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23.(10分)如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上的一点(不与点A,C重合),连结DE,BE。过点E作BC,AB的垂线,垂足分别为F,G,连结FG与BE相交于点O。
(1)求证:DE=BE。
(2)圆圆说:“直线DE⊥GF”。你认为圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若AE=2,CE=6,求GF的长。
(1)求证:DE=BE。
(2)圆圆说:“直线DE⊥GF”。你认为圆圆的说法是否正确?请说明理由。
(3)若AE=2,CE=6,求GF的长。
答案
23.(1)在正方形$ABCD$中,$AD=AB$,$∠ DAE=∠ BAE=45°$,在$△ ADE$和$△ ABE$中,因为$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ DAE=∠ BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
所以$△ ADE≌△ ABE(\mathrm{SAS})$。所以$DE=BE$。
(2)圆圆的说法正确。理由如下:如图,延长$FE$交$AD$于点$P$,延长$DE$交$GF$于点$H$。
在正方形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ GAP=∠ GBF=90°$,$AD=AB$,因为$EF⊥ BC$,所以$EP⊥ AD$。
又因为$EG⊥ AB$,所以$∠ EGA=∠ EGB=∠ GAP=∠ EPA=∠ GBF=∠ EFB=90°$。
所以四边形$EGAP$和四边形$EFBG$都是矩形。所以$∠ GEF=90°$,$PF=AB=AD$。
因为$∠ DAE=45°$,所以$△ PAE$是等腰直角三角形。所以$PA=PE$。所以矩形$EGAP$是正方形。
所以$EG=PE$,$∠ GEF=∠ EPD=90°$。因为$PF=AB=AD$,所以$PE+EF=PA+PD$。所以$EF=PD$。
在$△ EFG$和$△ PDE$中,因为$\begin{cases} EG=PE, \\ ∠ GEF=∠ EPD=90°, \\ EF=PD, \end{cases}$所以$△ EFG≌△ PDE(\mathrm{SAS})$。所以$∠ EGF=∠ PED$。
因为$∠ PEG=90°$,所以$∠ GEH+∠ PED=90°$。所以$∠ GEH+∠ EGF=90°$。在$△ GEH$中,$∠ GHE=180°-(∠ GEH+∠ EGF)=90°$,所以$EH⊥ GF$,即直线$DE⊥ GF$。故圆圆的说法正确。
(3)因为$∠ BAE=45°$,$∠ EGA=90°$,所以$△ AEG$是等腰直角三角形。由勾股定理得$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{2}EG$。
因为$AE=2$,所以$EG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AE=\sqrt{2}$。同理可得$△ EFC$是等腰直角三角形,因为$CE=6$,所以$EF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}CE=3\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ GEF$中,由勾股定理得$GF=\sqrt{GE^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$。
所以$△ ADE≌△ ABE(\mathrm{SAS})$。所以$DE=BE$。
(2)圆圆的说法正确。理由如下:如图,延长$FE$交$AD$于点$P$,延长$DE$交$GF$于点$H$。
在正方形$ABCD$中,$AD// BC$,$∠ GAP=∠ GBF=90°$,$AD=AB$,因为$EF⊥ BC$,所以$EP⊥ AD$。
又因为$EG⊥ AB$,所以$∠ EGA=∠ EGB=∠ GAP=∠ EPA=∠ GBF=∠ EFB=90°$。
所以四边形$EGAP$和四边形$EFBG$都是矩形。所以$∠ GEF=90°$,$PF=AB=AD$。
因为$∠ DAE=45°$,所以$△ PAE$是等腰直角三角形。所以$PA=PE$。所以矩形$EGAP$是正方形。
所以$EG=PE$,$∠ GEF=∠ EPD=90°$。因为$PF=AB=AD$,所以$PE+EF=PA+PD$。所以$EF=PD$。
在$△ EFG$和$△ PDE$中,因为$\begin{cases} EG=PE, \\ ∠ GEF=∠ EPD=90°, \\ EF=PD, \end{cases}$所以$△ EFG≌△ PDE(\mathrm{SAS})$。所以$∠ EGF=∠ PED$。
因为$∠ PEG=90°$,所以$∠ GEH+∠ PED=90°$。所以$∠ GEH+∠ EGF=90°$。在$△ GEH$中,$∠ GHE=180°-(∠ GEH+∠ EGF)=90°$,所以$EH⊥ GF$,即直线$DE⊥ GF$。故圆圆的说法正确。
(3)因为$∠ BAE=45°$,$∠ EGA=90°$,所以$△ AEG$是等腰直角三角形。由勾股定理得$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{2}EG$。
因为$AE=2$,所以$EG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AE=\sqrt{2}$。同理可得$△ EFC$是等腰直角三角形,因为$CE=6$,所以$EF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}CE=3\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ GEF$中,由勾股定理得$GF=\sqrt{GE^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$。
解析
【分析】
本题为正方形的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证DE=BE，利用正方形邻边相等、对角线平分内角的性质，通过SAS证明△ADE与△ABE全等，即可得到对应边相等；
(2) 判断DE与GF是否垂直，需构造辅助线，延长FE交AD于P、延长DE交GF于H，通过证明△EFG和△PDE全等，推导角的关系，进而推出垂直；
(3) 求GF的长，利用正方形对角线形成的等腰直角三角形，先求出EG、EF的长度，再在Rt△GEF中用勾股定理计算GF。
【解析】
(1) 证明：在正方形$ABCD$中，$AD=AB$，$∠ DAE=∠ BAE=45°$。
在$△ ADE$和$△ ABE$中，
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ DAE=∠ BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=BE$。
(2) 圆圆的说法正确，理由如下：
延长$FE$交$AD$于点$P$，延长$DE$交$GF$于点$H$。
在正方形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ GAP=∠ GBF=90°$，$AD=AB$。
$\because EF⊥ BC$，$\therefore EP⊥ AD$，又$EG⊥ AB$，
