9.若a,b都是正整数,且满足,则
下列a与b的关系正确的是 ()

A.$a + 3 = 8b$
B.$3a = 8b$
C.$a + 3 = b^8$
D.$3a = 8 + b$

9.A

【分析】
要解决本题，需先分别化简等式左右两边的式子：左边是8个相同加数$2^a$的和，可转化为乘法运算；右边是8个相同因式$2^b$的积，可利用同底数幂的乘法法则化简。再根据“底数相同的幂相等时，指数相等”的性质，推导$a$与$b$的关系，最后匹配选项。
【解析】
1. 化简等式左边：8个$2^a$相加，根据乘法的意义，可表示为$8×2^a$；又因为$8=2^3$，结合同底数幂的乘法法则（底数不变，指数相加），得左边$=2^3×2^a=2^{a+3}$。
2. 化简等式右边：8个$2^b$相乘，根据同底数幂的乘法法则，得右边$=2^{b×8}=2^{8b}$。
3. 因为等式左右两边相等，且底数均为2，所以指数相等，即$a+3=8b$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的运算
【点评】
本题考查幂的基本运算，核心是将“相同加数的和”转化为乘法、“相同因式的积”转化为同底数幂的乘法，再利用指数相等建立关系，属于基础运算题，难度较低。
【难度系数】
0.3

10. (2025·绍兴市绍初教育集团期末)设$ m = a + b $，$ n = ab $，$ p = a^2 + b^2 $，$ q = a^2 - b^2 $，其中$ a = 2023 + t $，$ b = 2021 + t $，给出以下结论：
①当$ n = 4 $时，$ p = 12 $；②不论$ t $为何值，$\dfrac{p}{q} = \dfrac{n + 2}{m}$，则下列判断正确的是（）

A.①②都对
B.①②都错
C.①对，②错
D.①错，②对

10.C 【解析】由题意,得$n=ab=(2023+t)(2021+t)=(2022+t+1)(2022+t-1)=(2022+t)^2-1=4$,所以$(2022+t)^2=5$,所以$p=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(4044+2t)^2-2n=4(2022+t)^2-2n=4×5-2×4=12$,故①正确。当$t=-2022$时,$a=1,b=-1$,则$m=a+b=0$,此时$\dfrac{n + 2}{m}$无意义,故②不正确。

【分析】本题需先根据a、b的表达式，结合平方差公式、完全平方公式化简相关代数式，再分别验证两个结论。对于结论①，先将ab用含t的式子表示，利用平方差公式求出相关整体的值，再结合完全平方公式计算p的值；对于结论②，需注意分式分母不能为0，通过举反例说明式子无意义，从而判断结论错误。
【解析】已知$a = 2023 + t$，$b = 2021 + t$，先计算相关代数式：
$m = a + b = (2023 + t) + (2021 + t) = 4044 + 2t = 2(2022 + t)$
$n = ab = (2023 + t)(2021 + t) = [(2022 + t) + 1][(2022 + t) - 1] = (2022 + t)^2 - 1$
$p = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = m^2 - 2n$
验证结论①：当$n = 4$时，由$n = (2022 + t)^2 - 1 = 4$，得$(2022 + t)^2 = 5$。
则$p = m^2 - 2n = [2(2022 + t)]^2 - 2×4 = 4×5 - 8 = 12$，故①正确。
验证结论②：要判断$\frac{p}{q} = \frac{n + 2}{m}$是否成立，需保证分母$m≠0$。
当$t = -2022$时，$a = 1$，$b = -1$，此时$m = a + b = 0$，分式$\frac{n + 2}{m}$无意义，等式不成立，故②不正确。
综上，①对，②错，答案选C。
【答案】C
【知识点】整式的化简求值；平方差公式；完全平方公式
【点评】本题考查代数式变形与公式应用，关键是利用平方差、完全平方公式简化计算，需注意分式分母不能为0的隐含条件，避免忽略特殊情况导致判断错误。
【难度系数】0.6

11. (2025·金华市永康市期末)有一个长方体,它的底面积为$2a^2$,体积为$8a^3$,则该底面上的高为$\underline{\hspace{5cm}}$。

