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9.(2024·杭州市临平区期末)知识拓展:解分式方程除了转化为整式方程外,还有其他的解法,请仔细阅读并完成填空。
(1)例题:解方程$\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$。
解法1:利用分式的基本性质,将原方程化为$\frac{180}{60 + 2v}=\frac{180}{90 - 3v}$,由分子相同,得分母相同,即$\underline{\hspace{5cm}}$。
解法2:分式两边通分,得$\frac{90(30 - v)}{(30 + v)(30 - v)}=\frac{60(30 + v)}{(30 + v)(30 - v)}$,由分母相同,得分子相同,即$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)解法3:用图形的方式表示出来,可以用下图来解释。
如图1,$S_{长方形ABCD}=90$,$S_{长方形AGHD}=60$,$GE = EB = v$,$AE = DF = 30$,$AB = 30 + v$,$AG = 30 - v$,则$AD=\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$,$AD = EF$,$EF=\frac{S_{长方形AEFD}}{AE}$,由$S_{长方形AEFD}=75$,$AE = 30$,得$AD=\underline{\hspace{2cm}}$,从而求得$v=\underline{\hspace{2cm}}$。
问题解决:
(3)如图2,在三角形ABC中,D,E是BC边上的点,且$DE = EC$,$S_{三角形ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$,$S_{三角形ABD}=36\ \mathrm{cm}^2$,$BE = 21\ \mathrm{cm}$,求BC的长。
(1)例题:解方程$\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$。
解法1:利用分式的基本性质,将原方程化为$\frac{180}{60 + 2v}=\frac{180}{90 - 3v}$,由分子相同,得分母相同,即$\underline{\hspace{5cm}}$。
解法2:分式两边通分,得$\frac{90(30 - v)}{(30 + v)(30 - v)}=\frac{60(30 + v)}{(30 + v)(30 - v)}$,由分母相同,得分子相同,即$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)解法3:用图形的方式表示出来,可以用下图来解释。
如图1,$S_{长方形ABCD}=90$,$S_{长方形AGHD}=60$,$GE = EB = v$,$AE = DF = 30$,$AB = 30 + v$,$AG = 30 - v$,则$AD=\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$,$AD = EF$,$EF=\frac{S_{长方形AEFD}}{AE}$,由$S_{长方形AEFD}=75$,$AE = 30$,得$AD=\underline{\hspace{2cm}}$,从而求得$v=\underline{\hspace{2cm}}$。
问题解决:
(3)如图2,在三角形ABC中,D,E是BC边上的点,且$DE = EC$,$S_{三角形ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$,$S_{三角形ABD}=36\ \mathrm{cm}^2$,$BE = 21\ \mathrm{cm}$,求BC的长。
答案
(1)$60 + 2v = 90 - 3v$ $90(30 - v) = 60(30 + v)$
(2)2.5 6 【解析】由$S_{长方形AEFD}=75$,$AE=30$,得$AD=\frac{75}{30}=2.5$。因为$AD=\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$,所以$30 - v=\frac{60}{2.5}$,解得v=6。经检验,v=6是分式方程的解。
(3)解:设三角形ABC中BC边上的高为h cm。因为DE=EC,所以$S_{三角形ADE}=S_{三角形ACE}$。因为$S_{三角形ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$,$S_{三角形ABD}=36\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{三角形ACD}=S_{三角形ABC}-S_{三角形ABD}=48-36=12(\mathrm{cm}^2)$,所以$S_{三角形ADE}+S_{三角形ACE}=12\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{三角形ADE}=S_{三角形ACE}=6\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{三角形ABE}=S_{三角形ABD}+S_{三角形ADE}=36+6=42(\mathrm{cm}^2)$,所以$\frac{1}{2}BE×h=42$,即$\frac{1}{2}×21×h=42$,解得h=4,所以$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}BC×h=48$,即2BC=48,解得BC=24,即BC的长为24 cm。
(2)2.5 6 【解析】由$S_{长方形AEFD}=75$,$AE=30$,得$AD=\frac{75}{30}=2.5$。因为$AD=\frac{90}{30 + v}=\frac{60}{30 - v}$,所以$30 - v=\frac{60}{2.5}$,解得v=6。经检验,v=6是分式方程的解。
