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21.(8分)为了进一步加强中小学生对中华文化的认同感,光明中学组织全校学生参加了传统文化主题知识竞赛。为了解竞赛成绩情况,随机抽样调查了七、八年级各10名学生的成绩x(单位:分),具体数据如下:
七年级10名学生的竞赛成绩:75,83,79,89,79,83,95,70,64,83;
八年级10名学生的竞赛成绩中分布在$80＜x≤90$的如下:84,85,85,85,86。
【整理数据】
【分析数据】
根据以上提供的信息,回答下列问题:
(1)填空:$m=$
(2)若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”,请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中,竞赛成绩为“优秀”的人数。
(3)你认为七年级与八年级,哪个年级的成绩更优秀?请说明理由。
七年级10名学生的竞赛成绩:75,83,79,89,79,83,95,70,64,83;
八年级10名学生的竞赛成绩中分布在$80＜x≤90$的如下:84,85,85,85,86。
【整理数据】
【分析数据】
根据以上提供的信息,回答下列问题:
(1)填空:$m=$
3
,$a=$83
,$b=$84.5
。(2)若学生的竞赛成绩超过80分为“优秀”,请估计该校参加竞赛的八年级320名学生中,竞赛成绩为“优秀”的人数。
(3)你认为七年级与八年级,哪个年级的成绩更优秀?请说明理由。
答案
21.(1)3 83 84.5
(2)$320×\dfrac{5+1}{10}=192$(人),所以估计该校参加竞赛的八年级320名学生中,竞赛成绩为“优秀”的有192人。
(3)八年级的成绩更优秀。理由如下:从中位数来看,对于七年级的成绩,81分处于中等水平;对于八年级的成绩,81分处在年级后半段,所以八年级的成绩更优秀。(答案不唯一,合理即可)
(2)$320×\dfrac{5+1}{10}=192$(人),所以估计该校参加竞赛的八年级320名学生中,竞赛成绩为“优秀”的有192人。
(3)八年级的成绩更优秀。理由如下:从中位数来看,对于七年级的成绩,81分处于中等水平;对于八年级的成绩,81分处在年级后半段,所以八年级的成绩更优秀。(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
本题围绕七、八年级学生竞赛成绩的统计问题展开，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先对七年级成绩排序，找出众数确定a；再根据八年级成绩的分布，计算其中位数确定b；结合数据分布确定m的值。
2. 第(2)问：利用样本中八年级“优秀”（x＞80）的人数占比，乘以八年级总人数320，估计总体中优秀人数。
3. 第(3)问：通过比较两个年级的中位数等统计量，判断哪个年级成绩更优秀。
【解析】
(1) 七年级10名学生成绩从小到大排序为：64，70，75，79，79，83，83，83，89，95。
众数是一组数据中出现次数最多的数，83出现3次，次数最多，故a=83；
八年级10名学生中，80＜x≤90的有5个成绩：84，85，85，85，86，结合数据分布，八年级优秀（x＞80）共6人，将八年级10个成绩从小到大排序后，第5和第6个数据为84和85，中位数b=(84+85)÷2=84.5；
结合数据分布，m=3；
因此m=3，a=83，b=84.5。
(2) 八年级10名学生中优秀人数为5+1=6人，优秀率为$\frac{6}{10}$，故320名学生中优秀人数估计为：$320×\frac{6}{10}=192$（人）。
(3) 八年级成绩更优秀，理由：七年级成绩的中位数为$\frac{79+83}{2}=81$分，八年级成绩的中位数为84.5分，八年级中位数更高，说明八年级中等水平的成绩优于七年级。
【答案】
(1) 3，83，84.5；(2) 192人；(3) 八年级的成绩更优秀，理由：八年级成绩的中位数（84.5分）高于七年级成绩的中位数（81分），中等水平成绩更好，因此成绩更优秀。
【知识点】
中位数、众数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需掌握中位数、众数的计算方法，以及用样本估计总体的统计思想，通过比较统计量判断数据整体水平，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题围绕七、八年级学生竞赛成绩的统计问题展开，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：先对七年级成绩排序，找出众数确定a；再根据八年级成绩的分布，计算其中位数确定b；结合数据分布确定m的值。
2. 第(2)问：利用样本中八年级“优秀”（x＞80）的人数占比，乘以八年级总人数320，估计总体中优秀人数。
3. 第(3)问：通过比较两个年级的中位数等统计量，判断哪个年级成绩更优秀。
【解析】
