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15. 已知$x^2 - 3x + 1 = 0$，则$-2x^2 + 6x + 1$的值为________。
答案
15.3
解析
【分析】
本题可采用整体代入法求解，先根据已知方程求出$x^2 - 3x$的值，再将所求代数式变形为含有$x^2 - 3x$的形式，最后代入计算，避免直接求解$x$的复杂运算。
【解析】
由$x^2 - 3x + 1 = 0$，移项可得：$x^2 - 3x = -1$。
对待求式$-2x^2 + 6x + 1$变形，提取公因式$-2$得：$-2(x^2 - 3x) + 1$。
将$x^2 - 3x = -1$代入上式：$-2×(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入思想简化计算，是代数运算中常用的解题方法，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
本题可采用整体代入法求解，先根据已知方程求出$x^2 - 3x$的值，再将所求代数式变形为含有$x^2 - 3x$的形式，最后代入计算，避免直接求解$x$的复杂运算。
【解析】
由$x^2 - 3x + 1 = 0$，移项可得：$x^2 - 3x = -1$。
对待求式$-2x^2 + 6x + 1$变形，提取公因式$-2$得：$-2(x^2 - 3x) + 1$。
将$x^2 - 3x = -1$代入上式：$-2×(-1) + 1 = 2 + 1 = 3$。
【答案】
3
【知识点】
代数式求值、整体代入法
【点评】
本题考查代数式的求值，核心是运用整体代入思想简化计算，是代数运算中常用的解题方法，能有效降低计算难度。
【难度系数】
0.7
16. 有两个正方形A,B,现将B放在A的内部如图甲,将A,B对角放置后构造新的正方形如图乙,若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30,则正方形A,B的面积之和为________.
答案
16.34 【解析】设正方形 A 的边长为 $a$,正方形 B 的边长为 $b$,则
$\begin{cases}(a-b)^2=4,①\\(a+b)^2-a^2-b^2=30.②\end{cases}$
由②得 $ab=15.③$
将③代入①,得 $a^2+b^2-2ab=4,$
$\therefore a^2+b^2=34.$
故填:34.
$\begin{cases}(a-b)^2=4,①\\(a+b)^2-a^2-b^2=30.②\end{cases}$
由②得 $ab=15.③$
将③代入①,得 $a^2+b^2-2ab=4,$
$\therefore a^2+b^2=34.$
故填:34.
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$，分别结合图甲、图乙中阴影部分的面积，列出关于$a$、$b$的方程，再利用完全平方公式的变形，求出正方形A、B的面积之和（即$a^2 + b^2$）。
【解析】设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$。
1. 分析图甲：图甲中阴影部分是边长为$(a - b)$的小正方形，其面积为$(a - b)^2$，已知图甲阴影面积为4，因此得方程：$(a - b)^2 = 4$ ①。
2. 分析图乙：图乙是边长为$(a + b)$的大正方形，其面积为$(a + b)^2$；阴影部分面积 = 大正方形面积 - 正方形A的面积 - 正方形B的面积，即$(a + b)^2 - a^2 - b^2$，已知图乙阴影面积为30，因此得方程：$(a + b)^2 - a^2 - b^2 = 30$ ②。
3. 化简方程②：展开$(a + b)^2$得$a^2 + 2ab + b^2$，代入②式化简得：$2ab = 30$，即$ab = 15$ ③。
4. 求面积和：将③代入①，展开$(a - b)^2$得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，把$ab = 15$代入得：$a^2 + b^2 - 2×15 = 4$，解得$a^2 + b^2 = 34$，即正方形A、B的面积之和为34。
【答案】34
【知识点】完全平方公式、正方形面积计算
【点评】本题核心是利用完全平方公式的变形，结合两个图形的阴影面积建立方程，需要学生熟练掌握公式的展开与化简，属于中等难度的代数几何结合题。
【难度系数】0.5
【解析】设正方形A的边长为$a$，正方形B的边长为$b$。
1. 分析图甲：图甲中阴影部分是边长为$(a - b)$的小正方形，其面积为$(a - b)^2$，已知图甲阴影面积为4，因此得方程：$(a - b)^2 = 4$ ①。
2. 分析图乙：图乙是边长为$(a + b)$的大正方形，其面积为$(a + b)^2$；阴影部分面积 = 大正方形面积 - 正方形A的面积 - 正方形B的面积，即$(a + b)^2 - a^2 - b^2$，已知图乙阴影面积为30，因此得方程：$(a + b)^2 - a^2 - b^2 = 30$ ②。
3. 化简方程②：展开$(a + b)^2$得$a^2 + 2ab + b^2$，代入②式化简得：$2ab = 30$，即$ab = 15$ ③。
4. 求面积和：将③代入①，展开$(a - b)^2$得$a^2 - 2ab + b^2 = 4$，把$ab = 15$代入得：$a^2 + b^2 - 2×15 = 4$，解得$a^2 + b^2 = 34$，即正方形A、B的面积之和为34。
【答案】34
【知识点】完全平方公式、正方形面积计算
