8. 某校组织七年级学生到距离学校 30 千米的实践基地研学.一部分学生乘慢车前往,需要的时间比预计时间多了 15 分钟,剩余学生乘快车前往,需要的时间比预计时间少了 6 分钟,已知快车的速度是慢车的 2 倍,设预计时间为 $ x $ 分钟,则可列方程 （）

A.$\frac{30}{x+6}=\frac{30}{x-15} × \frac{1}{2}$
B.$\frac{30}{x-6}=\frac{30}{x+15} × \frac{1}{2}$
C.$\frac{30}{x+6}=\frac{30}{x-15} × 2$
D.$\frac{30}{x-6}=\frac{30}{x+15} × 2$

8.D

【分析】首先利用行程问题中“速度=路程÷时间”的公式，结合题目给出的预计时间$ x $分钟，分别确定慢车和快车的行驶时间，再根据“快车速度是慢车的2倍”这一核心条件，建立两者速度的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】解：设预计时间为$ x $分钟。
1. 慢车的行驶时间：比预计时间多15分钟，即$ (x + 15) $分钟，因此慢车速度为$\frac{30}{x + 15}$千米/分钟；
2. 快车的行驶时间：比预计时间少6分钟，即$ (x - 6) $分钟，因此快车速度为$\frac{30}{x - 6}$千米/分钟；
根据“快车速度是慢车的2倍”，可得等式：$\frac{30}{x - 6} = 2 × \frac{30}{x + 15}$，与选项D一致。
【答案】D
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题是行程类分式方程的基础应用题，核心是理清时间与速度的对应关系，需准确区分慢车和快车的时间加减，避免混淆两者的速度关系。
【难度系数】0.5

9. 我们知道,同底数幂的乘法法则为$a^m · a^n = a^{m+n}$(其中$a≠0,m,n$为正整数).类似地,我们规定关于任意正整数$m,n$的一种新运算:$f(m+n)=f(m) · f(n)$.若$f(5)=k(k≠0)$,那么$f(2025)$的结果是 （）

A.$2025k$
B.$k^{2025}$
C.$405k$
D.$k^{405}$

9.D 【解析】$\because f_{(m+n)}=f_{(m)} · f_{(n)},f_{(5)}=k,(k≠0),$
$\therefore f_{(10)}=f_{(5×2)}=f_{(5+5)}=f_{(5)} · f_{(5)}=k^{2},$
$f_{(15)}=f_{(5×3)}=f_{(10+5)}=f_{(10)} · f_{(5)}=f_{(5)} · f_{(5)} · f_{(5)}=k^{3},$
$f_{(20)}=f_{(5×4)}=f_{(15+5)}=f_{(15)} · f_{(5)}=f_{(5)} · f_{(5)} · f_{(5)} · f_{(5)}=k^{4},$
$\therefore f_{(2025)}=f_{(5×405)}=f_{(5)} · f_{(5)} ······ f_{(5)}=k^{405}.$
故选:D.

【分析】首先，题目给出新运算规则：对任意正整数m、n，满足f(m+n)=f(m)·f(n)，已知f(5)=k，要求f(2025)。解题思路是先根据新运算规则推导规律：若数为5的t倍（即5×t），则该数可转化为t个5相加，结合新运算可得f(5×t)=f(5)的t次方；再将2025转化为5×405，代入规律即可求出结果。
【解析】根据新运算定义f(m+n)=f(m)·f(n)，对于正整数t，有：
f(5×t) = f(5+5+…+5)（共t个5相加）
= f(5)·f(5)·…·f(5)（共t个f(5)相乘）
= [f(5)]^t
已知f(5)=k，因此f(5×t)=k^t。
因为2025=5×405，所以$f(2025)=f(5×405)=k^405$。
故选D。
【答案】D
【知识点】新定义运算、幂的运算
【点评】本题考查新定义运算的应用，核心是理解新运算规则，将所求数转化为已知数的和的形式，进而推导幂的形式，难度适中，需具备基础的规律推导能力。
【难度系数】0.6

10. 如图，$AB// CD$，$BF$ 平分 $∠ ABE$，且 $BF⊥ DE$，垂足为 $F$，则 $∠ ABE$ 与 $∠ EDC$ 的数量关系是 （$\boldsymbol{}$）

A.$∠ EDC-\dfrac{1}{2}∠ ABE=90°$
B.$∠ ABE+∠ EDC=180°$
C.$∠ ABE=\dfrac{1}{4}∠ EDC$
D.$∠ ABE+\dfrac{1}{2}∠ EDC=90°$

10.A 【解析】过 F 点作 $FG// AB$，
$\because AB// CD,$
$\therefore FG// CD,$
$\therefore ∠ BFG=∠ ABF,∠ DFG+∠ EDC=180°.$
$\because BF⊥ DE,$
$\therefore ∠ BFD=90°.$
$\because BF$ 平分 $∠ ABE,$
$\therefore ∠ ABE=2∠ ABF,$
$\therefore ∠ BFG+∠ DFG+∠ CDF=∠ ABF+180°,$
$\therefore 90°+∠ EDC=\frac{1}{2}∠ ABE+180°,$
即$∠ EDC-\frac{1}{2}∠ ABE=90°.$
故选:A.

