24.(12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P从点B出发,沿BC−CD向点D运动,作△ACD关于直线AP的对称图形△AC'D'(点C,D的对称点分别为C',D')。
(1)如图2,当点C'在AB的延长线上时,连结CC',求CC'的长。
(2)如图3,当点P与点C重合时,连结DD',CD',DD'分别交AB于点E,F。
①求证:∠D'FE=∠ED'F。
②求EF的长。
(3)当直线C'D'经过点B时,求CP的长。

24.(1)在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$BC=3$,所以$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$。因为$△ ACD$,$△ AC'D'$关于直线$AP$对称,所以$AC'=AC=5$,$BC'=AC'-AB=1$。在$\mathrm{Rt}△ BCC'$中,$CC'=\sqrt{BC^2+BC'^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,所以$CC'$的长为$\sqrt{10}$。
(2)①因为四边形$ABCD$是矩形,所以$AB// CD$。所以$∠ D'FE=∠ D'DC$。
因为$CD'=CD$,所以$∠ D'DC=∠ CD'D$。所以$∠ D'FE=∠ ED'F$。
②由$∠ D'FE=∠ ED'F$,得$EF=ED'$。因为$AD'=AD=BC$,$∠ AD'E=∠ CBE=90°$,$∠ AED'=∠ CEB$,所以$△ AD'E≌△ CBE$。所以$ED'=EB$,$AE=CE$。设$BE=x$,则$CE=AE=4-x$。由$BE^2+BC^2=CE^2$,得$x^2+3^2=(4-x)^2$,解得$x=\dfrac{7}{8}$,所以$EF=ED'=EB=\dfrac{7}{8}$。
(3)如图1,当点$P$在$CD$上,点$B$在$C'D'$的延长线上时,由轴对称得$∠ APD'=∠ APD$。因为$AB// CD$,所以$∠ BAP=∠ APD$。所以$∠ BAP=∠ APD'$。所以$BP=AB=4$。在$\mathrm{Rt}△ BCP$中,$PC=\sqrt{BP^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。如图2,当点$P$在$BC$上,点$B$在$C'D'$上时,连结$C'P$。由轴对称得$PC'=PC$,$AD'=AD=3$,$C'D'=CD=AB=4$,$∠ D'=∠ D=90°$,$∠ BC'P=∠ PCD=90°$。所以$BD'=\sqrt{AB^2-AD'^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$。所以$BC'=4-\sqrt{7}$。在$\mathrm{Rt}△ BC'P$中,$BC'^2+PC'^2=BP^2$,所以$(4-\sqrt{7})^2+PC^2=(3-PC)^2$,解得$PC=\dfrac{4\sqrt{7}-7}{3}$。综上所述,$CP$的长为$\sqrt{7}$或$\dfrac{4\sqrt{7}-7}{3}$。

【分析】
本题为矩形背景下结合轴对称的几何综合题，需分三小问逐步解决：第(1)问利用轴对称性质得AC'=AC，结合矩形边长求AC，再算BC'，用勾股定理求CC'；第(2)问①利用矩形对边平行的内错角相等，结合等腰三角形性质证角相等；②通过全等三角形得线段关系，设未知数用勾股定理求EF；第(3)问分两种情况讨论（点P在CD上、点P在BC上），结合轴对称、平行线性质、勾股定理计算CP，注意分类讨论的完整性。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5。
因为△ACD与△AC'D'关于直线AP对称，所以AC'=AC=5，故BC'=AC'-AB=5-4=1。
在Rt△BCC'中，由勾股定理得CC'=√(BC²+BC'²)=√(3²+1²)=√10。
(2) ① 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠D'FE=∠D'DC。
由轴对称性质，CD'=CD，
∴△CD'D为等腰三角形，∠D'DC=∠CD'D，
∴∠D'FE=∠ED'F。
② 由∠D'FE=∠ED'F，得EF=ED'。
∵AD'=AD=BC=3，∠AD'E=∠CBE=90°，∠AED'=∠CEB，
∴△AD'E≌△CBE（AAS），
∴ED'=EB，AE=CE。
设BE=x，则CE=AE=4-x，在Rt△BCE中，由勾股定理得BE²+BC²=CE²，即x²+3²=(4-x)²，解得x=7/8，
∴EF=ED'=EB=7/8。
(3) 分两种情况：
① 当点P在CD上，点B在C'D'的延长线上时：
由轴对称得∠APD'=∠APD，又AB//CD，故∠BAP=∠APD，
∴∠BAP=∠APD'，
∴BP=AB=4。
在Rt△BCP中，CP=√(BP²-BC²)=√(4²-3²)=√7。
② 当点P在BC上，点B在C'D'上时：
连结C'P，由轴对称得PC'=PC，AD'=AD=3，C'D'=CD=4，∠D'=∠D=90°，∠BC'P=∠PCD=90°。
在Rt△ABD'中，BD'=√(AB²-AD'²)=√(4²-3²)=√7，故BC'=AB-BD'=4-√7。
在Rt△BC'P中，由勾股定理得BC'²+PC'²=BP²，即(4-√7)²+PC²=(3-PC)²，展开化简得：
16 -8√7 +7 + PC² =9 -6PC + PC² →23 -8√7=9 -6PC →6PC=8√7 -14 →PC=(4√7 -7)/3。
综上，CP的长为√7或(4√7 -7)/3。
【答案】24.(1) CC'的长为√10；(2)①证明见解析；②EF的长为7/8；(3) CP的长为√7或(4√7 -7)/3。
【知识点】矩形性质、轴对称性质、勾股定理、全等三角形判定
【点评】本题是矩形与轴对称结合的几何综合题，考查几何性质的综合应用及分类讨论思想，对学生的逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】0.4