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17. 如图，O是等边三角形ABC内任意一点，OD//BC，OE//AC，OF//AB，点D，E，F分别在AB，BC，AC上。若OD=3，OE=2，OF=1，则等边三角形ABC的面积为$\underline{\hspace{3em}}$。
答案
17.$9\sqrt{3}$ 【解析】如图，延长DO交AC于点G，过点A作$AH⊥ BC$于点H。因为$△ ABC$是等边三角形，所以$AB=AC=BC$，$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。因为$DO// BC$，所以$∠ ADG=∠ B=60°$，$∠ AGD=∠ C=60°$。所以$∠ ADG=∠ AGD=∠ BAC=60°$。所以$△ ADG$是等边三角形。同理可证，$△ FOG$是等边三角形，所以$OG=OF=1$。所以$AG=DG=DO+OG=3+1=4$。因为$OG// BC$，$OE// AC$，所以四边形OECG是平行四边形。所以$GC=OE=2$。所以$BC=AC=4+2=6$。所以$CH=\frac{1}{2}BC=3$。所以$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$。所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
解析
【分析】要解决本题，需利用等边三角形的性质及平行线的性质，通过构造等边三角形和平行四边形，将已知的OD、OE、OF转化为大等边三角形的边长，进而计算面积。首先根据等边三角形各角为60°，结合平行线的同位角相等，推出相关小三角形为等边三角形；再利用平行四边形对边相等的性质，求出大等边三角形的边长，最后根据等边三角形面积公式计算结果。
【解析】如图，延长DO交AC于点G，过点A作$AH⊥ BC$于点H。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC=BC$，$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。
∵$DO// BC$，
∴$∠ ADG=∠ B=60°$，$∠ AGD=∠ C=60°$，
∴△ADG是等边三角形。
同理，
∵$OF// AB$，$OE// AC$，可证△FOG是等边三角形，
∴$OG=OF=1$，
∴$DG=DO+OG=3+1=4$，即$AG=DG=4$。
又
∵$OG// BC$，$OE// AC$，
∴四边形OECG是平行四边形，
∴$GC=OE=2$，
∴$AC=AG+GC=4+2=6$，即$BC=6$。
在等边△ABC中，$AH⊥ BC$，
∴$CH=\frac{1}{2}BC=3$，
由勾股定理得$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】$9\sqrt{3}$
【知识点】等边三角形性质、平行四边形性质、平行线性质
【点评】本题通过构造辅助线，利用平行线性质转化线段，结合等边三角形和平行四边形的性质求解，关键是将分散的线段长度转化为大等边三角形的边长，考查学生对几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】如图，延长DO交AC于点G，过点A作$AH⊥ BC$于点H。
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=AC=BC$，$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。
∵$DO// BC$，
∴$∠ ADG=∠ B=60°$，$∠ AGD=∠ C=60°$，
∴△ADG是等边三角形。
同理，
∵$OF// AB$，$OE// AC$，可证△FOG是等边三角形，
∴$OG=OF=1$，
∴$DG=DO+OG=3+1=4$，即$AG=DG=4$。
又
∵$OG// BC$，$OE// AC$，
∴四边形OECG是平行四边形，
∴$GC=OE=2$，
∴$AC=AG+GC=4+2=6$，即$BC=6$。
在等边△ABC中，$AH⊥ BC$，
∴$CH=\frac{1}{2}BC=3$，
由勾股定理得$AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC × AH=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$。
【答案】$9\sqrt{3}$
【知识点】等边三角形性质、平行四边形性质、平行线性质
【点评】本题通过构造辅助线，利用平行线性质转化线段，结合等边三角形和平行四边形的性质求解，关键是将分散的线段长度转化为大等边三角形的边长，考查学生对几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】0.5
18.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E,F分别为AB,BC的中点,连结CE,DF,取CE,DF的中点M,N,连结MN,则MN的长为________。
答案
18.$\sqrt{5}$ 【解析】如图，连结CN，延长CN交AD于点P。在矩形ABCD中，$AB=4$，$BC=8$，所以$CD=AB=4$，$AD=BC=8$，$∠ A=90°$。因为E，F分别为AB，BC的中点，所以$AE=BE=\frac{1}{2}AB=2$，$BF=CF=\frac{1}{2}BC=4$，$AD// BC$。所以$∠ DPN=∠ FCN$，$∠ PDN=∠ CFN$。因为N是DF的中点，所以$DN=FN$。在$△ DPN$和$△ FCN$中，因为$\begin{cases}∠ DPN=∠ FCN,\\∠ PDN=∠ CFN,\\DN=FN,\end{cases}$所以$△ DPN≌△ FCN(\mathrm{AAS})$。所以$PN=CN$，$DP=CF=4$。所以$AP=AD-DP=8-4=4$。在$\mathrm{Rt}△ AEP$中，由勾股定理得$PE=\sqrt{AE^2+AP^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。因为M是CE的中点，$PN=CN$，所以MN是$△ CEP$的中位线。所以$MN=\frac{1}{2}PE=\sqrt{5}$。