【点评】本题核心是利用完全平方公式的变形，结合两个图形的阴影面积建立方程，需要学生熟练掌握公式的展开与化简，属于中等难度的代数几何结合题。
【难度系数】0.5
三、解答题(本题有8小题,第17~22题每题6分,第23,24题每题8分,共52分)
17. 计算:
(1)$(-2025)^{0}+6×2^{-1}.$
(2)$(a-b)· (a+b)+(a-b)^{2}.$
17. 计算:
(1)$(-2025)^{0}+6×2^{-1}.$
(2)$(a-b)· (a+b)+(a-b)^{2}.$
答案
17.(1)解:$(-2025)^0+6×2^{-1}$
$=1+6×\frac{1}{2}$(2分)
$=1+3$
$=4.$(3分)
(2)解:$(a-b) · (a+b)+(a-b)^2$
$=a^2-b^2+a^2-2ab+b^2$(2分)
$=2a^2-2ab.$(3分)
$=1+6×\frac{1}{2}$(2分)
$=1+3$
$=4.$(3分)
(2)解:$(a-b) · (a+b)+(a-b)^2$
$=a^2-b^2+a^2-2ab+b^2$(2分)
$=2a^2-2ab.$(3分)
解析
【分析】
第(1)题：需掌握零指数幂和负整数指数幂的运算规则：任何非零数的0次幂为1，即$a^0=1(a≠0)$；负整数指数幂等于正指数幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，据此分别计算两项后求和。
第(2)题：需运用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开式子，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 解：$(-2025)^0 + 6×2^{-1}$
$=1 + 6×\frac{1}{2}$
$=1 + 3$
$=4$
(2) 解：$(a-b)·(a+b)+(a-b)^2$
$=a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$=2a^2 - 2ab$
【答案】(1)$4$；(2)$2a^2 - 2ab$
【知识点】零指数幂与负整数指数幂、整式的乘法公式
【点评】本题为初中数学基础运算题，考察核心公式的应用，步骤清晰，只要掌握基本运算规则即可完成，属于易得分题型。
【难度系数】0.8
第(1)题：需掌握零指数幂和负整数指数幂的运算规则：任何非零数的0次幂为1，即$a^0=1(a≠0)$；负整数指数幂等于正指数幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，据此分别计算两项后求和。
第(2)题：需运用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$和完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$展开式子，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 解：$(-2025)^0 + 6×2^{-1}$
$=1 + 6×\frac{1}{2}$
$=1 + 3$
$=4$
(2) 解：$(a-b)·(a+b)+(a-b)^2$
$=a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2$
$=2a^2 - 2ab$
【答案】(1)$4$；(2)$2a^2 - 2ab$
【知识点】零指数幂与负整数指数幂、整式的乘法公式
【点评】本题为初中数学基础运算题，考察核心公式的应用，步骤清晰，只要掌握基本运算规则即可完成，属于易得分题型。
【难度系数】0.8
18. 解方程(组)：
(1)$\begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - y = 0. \end{cases}$
(2)$\dfrac{3 - x}{x - 4} + \dfrac{1}{4 - x} = 1.$
(1)$\begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - y = 0. \end{cases}$
(2)$\dfrac{3 - x}{x - 4} + \dfrac{1}{4 - x} = 1.$
答案
18.(1)解:$\begin{cases}x+y=3,①\\2x-y=0.②\end{cases}$
由①+②,得 $3x=3,$
解得 $x=1.$(1分)
将 $x=1$ 代入①,得 $y=2.$(2分)
$\therefore$ 原方程组的解为 $\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$(3分)
(2)解:$\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1,$
去分母,得 $3-x-1=x-4,$(1分)
解得 $x=3.$(2分)
经检验:$x=3$ 是原方程的解.
$\therefore$ 原方程的解是 $x=3.$(3分)
由①+②,得 $3x=3,$
解得 $x=1.$(1分)
将 $x=1$ 代入①,得 $y=2.$(2分)
$\therefore$ 原方程组的解为 $\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$(3分)
(2)解:$\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1,$
去分母,得 $3-x-1=x-4,$(1分)
解得 $x=3.$(2分)
经检验:$x=3$ 是原方程的解.
