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5. (2024·金华市浦江县期末)如图,在边长为a的大正方形中剪掉边长为b的小正方形,剩余部分剪拼成一个长为20,宽为10的长方形,则$a^2 - b^2=\_\_\_\_\_\_$。
答案
5.200
解析
【分析】本题需明确$a^2 - b^2$的几何意义：它是边长为$a$的大正方形与边长为$b$的小正方形的面积差，也就是剪拼后长方形的面积。因此只需计算长为20、宽为10的长方形面积，即可得到$a^2 - b^2$的值。
【解析】根据题意，$a^2 - b^2$表示大正方形减去小正方形后的剩余面积，剩余部分剪拼成的长方形面积为长×宽，即$20×10 = 200$，所以$a^2 - b^2 = 200$。
【答案】200
【知识点】平方差公式、长方形面积计算
【点评】本题结合图形剪拼考查代数与几何的结合，利用面积等量关系解题，思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】根据题意，$a^2 - b^2$表示大正方形减去小正方形后的剩余面积，剩余部分剪拼成的长方形面积为长×宽，即$20×10 = 200$，所以$a^2 - b^2 = 200$。
【答案】200
【知识点】平方差公式、长方形面积计算
【点评】本题结合图形剪拼考查代数与几何的结合，利用面积等量关系解题，思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】0.5
6.如图,大长方形是由一个长方形①,两个完全相同的长方形②及三个正方形A,B,C无缝拼接组成的,若长方形①,②的周长之比为$12:7$,则正方形A,B的面积之比为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
6.4 : 9
7. (2025·金华市金东区期末)某小区有一块长为$(x+2y)$米、宽为$(2x+y)$米的长方形空地,现要美化这块空地,在上面修建如图所示的“T”型花圃(阴影部分),在花圃内种花草。
(1)用含$x,y$的式子表示“T”型花圃的面积并化简。
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”型花圃的面积。
(1)用含$x,y$的式子表示“T”型花圃的面积并化简。
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”型花圃的面积。
答案
7.(1)解:由题图,得“T”型花圃的面积为$(2x + y)(x + 2y) - 2y^2=2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 - 2y^2=(2x^2 + 5xy)$平方米。
(2)解:当$x=3,y=8$时,$2x^2 + 5xy=2×3^2 + 5×3×8=138$(平方米)。答:“T”型花圃的面积为138平方米。
(2)解:当$x=3,y=8$时,$2x^2 + 5xy=2×3^2 + 5×3×8=138$(平方米)。答:“T”型花圃的面积为138平方米。
解析
【分析】
要计算“T”型花圃的面积，可采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分（T型花圃）的面积。需先利用多项式乘多项式法则计算大长方形面积，结合正方形面积公式计算空白部分总面积，最后化简代数式，再代入数值计算具体面积。
【解析】
(1) 计算大长方形空地的面积：
大长方形的长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，根据长方形面积公式，面积为：
$(x+2y)(2x+y)=2x^2 + xy + 4xy + 2y^2=2x^2 +5xy +2y^2$（平方米）
空白部分是2个边长为$y$的正方形，总面积为：$2× y^2=2y^2$（平方米）
因此，“T”型花圃的面积为：
$(2x^2 +5xy +2y^2) -2y^2=2x^2 +5xy$（平方米）
(2) 当$x=3$，$y=8$时，代入化简后的代数式计算：
$2x^2 +5xy=2×3^2 +5×3×8=18 +120=138$（平方米）
【答案】
(1) “T”型花圃的面积为$(2x^2 +5xy)$平方米；(2) 当$x=3,y=8$时，“T”型花圃的面积为138平方米。
【知识点】
整式的乘法、代数式求值、几何面积计算
【点评】
本题考查整式运算在几何面积中的应用，核心是通过“整体减空白”简化不规则图形面积计算，需掌握多项式乘多项式法则及代数式求值方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算“T”型花圃的面积，可采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分（T型花圃）的面积。需先利用多项式乘多项式法则计算大长方形面积，结合正方形面积公式计算空白部分总面积，最后化简代数式，再代入数值计算具体面积。
【解析】
(1) 计算大长方形空地的面积：
大长方形的长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，根据长方形面积公式，面积为：
$(x+2y)(2x+y)=2x^2 + xy + 4xy + 2y^2=2x^2 +5xy +2y^2$（平方米）
空白部分是2个边长为$y$的正方形，总面积为：$2× y^2=2y^2$（平方米）
因此，“T”型花圃的面积为：
$(2x^2 +5xy +2y^2) -2y^2=2x^2 +5xy$（平方米）
