$x^2 - 3x - a = 0$有一个根为1，则$a$的值为（
A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$
D
）A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$
答案
2.D
解析
【分析】要解决这道题，需利用一元二次方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式成立。因此把已知根$x=1$代入原方程，即可得到关于$a$的方程，解这个方程就能求出$a$的值，进而选出正确选项。
【解析】因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x - a = 0$的根，所以将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 3×1 - a = 0$
计算得：$1 - 3 - a = 0$，即$-2 - a = 0$
移项解得：$a = -2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；代入求值
【点评】本题考查一元二次方程根的基本概念，属于基础题型，解题思路直接，只要掌握根的定义并正确代入计算即可快速得出答案，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】因为$x=1$是一元二次方程$x^2 - 3x - a = 0$的根，所以将$x=1$代入方程得：
$1^2 - 3×1 - a = 0$
计算得：$1 - 3 - a = 0$，即$-2 - a = 0$
移项解得：$a = -2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根；代入求值
【点评】本题考查一元二次方程根的基本概念，属于基础题型，解题思路直接，只要掌握根的定义并正确代入计算即可快速得出答案，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
3. 小明将本地区11月14~21日的日最低气温(单位:℃)进行统计,如图所示为这组数据的箱线图,日最低气温的上四分位数是 (
A.$13°\mathrm{C}$
B.$14°\mathrm{C}$
C.$17.5°\mathrm{C}$
D.$19.5°\mathrm{C}$
D
)A.$13°\mathrm{C}$
B.$14°\mathrm{C}$
C.$17.5°\mathrm{C}$
D.$19.5°\mathrm{C}$
答案
3.D
解析
【分析】首先需明确箱线图的各部分含义：箱线图中，箱子的上边界对应上四分位数，下边界对应下四分位数，中间横线为中位数，两端线段分别对应最小值和最大值。本题要求找上四分位数，只需定位箱线图中箱子上边缘的数值即可。
【解析】观察题中的箱线图，箱子的上边缘对应的数值为19.5℃，根据箱线图的定义，箱子的上边界表示数据的上四分位数，因此这组日最低气温的上四分位数是19.5℃。
【答案】D
【知识点】箱线图、四分位数
【点评】本题考查箱线图中四分位数的识别，属于基础概念题，掌握箱线图各部分的意义即可快速解答。
【难度系数】0.7
【解析】观察题中的箱线图，箱子的上边缘对应的数值为19.5℃，根据箱线图的定义，箱子的上边界表示数据的上四分位数，因此这组日最低气温的上四分位数是19.5℃。
【答案】D
【知识点】箱线图、四分位数
【点评】本题考查箱线图中四分位数的识别，属于基础概念题，掌握箱线图各部分的意义即可快速解答。
【难度系数】0.7
4.已知在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠B=80°,则∠D的度数是 (
A.$60°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$120°$
C
)A.$60°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$120°$
答案
4.C
解析
【分析】首先明确四边形的内角和为360°，互补的两个角之和为180°。题目中已知∠A与∠C互补，∠B的度数，因此用四边形内角和减去∠A、∠B、∠C的和，即可计算出∠D的度数。
【解析】因为四边形的内角和是360°，且∠A与∠C互补，所以∠A + ∠C = 180°。已知∠B=80°，则∠D = 360° - (∠A + ∠C) - ∠B = 360° - 180° - 80° = 100°，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】四边形内角和、互补的性质
【点评】本题考查四边形内角和与互补的基础性质，属于基础题型，只要牢记相关定义和公式即可快速求解。
【难度系数】0.3
【解析】因为四边形的内角和是360°，且∠A与∠C互补，所以∠A + ∠C = 180°。已知∠B=80°，则∠D = 360° - (∠A + ∠C) - ∠B = 360° - 180° - 80° = 100°，对应选项为C。
