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三、解答题(本大题有8小题,共72分)
17.(8分)(2025·杭州市钱塘区期末)计算:
(1)$(π - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1}$；
(2)$2020×2030 - 2025^2$。
17.(8分)(2025·杭州市钱塘区期末)计算:
(1)$(π - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1}$；
(2)$2020×2030 - 2025^2$。
答案
17.(1)解:原式$=1 + 3 = 4$。
(2)解:原式$=(2025 - 5)×(2025 + 5) - 2025^2 = 2025^2 - 5^2 - 2025^2 = -25$。
(2)解:原式$=(2025 - 5)×(2025 + 5) - 2025^2 = 2025^2 - 5^2 - 2025^2 = -25$。
解析
【分析】
第(1)小题：需掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数，据此分别计算两项后求和；第(2)小题：观察到算式中两个乘数与2025接近，可变形为两数和与差的形式，利用平方差公式简化计算，再与$2025^2$相减得出结果。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则：$a^0=1(a≠0)$，得$(π - 2)^0=1$；根据负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，得$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，所以原式$=1 + 3=4$。
(2) 将2020和2030变形为$2025 -5$和$2025 +5$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a² -b²$，原式$=(2025 -5)(2025 +5) -2025²=2025² -5² -2025²=-25$。
【答案】
(1)4；(2)-25
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础计算题，考察幂运算和平方差公式的基本应用，只要掌握相关法则和公式即可顺利解答，计算时需注意符号和公式的正确使用。
【难度系数】
0.8
第(1)小题：需掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于对应正整数指数幂的倒数，据此分别计算两项后求和；第(2)小题：观察到算式中两个乘数与2025接近，可变形为两数和与差的形式，利用平方差公式简化计算，再与$2025^2$相减得出结果。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则：$a^0=1(a≠0)$，得$(π - 2)^0=1$；根据负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，得$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，所以原式$=1 + 3=4$。
(2) 将2020和2030变形为$2025 -5$和$2025 +5$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a² -b²$，原式$=(2025 -5)(2025 +5) -2025²=2025² -5² -2025²=-25$。
【答案】
(1)4；(2)-25
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础计算题，考察幂运算和平方差公式的基本应用，只要掌握相关法则和公式即可顺利解答，计算时需注意符号和公式的正确使用。
【难度系数】
0.8
18.(8分)(2025·金华市义乌市期末)计算:
(1)$(-3x)^{2}· (5x^{2}y)$；
(2)$(2a-3b)^{2}-2a(2a-b)$。
(1)$(-3x)^{2}· (5x^{2}y)$；
(2)$(2a-3b)^{2}-2a(2a-b)$。
答案
18.(1)解:原式$=9x^2·(5x^2y)=45x^4y$。
(2)解:原式$=4a^2 - 12ab + 9b^2 - 4a^2 + 2ab = -10ab + 9b^2$。
(2)解:原式$=4a^2 - 12ab + 9b^2 - 4a^2 + 2ab = -10ab + 9b^2$。
解析
【分析】
第(1)小题：先运用积的乘方法则计算$(-3x)^2$，再根据单项式乘单项式的法则，系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留，计算最终结果；第(2)小题：先利用完全平方公式展开$(2a-3b)^2$，再用单项式乘多项式法则计算$2a(2a-b)$，最后去括号合并同类项化简。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：$(-3x)^2 = (-3)^2 · x^2 = 9x^2$，再计算单项式乘法：$9x^2 · 5x^2y = (9 × 5) · (x^2 · x^2) · y = 45x^4y$；
(2) 先展开完全平方：$(2a-3b)^2 = (2a)^2 - 2 · 2a · 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$，再计算单项式乘多项式：$2a(2a - b) = 4a^2 - 2ab$，去括号合并同类项：原式$= 4a^2 - 12ab + 9b^2 - 4a^2 + 2ab = -10ab + 9b^2$；
【答案】
(1) $45x^4y$；(2) $-10ab + 9b^2$
【知识点】
