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20. (8分)(2025·丽水市莲都区期末)已知$M=x^2 - x - 1,N=3x^2 - 5x + 1$。
(1)当$N=3M$时,求$x$的值。
(2)试说明无论$x$取何值时,$M≤ N$。
(1)当$N=3M$时,求$x$的值。
(2)试说明无论$x$取何值时,$M≤ N$。
答案
20.(1)解:因为$N=3M$,所以$3x^2 - 5x + 1 = 3(x^2 - x - 1)$,整理,得$-5x + 1 = -3x - 3$,解得$x=2$。
(2)证明:由题意,得$M - N = x^2 - x - 1 - (3x^2 - 5x + 1) = x^2 - x - 1 - 3x^2 + 5x - 1 = -2x^2 + 4x - 2 = -2(x^2 - 2x + 1) = -2(x - 1)^2$。因为$(x - 1)^2 ≥ 0$,所以$-2(x - 1)^2 ≤ 0$,即$M - N ≤ 0$,所以$M ≤ N$。
(2)证明:由题意,得$M - N = x^2 - x - 1 - (3x^2 - 5x + 1) = x^2 - x - 1 - 3x^2 + 5x - 1 = -2x^2 + 4x - 2 = -2(x^2 - 2x + 1) = -2(x - 1)^2$。因为$(x - 1)^2 ≥ 0$,所以$-2(x - 1)^2 ≤ 0$,即$M - N ≤ 0$,所以$M ≤ N$。
解析
【分析】
本题包含两个问题，第(1)问根据N=3M的等量关系，将M、N的表达式代入得到关于x的一元一次方程，通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解x；第(2)问要证明M≤N，只需计算M与N的差，对差进行整式化简后，利用平方的非负性判断差的符号，即可得出结论。
【解析】
(1) 因为N=3M，将M=x² - x -1，N=3x² -5x +1代入等式得：
3x² -5x +1 = 3(x² - x -1)
去括号，得：3x² -5x +1 = 3x² -3x -3
整理，得：-5x +1 = -3x -3
移项合并同类项，解得：x=2。
(2) 计算M - N：
M - N = (x² -x -1) - (3x² -5x +1)
去括号，得：x² -x -1 -3x² +5x -1
合并同类项，得：-2x² +4x -2
提取公因式并利用完全平方公式因式分解，得：-2(x² -2x +1) = -2(x -1)²
因为对于任意实数x，(x -1)² ≥0，所以-2(x -1)² ≤0，即M - N ≤0，故无论x取何值，M≤N。
【答案】
(1) 解:因为$N=3M$,所以$3x^2 - 5x + 1 = 3(x^2 - x - 1)$,整理,得$-5x + 1 = -3x - 3$,解得$x=2$。
(2) 证明:由题意,得$M - N = x^2 - x - 1 - (3x^2 - 5x + 1) = x^2 - x - 1 - 3x^2 + 5x - 1 = -2x^2 + 4x - 2 = -2(x^2 - 2x + 1) = -2(x - 1)^2$。因为$(x - 1)^2 ≥ 0$,所以$-2(x - 1)^2 ≤ 0$,即$M - N ≤ 0$,所以$M ≤ N$。
【知识点】
整式的加减、一元一次方程、完全平方公式
【点评】
本题是期末基础题型，考察整式运算、一元一次方程解法及平方非负性的应用，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项及因式分解，难度适中，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
本题包含两个问题，第(1)问根据N=3M的等量关系，将M、N的表达式代入得到关于x的一元一次方程，通过去括号、移项、合并同类项等步骤求解x；第(2)问要证明M≤N，只需计算M与N的差，对差进行整式化简后，利用平方的非负性判断差的符号，即可得出结论。
【解析】
(1) 因为N=3M，将M=x² - x -1，N=3x² -5x +1代入等式得：
3x² -5x +1 = 3(x² - x -1)
去括号，得：3x² -5x +1 = 3x² -3x -3
整理，得：-5x +1 = -3x -3
移项合并同类项，解得：x=2。
(2) 计算M - N：
M - N = (x² -x -1) - (3x² -5x +1)
去括号，得：x² -x -1 -3x² +5x -1
合并同类项，得：-2x² +4x -2
提取公因式并利用完全平方公式因式分解，得：-2(x² -2x +1) = -2(x -1)²
因为对于任意实数x，(x -1)² ≥0，所以-2(x -1)² ≤0，即M - N ≤0，故无论x取何值，M≤N。
【答案】
(1) 解:因为$N=3M$,所以$3x^2 - 5x + 1 = 3(x^2 - x - 1)$,整理,得$-5x + 1 = -3x - 3$,解得$x=2$。
(2) 证明:由题意,得$M - N = x^2 - x - 1 - (3x^2 - 5x + 1) = x^2 - x - 1 - 3x^2 + 5x - 1 = -2x^2 + 4x - 2 = -2(x^2 - 2x + 1) = -2(x - 1)^2$。因为$(x - 1)^2 ≥ 0$,所以$-2(x - 1)^2 ≤ 0$,即$M - N ≤ 0$,所以$M ≤ N$。
【知识点】
整式的加减、一元一次方程、完全平方公式
【点评】
本题是期末基础题型，考察整式运算、一元一次方程解法及平方非负性的应用，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项及因式分解，难度适中，适合巩固基础。
【难度系数】
0.7
21. (8分)新定义 对于实数$a,b$,定义新运算“$\oplus$”,规定如下:$a\oplus b=(a + b - 1)^2 - 2ab$,例如:$1\oplus 2=(1 + 2 - 1)^2 - 2×1×2=0$。