(2) 当$x=3$，$y=8$时，代入化简后的代数式计算：
$2x^2 +5xy=2×3^2 +5×3×8=18 +120=138$（平方米）
【答案】
(1) “T”型花圃的面积为$(2x^2 +5xy)$平方米；(2) 当$x=3,y=8$时，“T”型花圃的面积为138平方米。
【知识点】
整式的乘法、代数式求值、几何面积计算
【点评】
本题考查整式运算在几何面积中的应用，核心是通过“整体减空白”简化不规则图形面积计算，需掌握多项式乘多项式法则及代数式求值方法，难度适中。
【难度系数】
0.6
8. (2025·绍兴市新昌县期末)如图,用图1所示的4个完全相同的长方形和1个小正方形无缝衔接拼成图2所示的一个大正方形,其中长方形的长为a,宽为b,且a＞b。
(1)若$a=6,b=2$,求小正方形的边长。
(2)用两种不同的方法表示图2中的阴影面积,并写出一个等式。
(3)若$a+b=8,ab=9$,利用(2)中的等式求小正方形的面积。
(1)若$a=6,b=2$,求小正方形的边长。
(2)用两种不同的方法表示图2中的阴影面积,并写出一个等式。
(3)若$a+b=8,ab=9$,利用(2)中的等式求小正方形的面积。
答案
8.(1)解:小正方形的边长为$a - b=6 - 2=4$。答:小正方形的边长为4。
(2)解:方法1:图2中的阴影面积为$4ab$;方法2:图2中的阴影面积为$(a + b)^2 - (a - b)^2$,所以$(a + b)^2 - (a - b)^2=4ab$。
(3)解:当$a + b=8,ab=9$时,由(2)可知,$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab=8^2 - 4×9=28$。答:小正方形的面积为28。
(2)解:方法1:图2中的阴影面积为$4ab$;方法2:图2中的阴影面积为$(a + b)^2 - (a - b)^2$,所以$(a + b)^2 - (a - b)^2=4ab$。
(3)解:当$a + b=8,ab=9$时,由(2)可知,$(a - b)^2=(a + b)^2 - 4ab=8^2 - 4×9=28$。答:小正方形的面积为28。
解析
【分析】
本题利用数形结合思想，通过图形边长与面积的关系解决代数问题。观察图2可知，大正方形边长为长方形长与宽的和（$a+b$），中间空白小正方形边长为长方形长与宽的差（$a-b$）。（1）直接利用小正方形边长与$a、b$的关系计算；（2）从“阴影面积=4个长方形面积和”“阴影面积=大正方形面积-空白小正方形面积”两种角度表示，推导等式；（3）利用（2）的等式变形，代入已知值计算小正方形面积。
【解析】
（1）由图形关系，小正方形边长为长方形长与宽的差，即$a-b$。当$a=6,b=2$时，小正方形边长为$6-2=4$。
（2）方法1：阴影由4个长方形组成，面积为$4ab$；方法2：阴影面积为大正方形面积减去空白小正方形面积，即$(a+b)^2-(a-b)^2$。因此等式为$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
（3）小正方形面积为$(a-b)^2$，由（2）的等式变形得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$。代入$a+b=8,ab=9$，得$(a-b)^2=8^2-4×9=64-36=28$，即小正方形面积为28。
【答案】
(1) 小正方形的边长为4；
(2) $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$；
(3) 小正方形的面积为28。
【知识点】
完全平方公式、整式运算、数形结合
【点评】
本题通过几何图形面积推导代数公式，考查完全平方公式的应用，体现数形结合思想，解题关键是明确图形边长的代数关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题利用数形结合思想，通过图形边长与面积的关系解决代数问题。观察图2可知，大正方形边长为长方形长与宽的和（$a+b$），中间空白小正方形边长为长方形长与宽的差（$a-b$）。（1）直接利用小正方形边长与$a、b$的关系计算；（2）从“阴影面积=4个长方形面积和”“阴影面积=大正方形面积-空白小正方形面积”两种角度表示，推导等式；（3）利用（2）的等式变形，代入已知值计算小正方形面积。
【解析】
（1）由图形关系，小正方形边长为长方形长与宽的差，即$a-b$。当$a=6,b=2$时，小正方形边长为$6-2=4$。
（2）方法1：阴影由4个长方形组成，面积为$4ab$；方法2：阴影面积为大正方形面积减去空白小正方形面积，即$(a+b)^2-(a-b)^2$。因此等式为$(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$。
（3）小正方形面积为$(a-b)^2$，由（2）的等式变形得$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$。代入$a+b=8,ab=9$，得$(a-b)^2=8^2-4×9=64-36=28$，即小正方形面积为28。
【答案】
(1) 小正方形的边长为4；
(2) $(a+b)^2-(a-b)^2=4ab$；
(3) 小正方形的面积为28。
【知识点】
完全平方公式、整式运算、数形结合
【点评】
本题通过几何图形面积推导代数公式，考查完全平方公式的应用，体现数形结合思想，解题关键是明确图形边长的代数关系，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