11.4a

【分析】本题考查长方体体积公式的应用，解题思路是利用长方体体积公式变形得到“高=体积÷底面积”，再结合单项式除以单项式的运算法则计算结果。
【解析】根据长方体体积公式：体积=底面积×高，变形可得高=体积÷底面积。将已知体积$8a^3$、底面积$2a^2$代入，计算得：$8a^3 ÷ 2a^2 = (8÷2) · (a^3÷ a^2) = 4a$。
【答案】4a
【知识点】长方体体积公式、单项式除法
【点评】本题为基础代数应用题型，核心考查长方体体积公式的掌握和单项式除法运算，难度较低，属于学生易得分的基础题。
【难度系数】0.8

12.若关于$x$的代数式$x^2 - 2mx + 4$($m$是常数)是一个完全平方式,则$m=$$\underline{\hspace{5em}}$。

12.$\pm2$

【分析】
要解决这个问题，需利用完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$。题目中的代数式$x^2 -2mx +4$是二次三项式，对应完全平方式结构，先确定$a=x$，常数项$4=b^2$，故$b=\pm2$；再根据一次项的对应关系，结合题目给出的一次项$-2mx$，即可求出$m$的值，注意完全平方式有两种形式，需考虑正负情况避免漏解。
【解析】
解：因为代数式$x^2 -2mx +4$是完全平方式，根据完全平方式的展开式：
$(x+2)^2=x^2+4x+4$，对比原式得：$-2m=4$，解得$m=-2$；
$(x-2)^2=x^2-4x+4$，对比原式得：$-2m=-4$，解得$m=2$；
综上，$m=\pm2$。
【答案】
$\pm2$
【知识点】
完全平方式，代数式运算
【点评】
本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方式的两种结构，解题时需注意一次项的正负对应关系，避免漏解，属于基础题型，侧重对公式的灵活运用。
【难度系数】
0.6

13. (2025·金华市永康市期末)若$x^2 + xy = 21 + t, y^2 + xy = 15 - t$，则$(x + y)^2$的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

13.36

【分析】首先观察所求的$(x+y)^2$展开后为$x^2+2xy+y^2$，而已知的两个等式左边相加恰好能凑出该式，且右边相加时参数$t$会抵消，因此只需将两个已知等式左右两边分别相加，即可直接求出$(x+y)^2$的值。
【解析】已知$x^2 + xy = 21 + t$，$y^2 + xy = 15 - t$，将两式左右两边分别相加：
左边：$(x^2 + xy) + (y^2 + xy) = x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$
右边：$(21 + t) + (15 - t) = 21 + 15 + t - t = 36$
因此$(x + y)^2 = 36$。
【答案】36
【知识点】整式的加减、完全平方公式
【点评】本题考查整式的加减运算与完全平方公式的应用，解题核心是通过观察式子结构，将两个已知等式相加消去参数$t$，直接构造出所求代数式，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.7

14.已知多项式$(x-a)$与$(x^2+2x-1)$的乘积中不含$x^2$项，则常数$a$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。

14.2

【分析】
要解决这个问题，需先利用多项式乘多项式的运算法则展开两个多项式的乘积，再合并同类项，根据“不含$x^2$项”可知该类项的系数为0，据此建立方程求解常数$a$的值。
【解析】
先计算两个多项式的乘积：
$\begin{aligned}(x - a)(x^2 + 2x - 1)&=x· x^2 + x·2x + x·(-1) - a· x^2 - a·2x - a·(-1)\\&=x^3 + 2x^2 - x - a x^2 - 2a x + a\\&=x^3 + (2 - a)x^2 + (-1 - 2a)x + a\end{aligned}$
因为乘积中不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，即：
$2 - a = 0$
解得：$a = 2$
【答案】
2
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题考查多项式乘法的基础应用，核心是掌握多项式相乘的展开法则，通过同类项系数的分析求解参数，属于代数运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6

15. (2025·杭州市滨江区期末)利用$(a\pm b)^2$可求某些整式的最值。例如，$x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x - 1)^2 + 2$，由$(x - 1)^2 ≥ 0$知，当$x=1$时，多项式$x^2 - 2x + 3$有最小值2。对于多项式$3x^2 + 2x + 1$，当$x=$时，有最小值是。