$\therefore ∠ EGA=∠ EGB=∠ GAP=∠ EPA=∠ GBF=∠ EFB=90°$，
$\therefore$四边形$EGAP$和四边形$EFBG$都是矩形，
$\therefore ∠ GEF=90°$，$PF=AB=AD$。
$\because ∠ DAE=45°$，$\therefore △ PAE$是等腰直角三角形，$\therefore PA=PE$，
$\therefore$矩形$EGAP$是正方形，$\therefore EG=PE$，$∠ GEF=∠ EPD=90°$。
$\because PF=AB=AD$，即$PE+EF=PA+PD$，又$PA=PE$，$\therefore EF=PD$。
在$△ EFG$和$△ PDE$中，
$\begin{cases} EG=PE, \\ ∠ GEF=∠ EPD=90°, \\ EF=PD, \end{cases}$
$\therefore △ EFG ≌ △ PDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ EGF=∠ PED$。
$\because ∠ PEG=90°$，$\therefore ∠ GEH+∠ PED=90°$，
$\therefore ∠ GEH+∠ EGF=90°$，
在$△ GEH$中，$∠ GHE=180°-(∠ GEH+∠ EGF)=90°$，
$\therefore EH⊥ GF$，即直线$DE⊥ GF$，故圆圆的说法正确。
(3) 解：$\because ∠ BAE=45°$，$∠ EGA=90°$，$\therefore △ AEG$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{2}EG$，
$\because AE=2$，$\therefore EG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AE=\sqrt{2}$。
同理，$∠ ECF=45°$，$∠ EFC=90°$，$\therefore △ EFC$是等腰直角三角形，
$\because CE=6$，$\therefore EF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}CE=3\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ GEF$中，由勾股定理得：
$GF=\sqrt{GE^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+18}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 正确，理由见解析；(3) $GF$的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形的综合题，综合考查了全等三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，需熟练掌握正方形性质，合理构造辅助线，逐步推导计算，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题为正方形的几何综合题，分三小问逐步推导：
(1) 要证DE=BE，利用正方形邻边相等、对角线平分内角的性质，通过SAS证明△ADE与△ABE全等，即可得到对应边相等；
(2) 判断DE与GF是否垂直，需构造辅助线，延长FE交AD于P、延长DE交GF于H，通过证明△EFG和△PDE全等，推导角的关系，进而推出垂直；
(3) 求GF的长，利用正方形对角线形成的等腰直角三角形，先求出EG、EF的长度，再在Rt△GEF中用勾股定理计算GF。
【解析】
(1) 证明：在正方形$ABCD$中，$AD=AB$，$∠ DAE=∠ BAE=45°$。
在$△ ADE$和$△ ABE$中，
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ DAE=∠ BAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ADE ≌ △ ABE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=BE$。
(2) 圆圆的说法正确，理由如下：
延长$FE$交$AD$于点$P$，延长$DE$交$GF$于点$H$。
在正方形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ GAP=∠ GBF=90°$，$AD=AB$。
$\because EF⊥ BC$，$\therefore EP⊥ AD$，又$EG⊥ AB$，
$\therefore ∠ EGA=∠ EGB=∠ GAP=∠ EPA=∠ GBF=∠ EFB=90°$，
$\therefore$四边形$EGAP$和四边形$EFBG$都是矩形，
$\therefore ∠ GEF=90°$，$PF=AB=AD$。
$\because ∠ DAE=45°$，$\therefore △ PAE$是等腰直角三角形，$\therefore PA=PE$，
$\therefore$矩形$EGAP$是正方形，$\therefore EG=PE$，$∠ GEF=∠ EPD=90°$。
$\because PF=AB=AD$，即$PE+EF=PA+PD$，又$PA=PE$，$\therefore EF=PD$。
在$△ EFG$和$△ PDE$中，
$\begin{cases} EG=PE, \\ ∠ GEF=∠ EPD=90°, \\ EF=PD, \end{cases}$
$\therefore △ EFG ≌ △ PDE(\mathrm{SAS})$，$\therefore ∠ EGF=∠ PED$。
$\because ∠ PEG=90°$，$\therefore ∠ GEH+∠ PED=90°$，
$\therefore ∠ GEH+∠ EGF=90°$，
在$△ GEH$中，$∠ GHE=180°-(∠ GEH+∠ EGF)=90°$，
$\therefore EH⊥ GF$，即直线$DE⊥ GF$，故圆圆的说法正确。
(3) 解：$\because ∠ BAE=45°$，$∠ EGA=90°$，$\therefore △ AEG$是等腰直角三角形，
由勾股定理得$AE=\sqrt{AG^2+EG^2}=\sqrt{2}EG$，
$\because AE=2$，$\therefore EG=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AE=\sqrt{2}$。
同理，$∠ ECF=45°$，$∠ EFC=90°$，$\therefore △ EFC$是等腰直角三角形，
$\because CE=6$，$\therefore EF=\dfrac{\sqrt{2}}{2}CE=3\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ GEF$中，由勾股定理得：
$GF=\sqrt{GE^2+EF^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+18}=2\sqrt{5}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 正确，理由见解析；(3) $GF$的长为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是正方形的综合题，综合考查了全等三角形、等腰直角三角形、勾股定理等知识，需熟练掌握正方形性质，合理构造辅助线，逐步推导计算，难度适中。
【难度系数】
0.5
