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1. 计算：$2^{-1}$等于（
A.$-2$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$
C
）A.$-2$
B.$-\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$2$
答案
1. C
解析
【分析】首先回忆负整数指数幂的运算法则：对于非零数$a$，$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$p$为正整数）。本题需计算$2^{-1}$，直接运用该法则推导结果，再匹配选项即可。
【解析】根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】负整数指数幂运算
【点评】本题考查负整数指数幂的基本定义，属于基础题型，是对基础知识的直接考查，只要牢记运算法则就能快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】负整数指数幂运算
【点评】本题考查负整数指数幂的基本定义，属于基础题型，是对基础知识的直接考查，只要牢记运算法则就能快速解答。
【难度系数】0.9
2. 要使分式$\dfrac{3}{x-2}$有意义，则$x$的取值应满足 （
A.$x=2$
B.$x≠2$
C.$x=0$
D.$x≠0$
B
）A.$x=2$
B.$x≠2$
C.$x=0$
D.$x≠0$
答案
2. B
解析
【分析】要确定分式有意义时x的取值，需依据分式有意义的核心条件：分母不能为0。本题中分式的分母是$x-2$，只需让分母不等于0，解对应的不等式即可得到x的取值范围，再匹配选项选出正确答案。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-2}$，其分母为$x-2$，因此需满足$x-2≠0$，解得$x≠2$。逐一分析选项：A选项$x=2$时分母为0，分式无意义；C、D选项与分母的限制条件无关，只有B选项符合要求。
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本概念，属于基础题，侧重对核心条件的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-2}$，其分母为$x-2$，因此需满足$x-2≠0$，解得$x≠2$。逐一分析选项：A选项$x=2$时分母为0，分式无意义；C、D选项与分母的限制条件无关，只有B选项符合要求。
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基本概念，属于基础题，侧重对核心条件的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.9
3. 要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是 （
A.抽取某一片区的七年级学生进行调查
B.抽取三个片区的九年级学生进行调查
C.抽取某所学校的所有学生进行调查
D.按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查
D
）A.抽取某一片区的七年级学生进行调查
B.抽取三个片区的九年级学生进行调查
C.抽取某所学校的所有学生进行调查
D.按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查
答案
3. D
解析
【分析】要判断调查方案是否合理，需依据抽样调查的核心要求：样本需具有代表性（能反映总体的特征）和广泛性（覆盖总体的各个部分），不能仅选取总体中的某一部分作为样本。逐一分析选项的样本是否符合要求即可得出结论。
【解析】抽样调查时，样本需同时具备代表性和广泛性，才能准确反映总体情况。A选项仅抽取某一片区的七年级学生，样本仅来自单个片区且仅覆盖七年级，无法代表三个片区所有初中生的视力情况，不合理；B选项仅抽取三个片区的九年级学生，未包含七、八年级，样本不全面，不合理；C选项仅抽取某所学校的所有学生，样本仅来自单所学校，无法代表三个片区的总体情况，不合理；D选项按片区各抽取学校，覆盖了三个片区，抽取9所学校的所有学生，样本兼顾了各片区，具有代表性和广泛性，能较好反映总体视力情况，合理。
【答案】D
【知识点】抽样调查、样本的代表性与广泛性
【点评】本题考查抽样调查的基本操作要求，属于统计部分的基础题型，核心是理解抽样时样本需避免片面性，兼顾代表性和广泛性，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.7
【解析】抽样调查时，样本需同时具备代表性和广泛性，才能准确反映总体情况。A选项仅抽取某一片区的七年级学生，样本仅来自单个片区且仅覆盖七年级，无法代表三个片区所有初中生的视力情况，不合理；B选项仅抽取三个片区的九年级学生，未包含七、八年级，样本不全面，不合理；C选项仅抽取某所学校的所有学生，样本仅来自单所学校，无法代表三个片区的总体情况，不合理；D选项按片区各抽取学校，覆盖了三个片区，抽取9所学校的所有学生，样本兼顾了各片区，具有代表性和广泛性，能较好反映总体视力情况，合理。
【答案】D
【知识点】抽样调查、样本的代表性与广泛性
【点评】本题考查抽样调查的基本操作要求，属于统计部分的基础题型，核心是理解抽样时样本需避免片面性，兼顾代表性和广泛性，难度较低，学生易掌握。