【答案】C
【知识点】四边形内角和、互补的性质
【点评】本题考查四边形内角和与互补的基础性质，属于基础题型，只要牢记相关定义和公式即可快速求解。
【难度系数】0.3
5. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1环²；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1.5环²。下列说法中，不一定正确的是 （
A.甲、乙的总环数相同
B.甲的成绩比乙的成绩稳定
C.乙的成绩比甲的成绩波动大
D.甲、乙成绩的众数相同
D
）A.甲、乙的总环数相同
B.甲的成绩比乙的成绩稳定
C.乙的成绩比甲的成绩波动大
D.甲、乙成绩的众数相同
答案
5.D
解析
【分析】
这道题考查统计中平均数、方差、众数的概念及应用。解题思路是逐一分析每个选项，结合已知的平均数、方差的意义判断正确性：1. 总环数可通过“平均数×射击次数”计算，据此判断选项A；2. 方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定，据此判断选项B、C；3. 众数是一组数据中出现次数最多的数，题目未给出具体成绩，无法确定众数，据此判断选项D。
【解析】
解：逐一分析各选项：
选项A：总环数=平均数×射击次数，甲、乙各射击10次，平均数均为8环，因此甲总环数=8×10=80环，乙总环数=8×10=80环，总环数相同，该说法正确。
选项B：方差衡量数据的波动大小，方差越小，成绩越稳定。甲的方差1.1环²＜乙的方差1.5环²，故甲的成绩比乙稳定，该说法正确。
选项C：方差越大，数据波动越大，乙的方差更大，因此乙的成绩比甲波动大，该说法正确。
选项D：众数是一组数据中出现次数最多的数，题目仅给出平均数和方差，未提供甲、乙的具体射击成绩，无法确定众数是否相同，该说法不一定正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数、方差、众数
【点评】
本题考查统计基本概念的应用，需明确各统计量的意义，尤其是方差反映数据波动、众数需结合具体数据确定，属于基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6
这道题考查统计中平均数、方差、众数的概念及应用。解题思路是逐一分析每个选项，结合已知的平均数、方差的意义判断正确性：1. 总环数可通过“平均数×射击次数”计算，据此判断选项A；2. 方差反映数据的波动程度，方差越小成绩越稳定，据此判断选项B、C；3. 众数是一组数据中出现次数最多的数，题目未给出具体成绩，无法确定众数，据此判断选项D。
【解析】
解：逐一分析各选项：
选项A：总环数=平均数×射击次数，甲、乙各射击10次，平均数均为8环，因此甲总环数=8×10=80环，乙总环数=8×10=80环，总环数相同，该说法正确。
选项B：方差衡量数据的波动大小，方差越小，成绩越稳定。甲的方差1.1环²＜乙的方差1.5环²，故甲的成绩比乙稳定，该说法正确。
选项C：方差越大，数据波动越大，乙的方差更大，因此乙的成绩比甲波动大，该说法正确。
选项D：众数是一组数据中出现次数最多的数，题目仅给出平均数和方差，未提供甲、乙的具体射击成绩，无法确定众数是否相同，该说法不一定正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均数、方差、众数
【点评】
本题考查统计基本概念的应用，需明确各统计量的意义，尤其是方差反映数据波动、众数需结合具体数据确定，属于基础题，难度适中。
【难度系数】
0.6
6.如图,正方形ABCD的边长为8,E为边AD上一点。若BE=10,则CE的长为 (
A.$2\sqrt{17}$
B.$2\sqrt{15}$
C.11
D.6
A
)A.$2\sqrt{17}$
B.$2\sqrt{15}$
C.11
D.6
答案
6.A
解析
【分析】
要计算CE的长度，需利用正方形的性质和勾股定理。正方形的四条边相等且四个角为直角，因此可先在直角三角形ABE中求出AE的长度，再得到ED的长度，最后在直角三角形CDE中用勾股定理计算CE。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=8，∠A=∠D=90°。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
AE = √(BE² - AB²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6。
∴ED = AD - AE = 8 - 6 = 2。
在Rt△CDE中，根据勾股定理：
