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7.方案设计 根据以下素材，探索完成任务。
奖品购买方案设计
素材
素材一
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的1.5倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件
素材二
某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15件
素材三
学校花费540元后，文具店赠送$m(1≤m＜10)$张兑换券(如图)用于商品兑换。兑换后，笔记本的数量与钢笔相同
解决
问题
任务一
探求商品单价
请运用适当的方法，求出钢笔与笔记本的单价
任务二
探究购买方案
在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量
任务三
确定兑换方式
运用数学知识，确定兑换方案
奖品购买方案设计
素材
素材一
某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的1.5倍，用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件
素材二
某学校花费540元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，购买的钢笔数量比笔记本少15件
素材三
学校花费540元后，文具店赠送$m(1≤m＜10)$张兑换券(如图)用于商品兑换。兑换后，笔记本的数量与钢笔相同
解决
问题
任务一
探求商品单价
请运用适当的方法，求出钢笔与笔记本的单价
任务二
探究购买方案
在不使用兑换券的情况下，求购买的钢笔和笔记本数量
任务三
确定兑换方式
运用数学知识，确定兑换方案
答案
任务一 解:设笔记本的单价为x元/本,则钢笔的单价为1.5x元/支。由题意,得$\frac{108}{1.5x}-2=\frac{60}{x}$,解得x=6。经检验,x=6是分式方程的解,且符合题意。所以6×1.5=9(元)。答:钢笔的单价为9元/支,笔记本的单价为6元/本。
任务二 解:设购买钢笔a支,购买笔记本b本。由题意,得$\begin{cases}a + 15 = b,\\9a + 6b = 540,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 30,\\b = 45。\end{cases}$答:购买钢笔30支,笔记本45本。
任务三 解:设其中y张兑换钢笔,则(m-y)张兑换笔记本。由题意,得30+5y=45+10(m-y),整理,得y=1+$\frac{2}{3}$m。因为1≤m＜10,且m,y均为正整数,所以$\begin{cases}m = 3,\\y = 3,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 6,\\y = 5,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 9,\\y = 7。\end{cases}$所以有三种兑换方案:①3张兑换钢笔,0张兑换笔记本;②5张兑换钢笔,1张兑换笔记本;③7张兑换钢笔,2张兑换笔记本。
任务二 解:设购买钢笔a支,购买笔记本b本。由题意,得$\begin{cases}a + 15 = b,\\9a + 6b = 540,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 30,\\b = 45。\end{cases}$答:购买钢笔30支,笔记本45本。
任务三 解:设其中y张兑换钢笔,则(m-y)张兑换笔记本。由题意,得30+5y=45+10(m-y),整理,得y=1+$\frac{2}{3}$m。因为1≤m＜10,且m,y均为正整数,所以$\begin{cases}m = 3,\\y = 3,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 6,\\y = 5,\end{cases}$或$\begin{cases}m = 9,\\y = 7。\end{cases}$所以有三种兑换方案:①3张兑换钢笔,0张兑换笔记本;②5张兑换钢笔,1张兑换笔记本;③7张兑换钢笔,2张兑换笔记本。
解析
【分析】
本题分三个任务逐步解决：任务一，利用钢笔与笔记本的单价关系设未知数，结合数量差建立分式方程，求解并检验得到单价；任务二，根据购买数量差和总花费建立二元一次方程组，解方程组得到购买数量；任务三，根据兑换后两种商品数量相等的条件，建立关于兑换券的等式，结合m、y为正整数的要求，确定兑换方案。
【解析】
任务一：设笔记本的单价为$x$元/本，则钢笔的单价为$1.5x$元/支。根据“用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件”，列方程：$\frac{108}{1.5x} - \frac{60}{x} = 2$，解得$x=6$。经检验，$x=6$是分式方程的解且符合实际，因此钢笔单价为$1.5×6=9$元/支。
任务二：设购买钢笔$a$支，购买笔记本$b$本。根据“购买的钢笔数量比笔记本少15件”和“总花费540元”，列方程组：$\begin{cases}b - a =15 \\9a +6b=540\end{cases}$，将$b=a+15$代入第二个方程，得$9a+6(a+15)=540$，解得$a=30$，则$b=45$。
任务三：设$y$张兑换钢笔，则$(m-y)$张兑换笔记本。兑换后钢笔数量为$30+5y$，笔记本数量为$45+10(m-y)$，根据数量相等列方程：$30+5y=45+10(m-y)$，整理得$y=1+\frac{2}{3}m$。因为$1≤m＜10$，且$m、y$均为正整数，所以$m$是3的倍数，对应$\begin{cases}m=3,y=3\end{cases}$、$\begin{cases}m=6,y=5\end{cases}$、$\begin{cases}m=9,y=7\end{cases}$，共三种兑换方案。
【答案】
任务一：钢笔单价为9元/支，笔记本单价为6元/本；
任务二：购买钢笔30支，笔记本45本；
任务三：兑换方案为①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程组的应用，整数解问题