(3)解:设三角形ABC中BC边上的高为h cm。因为DE=EC,所以$S_{三角形ADE}=S_{三角形ACE}$。因为$S_{三角形ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$,$S_{三角形ABD}=36\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{三角形ACD}=S_{三角形ABC}-S_{三角形ABD}=48-36=12(\mathrm{cm}^2)$,所以$S_{三角形ADE}+S_{三角形ACE}=12\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{三角形ADE}=S_{三角形ACE}=6\ \mathrm{cm}^2$,所以$S_{三角形ABE}=S_{三角形ABD}+S_{三角形ADE}=36+6=42(\mathrm{cm}^2)$,所以$\frac{1}{2}BE×h=42$,即$\frac{1}{2}×21×h=42$,解得h=4,所以$S_{三角形ABC}=\frac{1}{2}BC×h=48$,即2BC=48,解得BC=24,即BC的长为24 cm。
解析
【分析】
本题围绕分式方程的拓展解法及几何应用展开，(1)通过分式基本性质和等式性质对分式方程变形；(2)结合长方形面积公式与分式关系求线段长度和解分式方程；(3)利用三角形等底等高的面积关系，结合面积公式推导边长。解题时需明确各部分的代数、几何关系，逐步推导。
【解析】
(1) 解法1：利用分式基本性质将原方程分子化为相同的180，根据“分子相同的正分数，分母相等则分数相等”，得分母相等，即$60 + 2v = 90 - 3v$；
解法2：分式两边同乘最简公分母$(30+v)(30-v)$，根据“分母相同的分数，分子相等则分数相等”，得分子相等，即$90(30 - v) = 60(30 + v)$。
(2) 已知$S_{长方形AEFD}=75$，$AE=30$，由长方形面积公式得$AD=\frac{S_{长方形AEFD}}{AE}=\frac{75}{30}=2.5$；
又$AD=\frac{60}{30 - v}$，故$30 - v=\frac{60}{2.5}=24$，解得$v=6$，经检验$v=6$是原方程的解。
(3) 设$△ ABC$中$BC$边上的高为$h\ \mathrm{cm}$。
因为$DE=EC$，所以$△ ADE$与$△ ACE$等底等高，$S_{△ ADE}=S_{△ ACE}$；
$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}-S_{△ ABD}=48-36=12\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ACE}=6\ \mathrm{cm}^2$；
$S_{△ ABE}=S_{△ ABD}+S_{△ ADE}=36+6=42\ \mathrm{cm}^2$，由$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE×h$，代入$BE=21\ \mathrm{cm}$得$\frac{1}{2}×21×h=42$，解得$h=4$；
再由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC×h$，代入$S_{△ ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$、$h=4$，得$\frac{1}{2}×BC×4=48$，解得$BC=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$60 + 2v = 90 - 3v$；$90(30 - v) = 60(30 + v)$
(2)$2.5$；$6$
(3)$24\ \mathrm{cm}$
【知识点】
分式方程解法；三角形面积；图形面积应用
【点评】
本题拓展了分式方程的解法，融合几何面积性质，需代数与几何结合思考，步骤清晰，注重逻辑推导，是一道综合性基础题。
【难度系数】
0.5
本题围绕分式方程的拓展解法及几何应用展开，(1)通过分式基本性质和等式性质对分式方程变形；(2)结合长方形面积公式与分式关系求线段长度和解分式方程；(3)利用三角形等底等高的面积关系，结合面积公式推导边长。解题时需明确各部分的代数、几何关系，逐步推导。
【解析】
(1) 解法1：利用分式基本性质将原方程分子化为相同的180，根据“分子相同的正分数，分母相等则分数相等”，得分母相等，即$60 + 2v = 90 - 3v$；
解法2：分式两边同乘最简公分母$(30+v)(30-v)$，根据“分母相同的分数，分子相等则分数相等”，得分子相等，即$90(30 - v) = 60(30 + v)$。
(2) 已知$S_{长方形AEFD}=75$，$AE=30$，由长方形面积公式得$AD=\frac{S_{长方形AEFD}}{AE}=\frac{75}{30}=2.5$；
又$AD=\frac{60}{30 - v}$，故$30 - v=\frac{60}{2.5}=24$，解得$v=6$，经检验$v=6$是原方程的解。
(3) 设$△ ABC$中$BC$边上的高为$h\ \mathrm{cm}$。
因为$DE=EC$，所以$△ ADE$与$△ ACE$等底等高，$S_{△ ADE}=S_{△ ACE}$；
$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}-S_{△ ABD}=48-36=12\ \mathrm{cm}^2$，因此$S_{△ ADE}=S_{△ ACE}=6\ \mathrm{cm}^2$；
$S_{△ ABE}=S_{△ ABD}+S_{△ ADE}=36+6=42\ \mathrm{cm}^2$，由$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE×h$，代入$BE=21\ \mathrm{cm}$得$\frac{1}{2}×21×h=42$，解得$h=4$；
再由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC×h$，代入$S_{△ ABC}=48\ \mathrm{cm}^2$、$h=4$，得$\frac{1}{2}×BC×4=48$，解得$BC=24\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)$60 + 2v = 90 - 3v$；$90(30 - v) = 60(30 + v)$
(2)$2.5$；$6$
(3)$24\ \mathrm{cm}$
【知识点】
分式方程解法；三角形面积；图形面积应用
【点评】
本题拓展了分式方程的解法，融合几何面积性质，需代数与几何结合思考，步骤清晰，注重逻辑推导，是一道综合性基础题。
【难度系数】
0.5
