24. 小宁与小波两位同学在学习“平行线”后进行了课后探究：
素材提供：“两块相同直角三角板，两条平行线”.三角板ABC与三角板DEF如图2所示摆放，其中$∠ ACB = ∠ DFE = 90°$，$∠ BAC = ∠ FDE = 60°$，$l_1 // l_2$，点A，B在直线$l_1$上，点D，E在直线$l_2$上.
动手实践：将三角板沿着直线平移或旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论.问题解决：小宁将三角板ABC向右平移.
(1)如图1，当点F落在线段BC上时，求$∠ BFE$的度数.
(2)如图2，在三角板ABC向右平移过程中，连结BF(初始状态E，F，B三点在同一直线上)，记$∠ BFE = α$，$∠ CBF = β$.
①当点F在BC右侧时，试探究$α$与$β$的数量关系.
②小宁发现，当点F在BC左侧时，$α$与$β$的数量关系将发生改变，那么此时$α$与$β$的数量关系是.
(3)思维拓展：小宁和小波一起将两块三角板旋转，如图3，小宁将三角板ABC绕点A以每秒$1°$的速度顺时针旋转，同时小波将三角板DEF绕点D以每秒$2°$的速度逆时针旋转，设时间为$t$秒，$∠ 1 = t°$，$∠ 2 = 2t°$，且$0 ≤ t ≤ 60$，若边AC与三角板DEF的一条边平行时，请直接写出所有满足条件的$t$的值.

24.解:(1)过点F作$FM// l_1$,如图.
∵$l_1// l_2$,
∴$FM// l_1// l_2$,
∴∠BFM=∠ABC=30°,∠EFM=∠FED=30°,
∴∠BFE=∠BFM+∠EFM=60°.(3分)
(2)①
∵∠ABF=∠ABC+∠CBF=α+30°,
由(1)可得:∠BFE=∠ABF+∠DEF,
∴α=β+60°.(6分)
②α=60°−β.(9分)
【解析】延长DF交$l_1$于点P,如图,
∵$l_1// l_2$,
∴∠DPB+∠PDE=180°,
∴∠DPB=180°−∠PDE=180°−60°=120°.
∵∠BFE=α,∠CBF=β,∠ABC=30°,
∴∠PBF=30°−β,∠PFB=180°−∠DFE−∠BFE=180°−90°−α=90°−α.
∵∠FPB+∠PBF+∠PFB=180°,
∴120°+90°−α+30°−β=180°,
∴α+β=60°.
(3)20,40,50(每个1分)(12分)
【解析】①当$AC// DF$时,延长DF交$l_1$于点P,交AB于点Q,如图,
∴∠PQA=∠CAB=60°.
∵$l_1// l_2$,
∴∠APQ=∠FDE+2t°=60°+2t°.
∵∠PAQ+∠APQ+∠PQA=180°,
∴t°+60°+60°+2t°=180°,
解得t=20;
②当$AC// DE$时,延长AB交DE于点Q,交$l_2$于点P,如图,
则∠DQP=∠CAB=60°.
∵$l_1// l_2$,
∴∠DPQ=∠BAM=t°,
∴2t°+60°+t°=180°,
解得t=40;
③当$AC// EF$时,作直线EF分别交$l_1$、$l_2$于点M、P,如图,交AB于点Q,
则∠AQM=∠CAB=60°.
又∠MPD=2t°−∠PED=2t°−30°,
∵$l_1// l_2$,
∴∠AMQ=∠MPD=2t°−30°.
∵∠QAM+∠AMQ+∠AQM=180°,
∴t°+60°+2t°−30°=180°,
解得t=50.
综上,t的值为20或40或50.

【分析】
本题是平行线与三角板结合的动态角度探究题，解题思路如下：
(1) 求∠BFE时，通过作辅助线平行于已知平行线，利用平行线内错角相等的性质，将∠BFE拆分为两个角的和，结合三角板的固定角度计算；
(2) 探究α与β的关系时，分点F在BC右侧和左侧两种情况，分别利用平行线性质和三角形内角和定理，建立α与β的等量关系；
(3) 旋转后AC与△DEF的边平行时，分AC分别平行于DF、DE、EF三种情况，结合平行线性质和三角形内角和，列方程求解旋转时间t，需注意旋转角度的变化规律。
【解析】
(1) 过点F作$FM// l_1$，如图。
∵ $l_1// l_2$，
∴ $FM// l_1// l_2$，
∴ $∠BFM=∠ABC=30°$，$∠EFM=∠FED=30°$，
∴ $∠BFE=∠BFM+∠EFM=30°+30°=60°$。
(2) ① 当点F在BC右侧时，
∵ $∠ABF=∠ABC+∠CBF=30°+β$，
由(1)的结论结合平行线性质得：$∠BFE=∠ABF+∠DEF$，
又
∵ $∠DEF=30°$，
∴ $α=(30°+β)+30°$，即$α=β+60°$。
② 当点F在BC左侧时，延长DF交$l_1$于点P，如图。
∵ $l_1// l_2$，
∴ $∠DPB+∠PDE=180°$，
∴ $∠DPB=180°-∠PDE=180°-60°=120°$。
∵ $∠BFE=α$，$∠CBF=β$，$∠ABC=30°$，
∴ $∠PBF=30°-β$，$∠PFB=180°-∠DFE-∠BFE=180°-90°-α=90°-α$。
在△FPB中，$∠FPB+∠PBF+∠PFB=180°$，
∴ $120°+(30°-β)+(90°-α)=180°$，整理得$α+β=60°$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$AC// DF$时，延长DF交$l_1$于点P，交AB于点Q，如图。
∵ $AC// DF$，
∴ $∠PQA=∠CAB=60°$。
∵ $l_1// l_2$，
∴ $∠APQ=∠FDE+2t°=60°+2t°$。
在△APQ中，$∠PAQ+∠APQ+∠PQA=180°$，即$t°+60°+60°+2t°=180°$，解得$t=20$；
② 当$AC// DE$时，延长AB交DE于点Q，交$l_2$于点P，如图。
∵ $AC// DE$，
∴ $∠DQP=∠CAB=60°$。
∵ $l_1// l_2$，
∴ $∠DPQ=∠BAM=t°$。
在△DPQ中，$2t°+60°+t°=180°$，解得$t=40$；
③ 当$AC// EF$时，作直线EF分别交$l_1$、$l_2$于点M、P，交AB于点Q，如图。
∵ $AC// EF$，
∴ $∠AQM=∠CAB=60°$。
又
∵ $∠MPD=2t°-∠PED=2t°-30°$，$l_1// l_2$，
∴ $∠AMQ=∠MPD=2t°-30°$。
在△AQM中，$∠QAM+∠AMQ+∠AQM=180°$，即$t°+60°+2t°-30°=180°$，解得$t=50$。
综上，满足条件的t的值为20、40、50。
【答案】
(1) $60°$；
(2) ① $α=β+60°$；② $α+β=60°$；
(3) $20$，$40$，$50$
【知识点】
平行线的性质、三角形内角和定理、旋转的性质
【点评】
本题为几何综合探究题，结合平行线、三角板角度与旋转动态变化，需分情况讨论不同位置的角度关系，考查逻辑推理与分类讨论能力，关键是合理添加辅助线转化角度。
【难度系数】
0.5