1. (2024·绍兴市嵊州市期末)一大一小两个正方形按如图方式放置,边长分别为$a,b$。若$a+b=5,ab=3$,则图中阴影部分的面积为()

A.6
B.7
C.8
D.9

1.C

【分析】
要计算阴影部分的面积，需先推导其面积表达式。观察图形可知，阴影部分面积可通过大正方形面积结合空白部分面积推导，利用完全平方公式将代数式变形，再代入已知的$a+b$和$ab$的值计算。
【解析】
1. 推导阴影面积表达式：
观察图形，阴影部分面积可化简为$S = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - ab)$。
2. 利用完全平方公式变形：
根据完全平方公式，$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$，代入阴影面积表达式得：
$S = \frac{1}{2}[(a + b)^2 - 2ab - ab] = \frac{1}{2}[(a + b)^2 - 3ab]$。
3. 代入数值计算：
已知$a + b = 5$，$ab = 3$，代入得：
$S = \frac{1}{2}(5^2 - 3×3) = \frac{1}{2}(25 - 9) = \frac{1}{2}×16 = 8$。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、代数式求值、正方形面积
【点评】
本题结合几何图形考查代数式的变形与求值，核心是推导阴影部分面积的表达式，再利用完全平方公式简化计算，需掌握代数变形的技巧。
【难度系数】
0.5

2. (2024·绍兴市新昌县期末)如图,在线段$AB$上取点$C$,分别以$AC$,$BC$为边在$AB$的同侧作两个正方形,若$AB=8$,$AC=m$,则图中阴影部分的面积为 ()

A.$32$
B.$m^2 + 32$
C.$m^2 - 8m + 32$
D.$m^2 + 16m - 32$

2.C

【分析】要计算阴影部分的面积，首先根据AB=8和AC=m，得出BC=8−m；再观察图形，阴影部分由两个三角形组成，分别对应两个正方形的一半，因此可通过计算两个正方形面积和的一半来推导结果。
【解析】已知AB=8，AC=m，所以BC=AB−AC=8−m。
两个正方形的面积分别为：边长为AC的正方形面积是$m^2$，边长为BC的正方形面积是$(8−m)^2$。
观察图形可知，阴影部分面积等于两个正方形面积和的一半，因此：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}[m^2 + (8−m)^2]$
展开并化简：
$(8−m)^2=64−16m+m^2$，代入得：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}(m^2 +64−16m +m^2)=\frac{1}{2}(2m^2−16m +64)=m^2−8m +32$
【答案】C
【知识点】正方形面积、整式运算、组合图形面积
【点评】本题通过观察图形特征，将阴影面积转化为两个正方形面积和的一半，结合整式的化简运算求解，重点考查对组合图形面积的转化能力，属于基础题型。
【难度系数】0.5

3.学校要举行校庆活动,现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台。已知广场中心有一座边长为$ b $的正方形花坛。学生会提出两个方案:
方案一:如图1,围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台(阴影部分),舞台的面积记为$ S_1 $。
方案二:如图2,在花坛的三面搭建“凹”字形舞台(阴影部分),舞台的面积记为$ S_2 $。
具体数据如图所示,则下列说法一定正确的是 （）

A.$ S_1=(a - b)^2 $
B.$ S_2=a^2 - b^2 $
C.$ \frac{S_1}{S_2}=\frac{a + b}{a - b} $
D.$ S_1 - S_2=b^2 $