积的乘方与单项式乘法；完全平方公式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，考查整式相关的核心运算法则，要求学生熟练掌握积的乘方、完全平方公式、单项式乘法及合并同类项的规则，注意符号处理，是期末考的常规基础题。
【难度系数】
0.7
第(1)小题：先运用积的乘方法则计算$(-3x)^2$，再根据单项式乘单项式的法则，系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留，计算最终结果；第(2)小题：先利用完全平方公式展开$(2a-3b)^2$，再用单项式乘多项式法则计算$2a(2a-b)$，最后去括号合并同类项化简。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：$(-3x)^2 = (-3)^2 · x^2 = 9x^2$，再计算单项式乘法：$9x^2 · 5x^2y = (9 × 5) · (x^2 · x^2) · y = 45x^4y$；
(2) 先展开完全平方：$(2a-3b)^2 = (2a)^2 - 2 · 2a · 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$，再计算单项式乘多项式：$2a(2a - b) = 4a^2 - 2ab$，去括号合并同类项：原式$= 4a^2 - 12ab + 9b^2 - 4a^2 + 2ab = -10ab + 9b^2$；
【答案】
(1) $45x^4y$；(2) $-10ab + 9b^2$
【知识点】
积的乘方与单项式乘法；完全平方公式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，考查整式相关的核心运算法则，要求学生熟练掌握积的乘方、完全平方公式、单项式乘法及合并同类项的规则，注意符号处理，是期末考的常规基础题。
【难度系数】
0.7
19.(8分)先化简,再求值:$(x-2)(3x^2 - 1) - 12x(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 3)$,其中$x=-\frac{1}{5}$。
答案
19.解:原式$=3x^3 - x - 6x^2 + 2 - 3x^3 + 6x^2 + 36x = 35x + 2$。
当$x=-\dfrac{1}{5}$时,原式$=35 × (-\dfrac{1}{5}) + 2 = -5$。
当$x=-\dfrac{1}{5}$时,原式$=35 × (-\dfrac{1}{5}) + 2 = -5$。
解析
【分析】
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则展开原式，再通过去括号、合并同类项将式子化为最简形式，最后把给定的$x$值代入最简式计算结果。
【解析】
原式$=(x - 2)(3x^2 - 1) - 12x(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 3)$
第一步：利用多项式乘多项式法则计算$(x - 2)(3x^2 - 1)$：
$=3x^3 - x - 6x^2 + 2$
第二步：利用单项式乘多项式法则计算$12x(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 3)$：
$=3x^3 - 6x^2 - 36x$
第三步：去括号并合并同类项：
原式$=3x^3 - x - 6x^2 + 2 - (3x^3 - 6x^2 - 36x)$
$=3x^3 - x - 6x^2 + 2 - 3x^3 + 6x^2 + 36x$
$=(3x^3 - 3x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + (-x + 36x) + 2$
$=35x + 2$
第四步：代入$x = -\frac{1}{5}$求值：
当$x = -\frac{1}{5}$时，原式$=35×(-\frac{1}{5}) + 2 = -7 + 2 = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是掌握整式乘法法则和合并同类项的方法，计算时需注意符号的处理，属于基础代数运算题，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题是整式的化简求值题，解题思路为：先根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则展开原式，再通过去括号、合并同类项将式子化为最简形式，最后把给定的$x$值代入最简式计算结果。
【解析】
原式$=(x - 2)(3x^2 - 1) - 12x(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 3)$
第一步：利用多项式乘多项式法则计算$(x - 2)(3x^2 - 1)$：
$=3x^3 - x - 6x^2 + 2$
第二步：利用单项式乘多项式法则计算$12x(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x - 3)$：
$=3x^3 - 6x^2 - 36x$
第三步：去括号并合并同类项：
原式$=3x^3 - x - 6x^2 + 2 - (3x^3 - 6x^2 - 36x)$
$=3x^3 - x - 6x^2 + 2 - 3x^3 + 6x^2 + 36x$
$=(3x^3 - 3x^3) + (-6x^2 + 6x^2) + (-x + 36x) + 2$
$=35x + 2$
第四步：代入$x = -\frac{1}{5}$求值：
当$x = -\frac{1}{5}$时，原式$=35×(-\frac{1}{5}) + 2 = -7 + 2 = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
整式的乘法、合并同类项
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是掌握整式乘法法则和合并同类项的方法，计算时需注意符号的处理，属于基础代数运算题，难度适中。
【难度系数】
0.7