(1)求$3\oplus5$的值。
(2)若$x$为某一个实数,记$x\oplus3$的值为$m$,$1\oplus(2 - x)$的值为$n$,请你判断$m - n$的值是否与$x$的取值有关?并给出证明。
(1)求$3\oplus5$的值。
(2)若$x$为某一个实数,记$x\oplus3$的值为$m$,$1\oplus(2 - x)$的值为$n$,请你判断$m - n$的值是否与$x$的取值有关?并给出证明。
答案
21.(1)解:由题意,得$3\oplus5=(3 + 5 - 1)^2 - 2 × 3 × 5 = 49 - 30 = 19$,即$3\oplus5$的值是19。
(2)解:$m - n$的值与$x$的取值无关。证明:由题意,得$m = x\oplus3 = (x + 3 - 1)^2 - 2 × x × 3 = (x + 2)^2 - 6x = x^2 + 4x + 4 - 6x = x^2 - 2x + 4$;$n = 1\oplus(2 - x) = (1 + 2 - x - 1)^2 - 2 × 1 × (2 - x) = (2 - x)^2 - (4 - 2x) = 4 - 4x + x^2 - 4 + 2x = x^2 - 2x$,所以$m - n = (x^2 - 2x + 4) - (x^2 - 2x) = x^2 - 2x + 4 - x^2 + 2x = 4$,所以$m - n$的值与$x$的取值无关。
(2)解:$m - n$的值与$x$的取值无关。证明:由题意,得$m = x\oplus3 = (x + 3 - 1)^2 - 2 × x × 3 = (x + 2)^2 - 6x = x^2 + 4x + 4 - 6x = x^2 - 2x + 4$;$n = 1\oplus(2 - x) = (1 + 2 - x - 1)^2 - 2 × 1 × (2 - x) = (2 - x)^2 - (4 - 2x) = 4 - 4x + x^2 - 4 + 2x = x^2 - 2x$,所以$m - n = (x^2 - 2x + 4) - (x^2 - 2x) = x^2 - 2x + 4 - x^2 + 2x = 4$,所以$m - n$的值与$x$的取值无关。
解析
【分析】
本题是新定义运算题，解题核心是先明确新运算“⊕”的规则：$a\oplus b=(a + b - 1)^2 - 2ab$。第(1)问直接代入$a=3$、$b=5$计算即可；第(2)问需先分别根据新运算规则求出$m=x\oplus3$和$n=1\oplus(2 - x)$的表达式，再计算$m-n$，通过化简结果判断是否含$x$项，确定是否与$x$的取值有关。
【解析】
(1) 由新运算规则，将$a=3$，$b=5$代入得：
$3\oplus5=(3 + 5 - 1)^2 - 2×3×5=7^2 - 30=49 - 30=19$。
(2) $m - n$的值与$x$的取值无关，证明如下：
根据新运算规则，先求$m$：
$m=x\oplus3=(x + 3 - 1)^2 - 2×x×3=(x + 2)^2 - 6x=x^2 + 4x + 4 - 6x=x^2 - 2x + 4$；
再求$n$：
$n=1\oplus(2 - x)=(1 + 2 - x - 1)^2 - 2×1×(2 - x)=(2 - x)^2 - (4 - 2x)=4 - 4x + x^2 - 4 + 2x=x^2 - 2x$；
计算$m - n$：
$m - n=(x^2 - 2x + 4)-(x^2 - 2x)=x^2 - 2x + 4 - x^2 + 2x=4$，
结果为常数，不含$x$项，故$m - n$的值与$x$的取值无关。
【答案】
(1) $3\oplus5$的值是19；(2) $m - n$的值与$x$的取值无关，证明如上。
【知识点】
新定义运算、整式的混合运算、完全平方公式
【点评】
本题为新定义运算类基础题，重点考查学生对新规则的理解与应用能力，第(2)问需通过整式化简判断变量是否存在，整体难度适中，是初中代数常见题型。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算题，解题核心是先明确新运算“⊕”的规则：$a\oplus b=(a + b - 1)^2 - 2ab$。第(1)问直接代入$a=3$、$b=5$计算即可；第(2)问需先分别根据新运算规则求出$m=x\oplus3$和$n=1\oplus(2 - x)$的表达式，再计算$m-n$，通过化简结果判断是否含$x$项，确定是否与$x$的取值有关。
【解析】
(1) 由新运算规则，将$a=3$，$b=5$代入得：
$3\oplus5=(3 + 5 - 1)^2 - 2×3×5=7^2 - 30=49 - 30=19$。
(2) $m - n$的值与$x$的取值无关，证明如下：
根据新运算规则，先求$m$：
$m=x\oplus3=(x + 3 - 1)^2 - 2×x×3=(x + 2)^2 - 6x=x^2 + 4x + 4 - 6x=x^2 - 2x + 4$；
再求$n$：
$n=1\oplus(2 - x)=(1 + 2 - x - 1)^2 - 2×1×(2 - x)=(2 - x)^2 - (4 - 2x)=4 - 4x + x^2 - 4 + 2x=x^2 - 2x$；
计算$m - n$：
$m - n=(x^2 - 2x + 4)-(x^2 - 2x)=x^2 - 2x + 4 - x^2 + 2x=4$，
结果为常数，不含$x$项，故$m - n$的值与$x$的取值无关。
【答案】
(1) $3\oplus5$的值是19；(2) $m - n$的值与$x$的取值无关，证明如上。
【知识点】
新定义运算、整式的混合运算、完全平方公式
【点评】
本题为新定义运算类基础题，重点考查学生对新规则的理解与应用能力，第(2)问需通过整式化简判断变量是否存在，整体难度适中，是初中代数常见题型。
【难度系数】
0.6