3.D

【分析】
要解决本题，需先根据图形面积公式分别计算两个方案的舞台面积$ S_1 $和$ S_2 $，再逐一分析选项判断正确性。核心思路是利用“阴影部分面积=整体图形面积-空白部分面积”，结合正方形、长方形的面积公式推导表达式，再对比选项得出结论。
【解析】
1. 计算$ S_1 $：
图1中，外围是边长为$ a $的正方形，面积为$ a^2 $；中间空白是边长为$ b $的正方形花坛，面积为$ b^2 $。因此舞台面积：
$ S_1 = a^2 - b^2 $。
2. 计算$ S_2 $：
图2中，整体图形的长为$ \frac{a}{2} + b + \frac{a}{2} = a + b $，宽为$ a - b $，则整体图形面积为$ (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 $；中间空白是边长为$ b $的正方形花坛，面积为$ b^2 $。因此舞台面积：
$ S_2 = (a^2 - b^2) - b^2 = a^2 - 2b^2 $。
3. 分析选项：
选项A：$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $，与$ S_1 = a^2 - b^2 $不相等，错误；
选项B：$ S_2 = a^2 - 2b^2 ≠ a^2 - b^2 $，错误；
选项C：$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 2b^2} $，而$ \frac{a + b}{a - b} = \frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} $，两者不相等，错误；
选项D：$ S_1 - S_2 = (a^2 - b^2) - (a^2 - 2b^2) = b^2 $，正确。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、面积计算、代数式运算
【点评】
本题结合几何图形考查整式的运算，关键是正确推导两个舞台的面积表达式，再通过代数运算对比选项，属于基础几何代数结合题，难度适中。
【难度系数】
0.5

4. (2025·湖州市德清县期末)如图,已知正方形ABCD与正方形EFGH的重叠部分是长方形BMHN,面积记为$S_1$,四边形BKGM与四边形ELBN都为正方形,面积分别记为$S_2$和$S_3$,已知$CM - AN = 2$,则下列代数式的值为定值的是 ()

A.$S_3 - S_1$
B.$S_2 + S_3 - 2S_1$
C.$\frac{S_3 - S_1}{S_2}$
D.$\frac{S_1 + S_2}{S_3}$

4.B 【解析】设正方形BKGM的边长为a,正方形ELBN的边长为b,则$S_1=ab,S_2=a^2,S_3=b^2$。由题意,得$AB=BC$,所以$CM=BC-a,AN=AB-b$。 因为$CM-AN=2$,所以$BC-a-(AB-b)=b-a=2$,故$S_3 - S_1 = b^2 - ab = b(b-a)=2b$,不是定值;$S_2 + S_3 - 2S_1 = a^2 + b^2 - 2ab = (b-a)^2=2^2=4$,是定值;$\frac{S_3 - S_1}{S_2}=\frac{b^2 - ab}{a^2}=\frac{b(b-a)}{a^2}=\frac{2b}{a^2}$,不是定值;$\frac{S_1 + S_2}{S_3}=\frac{ab + a^2}{b^2}=\frac{a(a + b)}{b^2}$,不是定值。

【分析】要解决该问题，可通过设参数表示各部分边长，利用正方形边长相等的性质推导已知条件，再将各选项用参数表示后判断是否为定值。首先设正方形$BKGM$的边长为$a$，正方形$ELBN$的边长为$b$，结合正方形$ABCD$的边长相等，得出$CM - AN = b - a = 2$，再逐一分析选项表达式是否为定值。
【解析】设正方形$BKGM$的边长为$a$，正方形$ELBN$的边长为$b$，则：
$S_1 = ab$，$S_2 = a^2$，$S_3 = b^2$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = BC$，因此：
$CM = BC - a$，$AN = AB - b$。
已知$CM - AN = 2$，代入得：
$(BC - a) - (AB - b) = b - a = 2$。
对各选项逐一分析：
选项A：$S_3 - S_1 = b^2 - ab = b(b - a) = 2b$，随$b$变化，不是定值；
选项B：$S_2 + S_3 - 2S_1 = a^2 + b^2 - 2ab = (b - a)^2 = 2^2 = 4$，是定值；
选项C：$\frac{S_3 - S_1}{S_2} = \frac{b^2 - ab}{a^2} = \frac{2b}{a^2}$，随$a,b$变化，不是定值；
选项D：$\frac{S_1 + S_2}{S_3} = \frac{ab + a^2}{b^2} = \frac{a(a + b)}{b^2}$，随$a,b$变化，不是定值。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】正方形面积、代数式求值、定值问题
【点评】本题结合正方形性质，通过参数法将几何关系转化为代数表达式，关键是利用正方形边长相等推导出$b - a = 2$，再代入选项化简判断定值，属于代数与几何结合的基础题型，需掌握参数法的应用。
【难度系数】0.4