CE = √(CD² + ED²) = √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合正方形的性质与勾股定理进行计算，属于基础几何题，解题思路清晰，步骤明确，主要考查学生对勾股定理和正方形性质的基本应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算CE的长度，需利用正方形的性质和勾股定理。正方形的四条边相等且四个角为直角，因此可先在直角三角形ABE中求出AE的长度，再得到ED的长度，最后在直角三角形CDE中用勾股定理计算CE。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=8，∠A=∠D=90°。
在Rt△ABE中，根据勾股定理：
AE = √(BE² - AB²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6。
∴ED = AD - AE = 8 - 6 = 2。
在Rt△CDE中，根据勾股定理：
CE = √(CD² + ED²) = √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合正方形的性质与勾股定理进行计算，属于基础几何题，解题思路清晰，步骤明确，主要考查学生对勾股定理和正方形性质的基本应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端A距离墙角处C为0.7 m。当小猫从木板底端A爬到顶端B时,木板底端A向左滑动了1.3 m,木板顶端B向下滑动了0.9 m,则小猫在木板上爬动的距离为（
A.3 m
B.2.5 m
C.2 m
D.1.5 m
B
）A.3 m
B.2.5 m
C.2 m
D.1.5 m
答案
7.B
解析
【分析】
这是一道利用勾股定理解决实际问题的题目，解题思路是：明确木板滑动前后长度不变，设原来顶端B到墙角C的距离为未知数，分别表示滑动后直角三角形的两条直角边，根据勾股定理列方程求出未知数，最后计算木板长度，即为小猫爬动的距离。
【解析】
设原来木板顶端B到墙角C的距离为$ x \, \mathrm{m} $。
木板底端A向左滑动1.3 m后，新底端到墙角C的距离为：$ 0.7 + 1.3 = 2 \, \mathrm{m} $；
木板顶端B向下滑动0.9 m后，新顶端到墙角C的距离为：$ (x - 0.9) \, \mathrm{m} $。
因为木板长度不变，根据勾股定理，滑动前后木板长度的平方相等，可得方程：
$0.7^2 + x^2 = 2^2 + (x - 0.9)^2$
展开并化简方程：
$0.49 + x^2 = 4 + x^2 - 1.8x + 0.81$
消去$ x^2 $后整理得：
$1.8x = 4.32$
解得：$ x = 2.4 \, \mathrm{m} $。
则木板长度（小猫爬动的距离）为：
$AB = \sqrt{0.7^2 + 2.4^2} = \sqrt{6.25} = 2.5 \, \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题结合实际场景考查勾股定理的应用，关键是抓住木板长度不变的隐含条件，通过设未知数列方程求解，属于基础应用题型，需熟练掌握勾股定理公式。
【难度系数】
0.6
这是一道利用勾股定理解决实际问题的题目，解题思路是：明确木板滑动前后长度不变，设原来顶端B到墙角C的距离为未知数，分别表示滑动后直角三角形的两条直角边，根据勾股定理列方程求出未知数，最后计算木板长度，即为小猫爬动的距离。
【解析】
设原来木板顶端B到墙角C的距离为$ x \, \mathrm{m} $。
木板底端A向左滑动1.3 m后，新底端到墙角C的距离为：$ 0.7 + 1.3 = 2 \, \mathrm{m} $；
木板顶端B向下滑动0.9 m后，新顶端到墙角C的距离为：$ (x - 0.9) \, \mathrm{m} $。
因为木板长度不变，根据勾股定理，滑动前后木板长度的平方相等，可得方程：
$0.7^2 + x^2 = 2^2 + (x - 0.9)^2$
展开并化简方程：
$0.49 + x^2 = 4 + x^2 - 1.8x + 0.81$
消去$ x^2 $后整理得：
$1.8x = 4.32$
解得：$ x = 2.4 \, \mathrm{m} $。
则木板长度（小猫爬动的距离）为：
$AB = \sqrt{0.7^2 + 2.4^2} = \sqrt{6.25} = 2.5 \, \mathrm{m}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、直角三角形性质
【点评】
本题结合实际场景考查勾股定理的应用，关键是抓住木板长度不变的隐含条件，通过设未知数列方程求解，属于基础应用题型，需熟练掌握勾股定理公式。
【难度系数】
0.6
8.已知点E,F分别在边长为3的正方形ABCD的边AD,CD上,且F为CD的三等分点,若BE平分$∠ AEF$,则AE的长为 (
A.$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$
B.$\frac{7}{5}$或$\frac{5}{3}$
C.$\frac{7}{5}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{5}$或$\frac{5}{2}$
