23. 基础体验:(1)若实数$a,b$满足$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值.
进阶实践:(2)若实数$x$满足$x(5-x)=3$,求$x^2+(5-x)^2$的值.
对于(2),甲和乙两位同学给出了以下看法,甲同学:已知条件中有一个方程,一个未知数,可以求出$x$的值,但是这个方程不是一元一次方程,有些困难.乙同学:本题中的$x$与$(5-x)$隐含了一个数量关系,通过设元的方法可以将其转化为第(1)题的形式求解.请你参考甲、乙两位同学的看法,解答第(2)小题.

23.解:(1)
∵$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$,
∴$a^2+b^2=(a+b)^2−2ab=3^2−2=7$.(5分)
(2)设x=a,5−x=b,
∴a+b=5,ab=3,
∴$a^2+b^2=(a+b)^2−2ab=5^2−2×3=19$.(10分)

【分析】
第(1)问已知两数的和与积，求两数平方和，可利用完全平方公式的变形公式直接计算；第(2)问参考第(1)问的思路，采用换元法，将x和5-x设为新变量，转化为第(1)问的形式，再用相同公式变形求解，避免直接解一元二次方程的繁琐。
【解析】
(1) 根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，变形可得：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
已知$a+b=3$，$ab=1$，代入得：
$a^2+b^2=3^2-2×1=9-2=7$
(2) 设$x=a$，$5-x=b$，则：
$a+b=x+(5-x)=5$，$ab=x(5-x)=3$
再根据完全平方公式变形：
$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
代入得：
$a^2+b^2=5^2-2×3=25-6=19$
【答案】
19
【知识点】
完全平方公式应用，换元法
【点评】
本题通过换元法将进阶问题转化为熟悉的基础题型，考查完全平方公式的灵活变形，体现了转化的数学思想，是巩固公式应用的典型题目。
【难度系数】
0.7