【难度系数】0.7
4. 如图,直线a,b被直线c所截,若要使$a// b$,则需具备条件 （
A.$∠1=∠2$
B.$∠3+∠4=180°$
C.$∠1=∠4$
D.$∠1+∠4=180°$
D
）A.$∠1=∠2$
B.$∠3+∠4=180°$
C.$∠1=∠4$
D.$∠1+∠4=180°$
答案
4. D
5. 下列各式中,运算结果为$4a^6$的是 （
A.$(-2a^3)^2$
B.$a^3 · (-2a)^2$
C.$2a^3 + 2a^3$
D.$4a^6 ÷ a$
A
）A.$(-2a^3)^2$
B.$a^3 · (-2a)^2$
C.$2a^3 + 2a^3$
D.$4a^6 ÷ a$
答案
5. A
解析
【分析】这道题考查整式的基本运算，需根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法等运算法则，分别计算各选项的结果，再找出运算结果为$4a^6$的选项。
【解析】逐个计算各选项：
选项A：根据积的乘方法则，$(-2a^3)^2 = (-2)^2 · (a^3)^2 = 4a^6$，符合要求；
选项B：先算$(-2a)^2 = 4a^2$，再计算同底数幂乘法：$a^3 · 4a^2 = 4a^5$，结果不是$4a^6$，不符合；
选项C：合并同类项得$2a^3 + 2a^3 = 4a^3$，结果不是$4a^6$，不符合；
选项D：根据同底数幂除法法则，$4a^6 ÷ a = 4a^{6-1} = 4a^5$，结果不是$4a^6$，不符合。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法
【点评】本题是整式运算的基础题，主要考查幂的运算法则与合并同类项法则，解题时牢记各运算法则逐一计算即可，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】逐个计算各选项：
选项A：根据积的乘方法则，$(-2a^3)^2 = (-2)^2 · (a^3)^2 = 4a^6$，符合要求；
选项B：先算$(-2a)^2 = 4a^2$，再计算同底数幂乘法：$a^3 · 4a^2 = 4a^5$，结果不是$4a^6$，不符合；
选项C：合并同类项得$2a^3 + 2a^3 = 4a^3$，结果不是$4a^6$，不符合；
选项D：根据同底数幂除法法则，$4a^6 ÷ a = 4a^{6-1} = 4a^5$，结果不是$4a^6$，不符合。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法
【点评】本题是整式运算的基础题，主要考查幂的运算法则与合并同类项法则，解题时牢记各运算法则逐一计算即可，难度较低。
【难度系数】0.7
6. 若$a - b = -2$，$ab = 3$，则$a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$的值为 （
A.$-12$
B.$-6$
C.$12$
D.$6$
C
）A.$-12$
B.$-6$
C.$12$
D.$6$
答案
6. C
解析
【分析】
要计算代数式$a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$的值，先对该式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a - b$和$ab$的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}&=ab(a^{2} - 2ab + b^{2})\\&=ab(a - b)^{2}\end{aligned}$
已知$a - b = -2$，$ab = 3$，代入得：
原式$=3×(-2)^{2}=3×4=12$
【答案】
C
【知识点】
因式分解、代数式求值
【点评】
本题通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的形式，简化了计算过程，重点考查因式分解的应用，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
要计算代数式$a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}$的值，先对该式进行因式分解，将其转化为含有已知条件$a - b$和$ab$的形式，再代入数值计算即可。
【解析】
对原式因式分解：
$\begin{aligned}a^{3}b - 2a^{2}b^{2} + ab^{3}&=ab(a^{2} - 2ab + b^{2})\\&=ab(a - b)^{2}\end{aligned}$
已知$a - b = -2$，$ab = 3$，代入得：
原式$=3×(-2)^{2}=3×4=12$
【答案】
C
【知识点】
因式分解、代数式求值
【点评】
本题通过因式分解将所求代数式转化为已知条件的形式，简化了计算过程，重点考查因式分解的应用，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
7.《孙子算经》中有这样一道题:今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸,屈绳量之,不足一尺,问几何.意思是:用一根绳子去量一根木头,绳子剩余4.5尺,将绳子对折再量木头,木头剩余1尺,问木头长多少尺.
