21.(8分)如图,在$□ ABCD$中,对角线$BD⊥CD$,延长$CD$至点$E$,使得$DE=CD$,连结$AE$。
(1)求证:四边形$ABDE$为矩形。
(2)连结$BE$,若$∠CBD=30°$,$CD=2$,求$BE$的长。

21.(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB=CD$。因为$DE=CD$，所以$AB=DE$。又因为$AB// DE$，所以四边形ABDE是平行四边形。又因为$BD⊥ CD$，所以$∠ BDE=90°$。所以平行四边形ABDE为矩形。
(2)因为$BD⊥ CD$，所以$∠ BDC=90°$。因为$∠ CBD=30°$，$CD=2$，所以$BC=2CD=4$。因为四边形ABCD是平行四边形，所以$AD=BC$。由(1)可知，四边形ABDE为矩形，所以$AD=BE$。所以$BE=BC=4$，即BE的长为4。

【分析】
第(1)问要证明四边形ABDE为矩形，需先证它是平行四边形，再证有一个内角为直角：利用平行四边形ABCD的对边平行且相等，结合DE=CD，可推出AB与DE平行且相等，得到平行四边形ABDE；再由BD⊥CD，得∠BDE=90°，根据矩形判定定理即可证明。第(2)问求BE的长，先在Rt△BCD中，利用30°角对应的直角边是斜边一半求出BC；再结合平行四边形对边相等、矩形对边相等的性质，得到BE=BC，从而算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD。
又
∵ DE=CD，
∴ AB=DE，且AB//DE，
∴ 四边形ABDE是平行四边形。
∵ BD⊥CD，
∴ ∠BDE=90°，
∴ 平行四边形ABDE为矩形。
(2) 解：
∵ BD⊥CD，
∴ ∠BDC=90°，
在Rt△BCD中，∠CBD=30°，CD=2，
∴ BC=2CD=2×2=4。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=4。
由(1)知四边形ABDE为矩形，
∴ BE=AD=4，
即BE的长为4。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形性质、矩形判定、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及直角三角形的性质，解题关键是熟练运用相关图形的性质逐步推导，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.6

22.(8分)保护水资源从我做起。学校开展“节水护水”知识竞赛,从全校1800名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析,并将成绩(满分:100分)制成如下不完整的扇形统计图和条形统计图。请根据图中相关信息回答下列问题:

(1)抽样统计的学生竞赛成绩的中位数是;众数是。
(2)补全不完整的条形统计图。
(3)根据竞赛规则,98分及以上的学生有资格进入复赛环节,请你估计全校1800名学生进入复赛环节的人数。
23.(8分)
制定某品牌新能源汽车的销售方案
背景：随着“绿色出行,低碳生活”理念的普及,新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。新能源汽车多数采用电能作为动力来源,不需要燃烧汽油,这样可以减少二氧化碳气体的排放,从而达到保护环境的目的。在国家积极政策的鼓励下,新能源汽车的市场需求逐年上升。
素材1：某品牌新能源汽车1月份的销售量为3万辆,随着消费人群的不断增多,该品牌新能源汽车的销售量逐月递增,3月份的销售量达到5.07万辆车。
素材2：新能源汽车在汽车市场的占比越来越大。该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研,因此需要预估未来的销售量。
素材3：中国新能源汽车市场火爆,某汽车销售公司抢占先机,购进一批新能源汽车进行销售。该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车,经销一段时间后发现:当该款汽车售价定为25万元/辆时,平均每周售出8辆;售价每降低0.5万元,平均每周多售出1辆。该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元。
问题解决
任务1：求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率。
任务2：若按此月平均增长率,从几月份开始,该品牌的月销售量会超过1月份销售量的两倍。
任务3：根据素材3,为了推广新能源汽车,此次销售尽量让利于顾客,求下调后每辆汽车的售价。

22.(1)该校抽取的学生一共有$6÷10\%=60$(人)，在这次抽取的学生中，成绩的中位数是$\frac{96+96}{2}=96$(分)，98分出现的次数最多，所以众数是98分。故答案为：96分；98分。
(2)抽样中得94分的学生有$60×20\%=12$(人)，补全不完整的条形统计图如下：
(3)$1800×\frac{18+9}{60}×100\%=810$(人)，所以估计全校1800名学生进入复赛环节的人数是810人。
23.任务1:设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意得$3(1+x)^2=5.07$，解得$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$(不符合题意，舍去)。
所以从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%。
任务2:根据题意得，4月份的销售量是$5.07×(1+30\%)=6.591$(万辆)，
因为$6.591＞6=3×2$，所以从4月份开始，该品牌的月销售量会超过1月份销售量的两倍。
任务3:设下调后每辆汽车的售价为$y$万元，则每辆汽车的销售利润为$(y-15)$万元，平均每周可售出$8+\frac{25-y}{0.5}×1=(58-2y)$辆。根据题意得$(y-15)(58-2y)=96$，解得$y_1=21$，$y_2=23$。
又因为要尽量让利于顾客，所以$y=21$。故下调后每辆汽车的售价为21万元。

【分析】
22题：首先通过扇形统计图中92分的占比和条形图中92分的人数，求出抽样总人数；再根据94分的占比算出其人数，补全条形图；接着将成绩排序，确定中位数（中间两个数据的平均数）和众数（出现次数最多的数据）；最后用样本中98分及以上的占比，估计全校进入复赛的人数。
23题：任务1利用增长率公式，设月平均增长率为x，根据1月和3月的销量列一元二次方程求解；任务2计算4月的销量，与1月销量的两倍比较，确定开始超过的月份；任务3设下调后售价为y，根据“利润=单辆利润×销量”，结合售价与销量的关系列方程，再根据“让利于顾客”的条件选择合适的解。
【解析】
22题：
(1) 抽样总人数：由扇形图知92分占10%，条形图中92分有6人，故总人数=6÷10%=60（人）。将成绩从小到大排列，第30、31个数据均为96分，因此中位数=(96+96)÷2=96（分）；98分出现18次，次数最多，故众数为98分。
(2) 94分的人数：60×20%=12（人），补全条形统计图（对应94分的条形高度为12）。
(3) 样本中98分及以上人数=18+9=27（人），占比为$\frac{27}{60}$，全校进入复赛人数=1800×$\frac{27}{60}$=810（人）。
23题：
任务1：设月平均增长率为x，根据题意得$3(1+x)^2=5.07$，解得$x_1=0.3=30\%$，$x_2=-2.3$（不符合题意，舍去），故月平均增长率为30%。
任务2：4月销量=$5.07×(1+30\%)=6.591$（万辆），1月销量的两倍为$3×2=6$（万辆），因$6.591＞6$，故从4月份开始，月销售量超过1月的两倍。
任务3：设下调后每辆汽车售价为y万元，单辆利润为$(y-15)$万元，销量为$8+\frac{25-y}{0.5}=58-2y$辆，根据利润为96万元，得$(y-15)(58-2y)=96$，解得$y_1=21$，$y_2=23$；因要尽量让利于顾客，故取$y=21$，即下调后售价为21万元。
【答案】
22.(1)96分；98分
(2)补全的条形统计图：
(3)810人
23.任务1：30%；任务2：4月份；任务3：21万元
【知识点】
统计（中位数、众数、扇形与条形统计图）；一元二次方程的应用（增长率、利润问题）
【点评】
本题结合统计知识与一元二次方程的实际应用，考查学生的数据分析能力和方程建模能力，需准确提取图表信息，合理运用统计量和方程解决实际问题，是典型的基础综合题。
【难度系数】
0.6