$\therefore$ 原方程的解是 $x=3.$(3分)
解析
【分析】
1. 解二元一次方程组时，观察到两个方程中y的系数互为相反数，采用加减消元法，将两方程相加消去y，先求出x的值，再代入原方程求y的值；
2. 解分式方程时，先将分母统一为相同形式（注意4-x=-(x-4)），找到最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式方程的分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases}x+y=3,①\\2x-y=0.②\end{cases}$
将①+②，得：$3x=3$，
解得：$x=1$，
把$x=1$代入①，得：$1+y=3$，
解得：$y=2$，
∴原方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$。
(2) 解分式方程：
$\dfrac{3-x}{x-4}+\dfrac{1}{4-x}=1$，
原方程变形为：$\dfrac{3-x}{x-4}-\dfrac{1}{x-4}=1$，
去分母（两边同乘$x-4$），得：$3-x-1=x-4$，
整理得：$2-x=x-4$，
移项得：$-2x=-6$，
解得：$x=3$，
检验：当$x=3$时，$x-4=-1≠0$，
∴$x=3$是原方程的解，即原方程的解为$x=3$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$；(2) $x=3$。
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组的加减消元法和解分式方程的步骤，需注意分式方程求解后必须检验，避免增根错误，整体难度不大，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
1. 解二元一次方程组时，观察到两个方程中y的系数互为相反数，采用加减消元法，将两方程相加消去y，先求出x的值，再代入原方程求y的值；
2. 解分式方程时，先将分母统一为相同形式（注意4-x=-(x-4)），找到最简公分母，去分母转化为整式方程求解，最后必须检验解是否使原分式方程的分母不为0，避免增根。
【解析】
(1) 解方程组：
$\begin{cases}x+y=3,①\\2x-y=0.②\end{cases}$
将①+②，得：$3x=3$，
解得：$x=1$，
把$x=1$代入①，得：$1+y=3$，
解得：$y=2$，
∴原方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$。
(2) 解分式方程：
$\dfrac{3-x}{x-4}+\dfrac{1}{4-x}=1$，
原方程变形为：$\dfrac{3-x}{x-4}-\dfrac{1}{x-4}=1$，
去分母（两边同乘$x-4$），得：$3-x-1=x-4$，
整理得：$2-x=x-4$，
移项得：$-2x=-6$，
解得：$x=3$，
检验：当$x=3$时，$x-4=-1≠0$，
∴$x=3$是原方程的解，即原方程的解为$x=3$。
【答案】
(1) $\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$；(2) $x=3$。
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考查二元一次方程组的加减消元法和解分式方程的步骤，需注意分式方程求解后必须检验，避免增根错误，整体难度不大，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
19. 先化简,再求值:$\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 1} ÷ (x + 1 - \dfrac{2x - 1}{x - 1})$,其中$x = 5$.
答案
19.解:原式$=\frac{x^2-2x}{x^2-1}÷(\frac{x+1}{1}-\frac{2x-1}{x-1})$
$=\frac{x^2-2x}{x^2-1}÷(\frac{x^2-1}{x-1}-\frac{2x-1}{x-1})$(1分)
$=\frac{x^2-2x}{x^2-1}÷\frac{x^2-2x}{x-1}$(2分)
$=\frac{x^2-2x}{(x+1)(x-1)}×\frac{(x-1)}{x^2-2x}$(3分)
$=\frac{1}{x+1}$(4分).
当 $x=5$ 时,$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$(6分).
$=\frac{x^2-2x}{x^2-1}÷(\frac{x^2-1}{x-1}-\frac{2x-1}{x-1})$(1分)
$=\frac{x^2-2x}{x^2-1}÷\frac{x^2-2x}{x-1}$(2分)
$=\frac{x^2-2x}{(x+1)(x-1)}×\frac{(x-1)}{x^2-2x}$(3分)
$=\frac{1}{x+1}$(4分).
当 $x=5$ 时,$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$(6分).
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路是遵循分式混合运算的顺序：先算括号内的异分母分式减法，需先通分再计算；再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简式；最后代入给定的x值计算结果。
【解析】
原式$=\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 1} ÷ ( \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} - \frac{2x -1}{x-1} )$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{(x^2 -1) - (2x -1)}{x-1}$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x^2 - 2x}{x-1}$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x+1)(x-1)} × \frac{x-1}{x^2 - 2x}$
$=\frac{1}{x+1}$
当$x=5$时，$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的混合运算，分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的混合运算及化简求值，核心是掌握分式运算的基本法则：异分母分式相加减需先通分，分式除法需转化为乘法，约分是化简的关键步骤，计算时要注意因式分解的正确性，代入求值时需准确计算。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题思路是遵循分式混合运算的顺序：先算括号内的异分母分式减法，需先通分再计算；再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简式；最后代入给定的x值计算结果。
【解析】
原式$=\frac{x^2 - 2x}{x^2 - 1} ÷ ( \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} - \frac{2x -1}{x-1} )$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{(x^2 -1) - (2x -1)}{x-1}$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x^2 - 2x}{x-1}$
$=\frac{x^2 - 2x}{(x+1)(x-1)} × \frac{x-1}{x^2 - 2x}$
$=\frac{1}{x+1}$
当$x=5$时，$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
分式的混合运算，分式的化简求值
【点评】
本题考查分式的混合运算及化简求值，核心是掌握分式运算的基本法则：异分母分式相加减需先通分，分式除法需转化为乘法，约分是化简的关键步骤，计算时要注意因式分解的正确性，代入求值时需准确计算。
【难度系数】
0.8