设绳子长$x$尺,木头长$y$尺,可列出方程组 （
A.$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ y - \dfrac{1}{2}x = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ \dfrac{1}{2}x - y = 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 4.5 \\ 2y - x = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y - x = 4.5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
设绳子长$x$尺,木头长$y$尺,可列出方程组 （
A
）A.$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ y - \dfrac{1}{2}x = 1 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ \dfrac{1}{2}x - y = 1 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 4.5 \\ 2y - x = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y - x = 4.5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$
答案
7. A
解析
【分析】
首先需根据题目给出的两个测量条件，分别推导绳子长度$x$和木头长度$y$的等量关系：第一个条件是用绳子量木头时绳子剩余4.5尺，即绳子比木头长4.5尺；第二个条件是对折绳子量木头时木头剩余1尺，即木头比对折后的绳子长1尺。根据这两个等量关系列出方程组，再匹配对应选项即可。
【解析】
设绳子长$x$尺，木头长$y$尺：
1. 由“用绳子量木头，余绳4.5尺”，可得等量关系：绳子长度 - 木头长度 = 4.5，即$x - y = 4.5$；
2. 由“将绳子对折再量木头，不足1尺”，对折后的绳子长度为$\frac{1}{2}x$，可得等量关系：木头长度 - 对折后绳子长度 = 1，即$y - \frac{1}{2}x = 1$。
综上，列出的方程组为$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ y - \dfrac{1}{2}x = 1 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用、等量关系建立
【点评】
本题将古代数学问题转化为二元一次方程组问题，核心是准确提取题目中的两个关键等量关系，尤其要注意“对折后量木头不足1尺”的含义，属于基础的方程组应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先需根据题目给出的两个测量条件，分别推导绳子长度$x$和木头长度$y$的等量关系：第一个条件是用绳子量木头时绳子剩余4.5尺，即绳子比木头长4.5尺；第二个条件是对折绳子量木头时木头剩余1尺，即木头比对折后的绳子长1尺。根据这两个等量关系列出方程组，再匹配对应选项即可。
【解析】
设绳子长$x$尺，木头长$y$尺：
1. 由“用绳子量木头，余绳4.5尺”，可得等量关系：绳子长度 - 木头长度 = 4.5，即$x - y = 4.5$；
2. 由“将绳子对折再量木头，不足1尺”，对折后的绳子长度为$\frac{1}{2}x$，可得等量关系：木头长度 - 对折后绳子长度 = 1，即$y - \frac{1}{2}x = 1$。
综上，列出的方程组为$\begin{cases} x - y = 4.5 \\ y - \dfrac{1}{2}x = 1 \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用、等量关系建立
【点评】
本题将古代数学问题转化为二元一次方程组问题，核心是准确提取题目中的两个关键等量关系，尤其要注意“对折后量木头不足1尺”的含义，属于基础的方程组应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. 如图，直线AB，CD与直线l分别交于点E，F，∠BEF的平分线EG交
CD于点G，FH⊥EG于点H.若AB//CD，则 （
A.∠EFG=∠EGF
B.∠EFH=∠GFH
C.∠AEG=∠CFE
D.∠BEH+∠DFH=100°
CD于点G，FH⊥EG于点H.若AB//CD，则 （
B
）A.∠EFG=∠EGF
B.∠EFH=∠GFH
C.∠AEG=∠CFE
D.∠BEH+∠DFH=100°
答案
8. B
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行线的性质、角平分线定义和等腰三角形的性质逐步推导：首先利用AB//CD得到内错角相等，再结合EG是角平分线推出△EFG为等腰三角形，最后根据等腰三角形三线合一的性质判断选项。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BEG=∠EGF。
又因为EG平分∠BEF，根据角平分线的定义，∠BEG=∠FEG。
通过等量代换得∠FEG=∠EGF，因此△EFG是等腰三角形（等角对等边），即EF=FG。
由于FH⊥EG于H，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高平分顶角），可知FH平分∠EFG，即∠EFH=∠GFH，故选项B正确。
对其他选项分析：
选项A：∠EFG与∠EGF只有在EF=EG时才相等，题目无此条件，错误；
选项C：∠AEG=180°-∠BEG，∠CFE=∠AEF（AB//CD，内错角相等），∠AEG=∠AEF+∠FEG，故∠AEG≠∠CFE，错误；
选项D：题目未给出任何角度数值，无法得出∠BEH+∠DFH=100°，错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线与等腰三角形的基础性质，需熟练运用几何定理推导，是初中几何典型基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合平行线的性质、角平分线定义和等腰三角形的性质逐步推导：首先利用AB//CD得到内错角相等，再结合EG是角平分线推出△EFG为等腰三角形，最后根据等腰三角形三线合一的性质判断选项。
【解析】
已知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BEG=∠EGF。
又因为EG平分∠BEF，根据角平分线的定义，∠BEG=∠FEG。
通过等量代换得∠FEG=∠EGF，因此△EFG是等腰三角形（等角对等边），即EF=FG。
由于FH⊥EG于H，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高平分顶角），可知FH平分∠EFG，即∠EFH=∠GFH，故选项B正确。
对其他选项分析：
选项A：∠EFG与∠EGF只有在EF=EG时才相等，题目无此条件，错误；
选项C：∠AEG=180°-∠BEG，∠CFE=∠AEF（AB//CD，内错角相等），∠AEG=∠AEF+∠FEG，故∠AEG≠∠CFE，错误；
选项D：题目未给出任何角度数值，无法得出∠BEH+∠DFH=100°，错误。
【答案】
B
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线与等腰三角形的基础性质，需熟练运用几何定理推导，是初中几何典型基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