解析
【分析】要计算线段MN的长度，观察到M、N分别是CE、DF的中点，考虑构造三角形中位线转化线段。通过连接CN并延长交AD于点P，可证明△DPN与△FCN全等，得到N为CP中点，进而确定MN是△CEP的中位线，将求MN转化为求PE的长度，最后用勾股定理计算PE即可。
【解析】在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，所以CD=AB=4，AD=BC=8，∠A=90°，AD//BC。
因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AE=BE=½AB=2，BF=CF=½BC=4。
连接CN，延长CN交AD于点P。
因为AD//BC，所以∠DPN=∠FCN，∠PDN=∠CFN。
又因为N是DF的中点，所以DN=FN。
在△DPN和△FCN中：
$\{\begin{array}{l}∠DPN=∠FCN, \\∠PDN=∠CFN, \\DN=FN,\end{array} $
所以△DPN≌△FCN（AAS）。
因此PN=CN，DP=CF=4，故AP=AD - DP=8 - 4=4。
在Rt△AEP中，由勾股定理得：
PE=$\sqrt{AE^2 + AP^2}$=$\sqrt{2^2 + 4^2}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$。
因为M是CE的中点，N是CP的中点，所以MN是△CEP的中位线，根据三角形中位线定理：
MN=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】矩形性质、全等三角形判定、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】本题是矩形背景下的几何综合题，核心是通过构造全等三角形将线段中点转化为三角形中位线，结合勾股定理求解，考查学生的辅助线构造能力和几何定理的综合运用能力。
【难度系数】0.5
【解析】在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，所以CD=AB=4，AD=BC=8，∠A=90°，AD//BC。
因为E、F分别为AB、BC的中点，所以AE=BE=½AB=2，BF=CF=½BC=4。
连接CN，延长CN交AD于点P。
因为AD//BC，所以∠DPN=∠FCN，∠PDN=∠CFN。
又因为N是DF的中点，所以DN=FN。
在△DPN和△FCN中：
$\{\begin{array}{l}∠DPN=∠FCN, \\∠PDN=∠CFN, \\DN=FN,\end{array} $
所以△DPN≌△FCN（AAS）。
因此PN=CN，DP=CF=4，故AP=AD - DP=8 - 4=4。
在Rt△AEP中，由勾股定理得：
PE=$\sqrt{AE^2 + AP^2}$=$\sqrt{2^2 + 4^2}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$。
因为M是CE的中点，N是CP的中点，所以MN是△CEP的中位线，根据三角形中位线定理：
MN=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$。
【答案】$\sqrt{5}$
【知识点】矩形性质、全等三角形判定、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】本题是矩形背景下的几何综合题，核心是通过构造全等三角形将线段中点转化为三角形中位线，结合勾股定理求解，考查学生的辅助线构造能力和几何定理的综合运用能力。
【难度系数】0.5
19.(6分)解答下列各题:
(1)计算:$\sqrt{(-8)^2}-(\sqrt{13})^2+\sqrt{36}$。
(2)设实数$\sqrt{6}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a+b)(a-b)-4b$的值。
(1)计算:$\sqrt{(-8)^2}-(\sqrt{13})^2+\sqrt{36}$。
(2)设实数$\sqrt{6}$的整数部分为$a$,小数部分为$b$,求$(a+b)(a-b)-4b$的值。
答案
19.(1)$原式=8-13+6=1$。
(2)因为$2＜\sqrt{6}＜3$，所以实数$\sqrt{6}$的整数部分$a$为2，小数部分$b$为$\sqrt{6}-2$。
所以$(a+b)(a-b)-4b=a^2-b^2-4b=2^2-(\sqrt{6}-2)^2-4(\sqrt{6}-2)=2$。
(2)因为$2＜\sqrt{6}＜3$，所以实数$\sqrt{6}$的整数部分$a$为2，小数部分$b$为$\sqrt{6}-2$。
所以$(a+b)(a-b)-4b=a^2-b^2-4b=2^2-(\sqrt{6}-2)^2-4(\sqrt{6}-2)=2$。
解析
【分析】
第(1)题需利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算；第(2)题先估算无理数$\sqrt{6}$的范围确定其整数部分$a$和小数部分$b$，再用平方差公式化简代数式，最后代入求值。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$（$x$为任意实数），$(\sqrt{m})^2=m$（$m≥0$），可得：
$\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$，$(\sqrt{13})^2=13$，$\sqrt{36}=6$，
因此原式$=8-13+6=1$；
(2) 因为$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，故$\sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$；