【点评】
本题是结合实际购买场景的方案设计题，依次运用分式方程、二元一次方程组解决基础量问题，最后通过不定方程的整数解确定兑换方案，考查数学建模能力和实际问题的分析能力，需注意解的实际意义（正整数）。
【难度系数】
0.5
本题分三个任务逐步解决：任务一，利用钢笔与笔记本的单价关系设未知数，结合数量差建立分式方程，求解并检验得到单价；任务二，根据购买数量差和总花费建立二元一次方程组，解方程组得到购买数量；任务三，根据兑换后两种商品数量相等的条件，建立关于兑换券的等式，结合m、y为正整数的要求，确定兑换方案。
【解析】
任务一：设笔记本的单价为$x$元/本，则钢笔的单价为$1.5x$元/支。根据“用108元购买钢笔的数量比用60元购买笔记本的数量多2件”，列方程：$\frac{108}{1.5x} - \frac{60}{x} = 2$，解得$x=6$。经检验，$x=6$是分式方程的解且符合实际，因此钢笔单价为$1.5×6=9$元/支。
任务二：设购买钢笔$a$支，购买笔记本$b$本。根据“购买的钢笔数量比笔记本少15件”和“总花费540元”，列方程组：$\begin{cases}b - a =15 \\9a +6b=540\end{cases}$，将$b=a+15$代入第二个方程，得$9a+6(a+15)=540$，解得$a=30$，则$b=45$。
任务三：设$y$张兑换钢笔，则$(m-y)$张兑换笔记本。兑换后钢笔数量为$30+5y$，笔记本数量为$45+10(m-y)$，根据数量相等列方程：$30+5y=45+10(m-y)$，整理得$y=1+\frac{2}{3}m$。因为$1≤m＜10$，且$m、y$均为正整数，所以$m$是3的倍数，对应$\begin{cases}m=3,y=3\end{cases}$、$\begin{cases}m=6,y=5\end{cases}$、$\begin{cases}m=9,y=7\end{cases}$，共三种兑换方案。
【答案】
任务一：钢笔单价为9元/支，笔记本单价为6元/本；
任务二：购买钢笔30支，笔记本45本；
任务三：兑换方案为①3张兑换钢笔，0张兑换笔记本；②5张兑换钢笔，1张兑换笔记本；③7张兑换钢笔，2张兑换笔记本。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程组的应用，整数解问题
【点评】
本题是结合实际购买场景的方案设计题，依次运用分式方程、二元一次方程组解决基础量问题，最后通过不定方程的整数解确定兑换方案，考查数学建模能力和实际问题的分析能力，需注意解的实际意义（正整数）。
【难度系数】
0.5
8. 如图,把7个相同的小长方形放入大长方形中,则阴影部分的面积是
38
。答案
38 【解析】设小长方形的长为x,宽为y。由题意,得$\begin{cases}2x + y = 12,\\x + 2y - 3y = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 5,\\y = 2,\end{cases}$所以阴影部分的面积是12(x+2y)-7xy=12×(5+2×2)-7×5×2=38。
解析
【分析】
要解决该问题，需先求出小长方形的长和宽，再通过大长方形面积减去7个小长方形的面积得到阴影部分面积。观察图形，可找到两个关于小长方形长和宽的等量关系，通过设未知数列二元一次方程组求解长和宽，进而计算面积。
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
根据图形中长的关系：大长方形的长为12，等于2个小长方形的长加1个小长方形的宽，因此列方程：$ 2x + y = 12 $；
根据图形中高度的关系：小长方形的长减去2个小长方形的宽等于3，因此列方程：$ x - y = 3 $；
联立方程组：$\begin{cases}2x + y = 12 \\ x - y = 3 \end{cases}$
将两个方程相加，得$ 3x = 15 $，解得$ x = 5 $；
把$ x =5 $代入$ x - y =3 $，得$ 5 - y =3 $，解得$ y=2 $；
大长方形的宽为$ x + 2y =5 + 2×2=9 $，大长方形面积为$ 12×9=108 $；
7个小长方形的面积为$ 7×x×y=7×5×2=70 $；
阴影部分面积 = 大长方形面积 - 7个小长方形面积 = $ 108 -70=38 $。
【答案】
38
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形的数量关系建立二元一次方程组，求解后计算阴影面积，关键是从图形中准确提取长和宽的等量关系，考查数形结合的应用能力，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先求出小长方形的长和宽，再通过大长方形面积减去7个小长方形的面积得到阴影部分面积。观察图形，可找到两个关于小长方形长和宽的等量关系，通过设未知数列二元一次方程组求解长和宽，进而计算面积。
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
根据图形中长的关系：大长方形的长为12，等于2个小长方形的长加1个小长方形的宽，因此列方程：$ 2x + y = 12 $；
根据图形中高度的关系：小长方形的长减去2个小长方形的宽等于3，因此列方程：$ x - y = 3 $；
联立方程组：$\begin{cases}2x + y = 12 \\ x - y = 3 \end{cases}$
将两个方程相加，得$ 3x = 15 $，解得$ x = 5 $；
把$ x =5 $代入$ x - y =3 $，得$ 5 - y =3 $，解得$ y=2 $；
大长方形的宽为$ x + 2y =5 + 2×2=9 $，大长方形面积为$ 12×9=108 $；
7个小长方形的面积为$ 7×x×y=7×5×2=70 $；
阴影部分面积 = 大长方形面积 - 7个小长方形面积 = $ 108 -70=38 $。
【答案】
38
【知识点】
二元一次方程组应用，长方形面积计算
【点评】
本题结合几何图形的数量关系建立二元一次方程组，求解后计算阴影面积，关键是从图形中准确提取长和宽的等量关系，考查数形结合的应用能力，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.6