(1) 七年级10名学生成绩从小到大排序为：64，70，75，79，79，83，83，83，89，95。
众数是一组数据中出现次数最多的数，83出现3次，次数最多，故a=83；
八年级10名学生中，80＜x≤90的有5个成绩：84，85，85，85，86，结合数据分布，八年级优秀（x＞80）共6人，将八年级10个成绩从小到大排序后，第5和第6个数据为84和85，中位数b=(84+85)÷2=84.5；
结合数据分布，m=3；
因此m=3，a=83，b=84.5。
(2) 八年级10名学生中优秀人数为5+1=6人，优秀率为$\frac{6}{10}$，故320名学生中优秀人数估计为：$320×\frac{6}{10}=192$（人）。
(3) 八年级成绩更优秀，理由：七年级成绩的中位数为$\frac{79+83}{2}=81$分，八年级成绩的中位数为84.5分，八年级中位数更高，说明八年级中等水平的成绩优于七年级。
【答案】
(1) 3，83，84.5；(2) 192人；(3) 八年级的成绩更优秀，理由：八年级成绩的中位数（84.5分）高于七年级成绩的中位数（81分），中等水平成绩更好，因此成绩更优秀。
【知识点】
中位数、众数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需掌握中位数、众数的计算方法，以及用样本估计总体的统计思想，通过比较统计量判断数据整体水平，是统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
22. (10分)某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品的售价为360元时,每月可售出60件。为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销。经调查发现,如果每件商品每降价1元,那么商场每月可以多售出5件。
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
(3)该商场1月的销售量为60件,2月和3月销售量的月平均增长率为$ x $,若前三个月的总销售量为285件,求该季度的总利润。
(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?
(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?
(3)该商场1月的销售量为60件,2月和3月销售量的月平均增长率为$ x $,若前三个月的总销售量为285件,求该季度的总利润。
答案
22.(1)$60×(360-280)=4800$(元),所以降价前商场每月销售该商品的利润是4800元。
(2)设每件商品应降价$y$元。由题意得$(360-y-280)(5y+60)=7200$,解得$y_1=8$,$y_2=60$。
因为要更有利于减少库存,所以$y=60$。所以每件商品应降价60元。
(3)由题意得$60+60(1+x)+60(1+x)^2=285$,解得$x_1=\dfrac{1}{2}=50\%$,$x_2=-\dfrac{7}{2}$(舍去),所以$60(1+x)=90$,$60(1+x)^2=135$。
令$5y+60=90$,得$y=6$,则$360-y-280=74$;令$5y+60=135$,得$y=15$,则$360-y-280=65$。
所以该季度的总利润为$60×(360-280)+90×74+135×65=20235$(元)。
(2)设每件商品应降价$y$元。由题意得$(360-y-280)(5y+60)=7200$,解得$y_1=8$,$y_2=60$。
因为要更有利于减少库存,所以$y=60$。所以每件商品应降价60元。
(3)由题意得$60+60(1+x)+60(1+x)^2=285$,解得$x_1=\dfrac{1}{2}=50\%$,$x_2=-\dfrac{7}{2}$(舍去),所以$60(1+x)=90$,$60(1+x)^2=135$。
令$5y+60=90$,得$y=6$,则$360-y-280=74$;令$5y+60=135$,得$y=15$,则$360-y-280=65$。
所以该季度的总利润为$60×(360-280)+90×74+135×65=20235$(元)。
解析
【分析】
本题分三个小问逐步求解：
1. 第一问求降价前利润，需利用利润公式：利润=每件利润×销售量，先计算降价前每件利润（售价减进价），再乘对应销售量即可。
2. 第二问要使利润达到7200元，设降价y元，此时每件利润为（原利润-降价额），销售量为（原销量+5×降价额），根据总利润列一元二次方程，解出解后结合“更有利于减少库存”的条件筛选合适的解。
3. 第三问求季度总利润，需先根据月平均增长率x，用1月销量表示2、3月销量，结合前三个月总销量列方程求x，再算出2、3月销量，最后分别计算每月利润并求和得到总利润。
【解析】
(1) 降价前每件商品利润：$360 - 280 = 80$（元）
每月销售利润：$60×80 = 4800$（元）