先化简代数式：$(a+b)(a-b)-4b=a^2-b^2-4b$，
代入$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$：
$a^2=2^2=4$，$b^2=(\sqrt{6}-2)^2=6-4\sqrt{6}+4=10-4\sqrt{6}$，
则原式$=4-(10-4\sqrt{6})-4(\sqrt{6}-2)$
$=4-10+4\sqrt{6}-4\sqrt{6}+8$
$=2$；
【答案】
(1)$1$；(2)$2$
【知识点】
二次根式的性质，无理数的估算，代数式求值
【点评】
本题考查二次根式运算、无理数的整数与小数部分的确定及代数式化简，属于基础题型，需熟练掌握二次根式性质和平方差公式，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)题需利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算；第(2)题先估算无理数$\sqrt{6}$的范围确定其整数部分$a$和小数部分$b$，再用平方差公式化简代数式，最后代入求值。
【解析】
(1) 根据二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$（$x$为任意实数），$(\sqrt{m})^2=m$（$m≥0$），可得：
$\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8$，$(\sqrt{13})^2=13$，$\sqrt{36}=6$，
因此原式$=8-13+6=1$；
(2) 因为$4＜6＜9$，所以$2＜\sqrt{6}＜3$，故$\sqrt{6}$的整数部分$a=2$，小数部分$b=\sqrt{6}-2$；
先化简代数式：$(a+b)(a-b)-4b=a^2-b^2-4b$，
代入$a=2$，$b=\sqrt{6}-2$：
$a^2=2^2=4$，$b^2=(\sqrt{6}-2)^2=6-4\sqrt{6}+4=10-4\sqrt{6}$，
则原式$=4-(10-4\sqrt{6})-4(\sqrt{6}-2)$
$=4-10+4\sqrt{6}-4\sqrt{6}+8$
$=2$；
【答案】
(1)$1$；(2)$2$
【知识点】
二次根式的性质，无理数的估算，代数式求值
【点评】
本题考查二次根式运算、无理数的整数与小数部分的确定及代数式化简，属于基础题型，需熟练掌握二次根式性质和平方差公式，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.(8分)如图所示为$6×8$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,$A,B,C,P$各点都在格点上。请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图。
(1)找出格点$D$,连结$CD,AD$,使四边形$ABCD$是平行四边形。
(2)过点$P$作一条直线$l$,使直线$l$平分(1)中$□ ABCD$的周长和面积。
(1)找出格点$D$,连结$CD,AD$,使四边形$ABCD$是平行四边形。
(2)过点$P$作一条直线$l$,使直线$l$平分(1)中$□ ABCD$的周长和面积。
答案
20.(1)如图，平行四边形ABCD即为所求。
(2)如图，直线$l$即为所求。
解析
【分析】
本题是网格背景下的作图题，需利用平行四边形的性质与中心对称图形的性质解题。第(1)问，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定，在格点中找到点D，使AD平行且等于BC，即可构造平行四边形ABCD；第(2)问，平行四边形是中心对称图形，过其对称中心（两条对角线的交点）的直线能同时平分周长和面积，结合点P在BC中点，作过P与对称中心的直线即可。
【解析】
(1) 观察网格，BC为水平线段，长度为6格；将点A沿水平向右方向平移6格，得到格点D，连接AD、CD，此时AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等，故四边形ABCD是平行四边形。
(2) 平行四边形的对称中心是对角线AC与BD的交点，点P是BC中点，连接点P与该对称中心，得到直线l，该直线过平行四边形的对称中心，因此能平分其周长和面积。
【答案】
20.(1) 格点D的位置如图；(2) 直线l的位置如图。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、网格作图
【点评】
本题结合网格考查平行四边形的作图，需熟练运用平行四边形的对边关系和中心对称性质，是初中几何的基础作图题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是网格背景下的作图题，需利用平行四边形的性质与中心对称图形的性质解题。第(1)问，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定，在格点中找到点D，使AD平行且等于BC，即可构造平行四边形ABCD；第(2)问，平行四边形是中心对称图形，过其对称中心（两条对角线的交点）的直线能同时平分周长和面积，结合点P在BC中点，作过P与对称中心的直线即可。
【解析】
(1) 观察网格，BC为水平线段，长度为6格；将点A沿水平向右方向平移6格，得到格点D，连接AD、CD，此时AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等，故四边形ABCD是平行四边形。
(2) 平行四边形的对称中心是对角线AC与BD的交点，点P是BC中点，连接点P与该对称中心，得到直线l，该直线过平行四边形的对称中心，因此能平分其周长和面积。
【答案】
20.(1) 格点D的位置如图；(2) 直线l的位置如图。
【知识点】
平行四边形的判定、平行四边形的性质、网格作图
【点评】
本题结合网格考查平行四边形的作图，需熟练运用平行四边形的对边关系和中心对称性质，是初中几何的基础作图题，难度适中。
【难度系数】
0.5