【分析】本题是平行线与角度关系的推导题，核心思路是通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质转化角度，结合角平分线、垂直的条件建立∠ABE与∠EDC的联系。首先过F作平行于AB的辅助线，利用平行线的内错角、同旁内角性质，将分散的角度集中，再结合已知的角平分线和垂直条件整理关系，即可得到答案。
【解析】过点F作$FG// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FG// CD$（平行于同一条直线的两条直线平行），
$\therefore ∠ BFG=∠ ABF$（两直线平行，内错角相等），
$∠ DFG+∠ EDC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠ BFG+∠ DFG+∠ EDC=∠ ABF+180°$，即$∠ BFD+∠ EDC=∠ ABF+180°$，
$\because BF⊥ DE$，$\therefore ∠ BFD=90°$，
又$\because BF$平分$∠ ABE$，$\therefore ∠ ABE=2∠ ABF$，即$∠ ABF=\frac{1}{2}∠ ABE$，
代入得：$90°+∠ EDC=\frac{1}{2}∠ ABE+180°$，
整理得：$∠ EDC-\frac{1}{2}∠ ABE=90°$，
故选：A。
【答案】A
【知识点】平行线的性质、角平分线的定义
【点评】本题通过作辅助线构造平行关系，将分散的角度转化为可计算的关系，是平行线角度问题的典型题型，辅助线的构造是解题的关键，需要学生熟练掌握平行线的性质。
【难度系数】0.5

11. 因式分解 $ a^3 - a = \_\_\_\_\_\_ $.

11.$a(a+1)(a-1)$

【分析】因式分解需遵循“一提二套”的基本思路，先提取公因式，再套用公式分解。对于式子$a^3 - a$，首先观察到两项存在公因式$a$，第一步先提取公因式；提取后剩余的$a^2 -1$符合平方差公式的形式，再套用公式继续分解即可得到结果。
【解析】解：$a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a + 1)(a - 1)$
【答案】$a(a+1)(a-1)$
【知识点】因式分解（提公因式法）、因式分解（公式法）
【点评】本题是因式分解的基础题型，考查提公因式法和平方差公式的应用，步骤清晰，属于学生必须掌握的基础知识点。
【难度系数】0.8

12. 当$x=\underline{\hspace{3em}}$时，分式$\dfrac{x-1}{x-3}$的值为0.

12.1

【分析】要使分式的值为0，需同时满足两个条件：分子等于0，且分母不等于0，二者缺一不可，解题时不能只考虑分子为0而忽略分母不为0的限制。
【解析】根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0。
1. 令分子$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 验证分母：当$x = 1$时，分母$x - 3 = 1 - 3 = -2 ≠ 0$，满足分母不为0的要求；
因此当$x = 1$时，分式$\dfrac{x - 1}{x - 3}$的值为0。
【答案】1
【知识点】分式值为0的条件
【点评】本题考查分式值为0的基础考点，解题关键是牢记“分子为0且分母不为0”，避免因忽略分母的限制而出错。
【难度系数】0.6

13. 将60个数据分成6组,第一组到第四组的频数分别是9,10,8,11,第五组的频率是0.2,则第六组的频数是.

13.10

【分析】首先明确统计中总频数等于各小组频数之和，且频率的计算公式为：频率=频数÷数据总数。解题时先根据第五组的频率和总数据数算出第五组的频数，再用总数据数减去前五个组的频数，即可得到第六组的频数。
【解析】解：根据频率公式，第五组的频数 = 总数据数 × 第五组频率 = 60×0.2 = 12；
前四组的频数之和为：9+10+8+11 = 38；
则第六组的频数 = 总数据数 - 前五个组的频数之和 = 60 - (38+12) = 10。
【答案】10
【知识点】频数与频率、频数计算
【点评】本题考查频数与频率的基本关系，属于基础统计题，只要掌握总频数的性质和频率公式即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.6

14. 如图,将一张长方形纸条折叠,若$∠ABC=40°$,则$∠ACD$的度数为__________.

14.$100°$