15.$-\dfrac{1}{3}$ $\dfrac{2}{3}$

【分析】
要解决这个问题，需利用配方法将多项式转化为“完全平方项+常数”的形式，根据平方的非负性确定最值对应的x值和最值。首先提取二次项系数，对括号内的一次式配方，再整理为完全平方形式，最后根据平方的最小值为0，求出对应的x和多项式的最小值。
【解析】
对多项式$3x^2 + 2x +1$进行配方：
$\begin{aligned}3x^2 + 2x +1&=3(x^2 + \frac{2}{3}x)+1\\&=3[(x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{1}{9})-\frac{1}{9}]+1\\&=3(x + \frac{1}{3})^2 - 3×\frac{1}{9} +1\\&=3(x + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} +1\\&=3(x + \frac{1}{3})^2 + \frac{2}{3}\end{aligned}$
因为$(x + \frac{1}{3})^2 ≥ 0$，当$(x + \frac{1}{3})^2 =0$时，多项式取得最小值，此时$x + \frac{1}{3}=0$，即$x=-\frac{1}{3}$，最小值为$\frac{2}{3}$。
【答案】
$-\dfrac{1}{3}$；$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
配方法求最值；完全平方公式
【点评】
本题考查配方法在求整式最值中的应用，核心是通过配方将二次式转化为完全平方与常数的和，利用平方的非负性求解，属于基础题型，掌握配方法的基本步骤即可解答。
【难度系数】
0.6

16. (2024·金华市浦江县期末)图2是由形如图1所示的四块相同的直角三角形拼成的大正方形ABCD和小正方形EFGH。
(1)由$S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{三角形AEH}$可列等式：$(a + b)^2 = \_\_\_\_\_\_ + \_\_\_\_\_\_$。
(2)若$S_{正方形ABCD}=2S_{正方形EFGH}$，那么$a$与$b$之间的数量关系是________。

16.(1)$c^2$ $2ab$ (2)$a=b$ 【解析】(1)如题图,因为$S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{三角形AEF}$,所以$(a + b)^2 = c^2 + 4 × \dfrac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$。
(2)因为$S_{正方形ABCD}=(a + b)^2$,$S_{正方形EFGH}=c^2$,所以$(a + b)^2 = 2c^2$。
由(1)知$(a + b)^2 = c^2 + 2ab$,所以$2(a + b)^2 = 2c^2 + 4ab$,所以$2(a + b)^2 - 4ab = 2c^2$,所以$2(a + b)^2 - 4ab = (a + b)^2$,则$(a + b)^2 - 4ab = 0$,所以$a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = 0$,所以$a^2 - 2ab + b^2 = 0$,即$(a - b)^2 = 0$,所以$a = b$。

【分析】
本题利用面积法推导代数关系，核心是通过大正方形面积等于小正方形面积加四个直角三角形面积，结合勾股定理与完全平方公式解决问题。第(1)问直接根据各图形面积和的关系代入计算；第(2)问结合已知面积关系，将第(1)问的结论代入后进行代数变形，最终得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 正方形EFGH的边长为直角三角形的斜边c，故其面积为$c^2$；单个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，4个直角三角形面积为$4×\frac{1}{2}ab=2ab$。根据$S_{正方形ABCD}=S_{正方形EFGH}+4S_{三角形AEH}$，可得$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$。
(2) 已知$S_{正方形ABCD}=2S_{正方形EFGH}$，即$(a+b)^2 = 2c^2$。由(1)知$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$，代入得$c^2 + 2ab = 2c^2$，整理得$2ab = c^2$。又因直角三角形满足勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，故$a^2 + b^2 = 2ab$，变形为$(a - b)^2 = 0$，因此$a = b$。
【答案】
(1)$c^2$，$2ab$；(2)$a = b$
【知识点】
面积法、勾股定理、完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理的经典拼图应用，通过面积关系建立代数等式，考查了面积法的运用和代数变形能力，需熟练掌握完全平方公式的展开与化简。
【难度系数】
0.5