A
)A.$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$
B.$\frac{7}{5}$或$\frac{5}{3}$
C.$\frac{7}{5}$或$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{5}$或$\frac{5}{2}$
答案
8.A
解析
【分析】
首先建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的顶点坐标，根据F是CD的三等分点分两种情况确定F的坐标；设AE=x得到E点坐标，利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，点B到直线AE（y轴）的距离为3，因此点B到直线EF的距离也为3，据此列方程求解，舍去不符合题意的解，得到AE的长度。
【解析】
设正方形ABCD的顶点坐标为A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E在AD上，设AE=x，则E(0,x)；CD长为3，F为CD三等分点，分两种情况：
1. 当F为靠近D的三等分点时，F(1,3)，直线EF过E(0,x)和F(1,3)，其标准方程为$(3-x)X - y + x = 0$。
由BE平分∠AEF，点B(3,0)到直线AE（x=0）的距离为3，故点B到EF的距离也为3，根据点到直线距离公式：
$\frac{|3(3-x) - 0 + x|}{\sqrt{(3-x)^2 + 1}} = 3$
化简得$(9-2x)^2 = 9[(3-x)^2 + 1]$，整理为$5x^2 -18x +9=0$，解得$x=3$（舍去，E与D重合）或$x=\frac{3}{5}$。
2. 当F为靠近C的三等分点时，F(2,3)，直线EF过E(0,x)和F(2,3)，其标准方程为$(3-x)X -2y +2x=0$。
同理，点B到EF的距离为3，列方程：
$\frac{|3(3-x) -0 +2x|}{\sqrt{(3-x)^2 +4}}=3$
化简得$(9-x)^2=9[(3-x)^2 +4]$，整理为$2x^2 -9x +9=0$，解得$x=3$（舍去）或$x=\frac{3}{2}$。
综上，AE的长为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、角平分线性质、点到直线距离公式
【点评】
本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，关键是分情况讨论F的位置，利用角平分线的距离性质列方程，需注意舍去端点解，属于几何与代数结合的中档题。
【难度系数】
0.5
首先建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的顶点坐标，根据F是CD的三等分点分两种情况确定F的坐标；设AE=x得到E点坐标，利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，点B到直线AE（y轴）的距离为3，因此点B到直线EF的距离也为3，据此列方程求解，舍去不符合题意的解，得到AE的长度。
【解析】
设正方形ABCD的顶点坐标为A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E在AD上，设AE=x，则E(0,x)；CD长为3，F为CD三等分点，分两种情况：
1. 当F为靠近D的三等分点时，F(1,3)，直线EF过E(0,x)和F(1,3)，其标准方程为$(3-x)X - y + x = 0$。
由BE平分∠AEF，点B(3,0)到直线AE（x=0）的距离为3，故点B到EF的距离也为3，根据点到直线距离公式：
$\frac{|3(3-x) - 0 + x|}{\sqrt{(3-x)^2 + 1}} = 3$
化简得$(9-2x)^2 = 9[(3-x)^2 + 1]$，整理为$5x^2 -18x +9=0$，解得$x=3$（舍去，E与D重合）或$x=\frac{3}{5}$。
2. 当F为靠近C的三等分点时，F(2,3)，直线EF过E(0,x)和F(2,3)，其标准方程为$(3-x)X -2y +2x=0$。
同理，点B到EF的距离为3，列方程：
$\frac{|3(3-x) -0 +2x|}{\sqrt{(3-x)^2 +4}}=3$
化简得$(9-x)^2=9[(3-x)^2 +4]$，整理为$2x^2 -9x +9=0$，解得$x=3$（舍去）或$x=\frac{3}{2}$。
综上，AE的长为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、角平分线性质、点到直线距离公式
【点评】
本题通过建立坐标系将几何问题转化为代数计算，关键是分情况讨论F的位置，利用角平分线的距离性质列方程，需注意舍去端点解，属于几何与代数结合的中档题。
【难度系数】
0.5