(2) 设每件商品应降价$y$元，此时每件利润为$(360 - y - 280)$元，每月销售量为$(60 + 5y)$件，根据总利润列方程：
$(80 - y)(5y + 60) = 7200$
整理得：$5y² - 400y + 2400 = 0$，即$y² - 80y + 480 = 0$
因式分解得：$(y - 8)(y - 60) = 0$
解得：$y₁=8$，$y₂=60$
因要更有利于减少库存，需销售量更大，故选择较大降价幅度，即$y=60$元。
(3) 设2月和3月销售量的月平均增长率为$x$，1月销量60件，2月销量为$60(1+x)$件，3月销量为$60(1+x)²$件，根据前三个月总销量列方程：
$60 + 60(1+x) + 60(1+x)² = 285$
两边除以15化简得：$4 + 4(1+x) + 4(1+x)² = 19$
展开整理得：$4x² + 12x -7 =0$
解得：$x₁=0.5=50\%$，$x₂=-3.5$（增长率为负舍去）
则2月销量：$60×(1+50\%)=90$件，3月销量：$60×(1+50\%)²=135$件
计算各月利润：
1月利润：$60×(360-280)=4800$元
2月：令$5y+60=90$得$y=6$，每件利润$360-6-280=74$元，利润$90×74=6660$元
3月：令$5y+60=135$得$y=15$，每件利润$360-15-280=65$元，利润$135×65=8775$元
季度总利润：$4800 + 6660 + 8775 =20235$元
【答案】
(1) 4800元；(2) 60元；(3) 20235元
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题），一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的综合应用，涵盖基础利润计算、利润目标求解、增长率结合利润计算三类题型，需学生准确梳理各数量关系，尤其要注意第二问中“减少库存”的条件筛选解，第三问需分步计算，整体考查逻辑分析与运算能力，属于中档应用题。
【难度系数】
0.5
本题分三个小问逐步求解：
1. 第一问求降价前利润，需利用利润公式：利润=每件利润×销售量，先计算降价前每件利润（售价减进价），再乘对应销售量即可。
2. 第二问要使利润达到7200元，设降价y元，此时每件利润为（原利润-降价额），销售量为（原销量+5×降价额），根据总利润列一元二次方程，解出解后结合“更有利于减少库存”的条件筛选合适的解。
3. 第三问求季度总利润，需先根据月平均增长率x，用1月销量表示2、3月销量，结合前三个月总销量列方程求x，再算出2、3月销量，最后分别计算每月利润并求和得到总利润。
【解析】
(1) 降价前每件商品利润：$360 - 280 = 80$（元）
每月销售利润：$60×80 = 4800$（元）
(2) 设每件商品应降价$y$元，此时每件利润为$(360 - y - 280)$元，每月销售量为$(60 + 5y)$件，根据总利润列方程：
$(80 - y)(5y + 60) = 7200$
整理得：$5y² - 400y + 2400 = 0$，即$y² - 80y + 480 = 0$
因式分解得：$(y - 8)(y - 60) = 0$
解得：$y₁=8$，$y₂=60$
因要更有利于减少库存，需销售量更大，故选择较大降价幅度，即$y=60$元。
(3) 设2月和3月销售量的月平均增长率为$x$，1月销量60件，2月销量为$60(1+x)$件，3月销量为$60(1+x)²$件，根据前三个月总销量列方程：
$60 + 60(1+x) + 60(1+x)² = 285$
两边除以15化简得：$4 + 4(1+x) + 4(1+x)² = 19$
展开整理得：$4x² + 12x -7 =0$
解得：$x₁=0.5=50\%$，$x₂=-3.5$（增长率为负舍去）
则2月销量：$60×(1+50\%)=90$件，3月销量：$60×(1+50\%)²=135$件
计算各月利润：
1月利润：$60×(360-280)=4800$元
2月：令$5y+60=90$得$y=6$，每件利润$360-6-280=74$元，利润$90×74=6660$元
3月：令$5y+60=135$得$y=15$，每件利润$360-15-280=65$元，利润$135×65=8775$元
季度总利润：$4800 + 6660 + 8775 =20235$元
【答案】
(1) 4800元；(2) 60元；(3) 20235元
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题），一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是一元二次方程在实际销售场景的综合应用，涵盖基础利润计算、利润目标求解、增长率结合利润计算三类题型，需学生准确梳理各数量关系，尤其要注意第二问中“减少库存”的条件筛选解，第三问需分步计算，整体考查逻辑分析与运算能力，属于中档应用题。
【难度系数】
0.5
