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19.(6分)某校举行班容班貌评比活动,以班级为单位,评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目。三个班级各项目得分如下表(单位:分)所示:
(1)已知A,B两班的平均分分别是91分、92分,通过计算指出哪个班级平均分最高。
(2)若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按$2:2:1$的比例计算总成绩,此时A,B班的总成绩分别为90.6分和92.6分,求C班的总成绩,并根据总成绩从高到低给出班级排名。
(1)已知A,B两班的平均分分别是91分、92分,通过计算指出哪个班级平均分最高。
(2)若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按$2:2:1$的比例计算总成绩,此时A,B班的总成绩分别为90.6分和92.6分,求C班的总成绩,并根据总成绩从高到低给出班级排名。
答案
19.解:(1)C班的平均分为$\frac{89+94+96}{3}=93$(分),所以C班平均分最高。(2)C班的总成绩为$\frac{89×2+94×2+96×1}{2+2+1}=92.4$(分),所以$92.6＞92.4＞90.6$,所以总成绩从高到低给出班级排名顺序为B班、C班、A班。
解析
【分析】
第(1)问：要判断哪个班级平均分最高，需利用“平均分=总得分÷项目数”计算各班级平均分，题目已给出A、B班的平均分，只需计算C班的平均分，再比较三个班级的平均分大小即可得出结论。
第(2)问：按2:2:1的比例计算总成绩，需运用加权平均数公式，权重对应各项目的比例，先计算C班的加权总成绩，再将三个班级的总成绩进行比较，从而确定班级排名。
【解析】
(1) 计算C班的平均分：
C班三个项目的总得分 = 89 + 94 + 96 = 279（分），
平均分 = 总得分 ÷ 项目数 = 279 ÷ 3 = 93（分）。
已知A班平均分91分，B班平均分92分，比较得93＞92＞91，因此C班平均分最高。
(2) 按2:2:1的比例计算C班的总成绩，加权平均数公式为：总成绩 = (文化卫生得分×2 + 板报宣传得分×2 + 特色栏目得分×1) ÷ (2+2+1)。
代入C班得分：
总成绩 = (89×2 + 94×2 + 96×1) ÷ 5 = (178 + 188 + 96) ÷5 = 462 ÷5 = 92.4（分）。
已知A班总成绩90.6分，B班92.6分，比较三个成绩：92.6＞92.4＞90.6，因此班级排名从高到低为B班、C班、A班。
【答案】
(1) C班平均分最高；(2) C班的总成绩为92.4分，班级排名为B班、C班、A班。
【知识点】
平均数、加权平均数、统计应用
【点评】
本题结合实际评比场景考查平均数与加权平均数的计算，属于基础统计应用题，解题关键是准确运用对应公式，理清各班级项目得分，计算时注意加权比例的分母为各比例之和，整体难度适中，是对基础统计知识的巩固。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要判断哪个班级平均分最高，需利用“平均分=总得分÷项目数”计算各班级平均分，题目已给出A、B班的平均分，只需计算C班的平均分，再比较三个班级的平均分大小即可得出结论。
第(2)问：按2:2:1的比例计算总成绩，需运用加权平均数公式，权重对应各项目的比例，先计算C班的加权总成绩，再将三个班级的总成绩进行比较，从而确定班级排名。
【解析】
(1) 计算C班的平均分：
C班三个项目的总得分 = 89 + 94 + 96 = 279（分），
平均分 = 总得分 ÷ 项目数 = 279 ÷ 3 = 93（分）。
已知A班平均分91分，B班平均分92分，比较得93＞92＞91，因此C班平均分最高。
(2) 按2:2:1的比例计算C班的总成绩，加权平均数公式为：总成绩 = (文化卫生得分×2 + 板报宣传得分×2 + 特色栏目得分×1) ÷ (2+2+1)。
代入C班得分：
总成绩 = (89×2 + 94×2 + 96×1) ÷ 5 = (178 + 188 + 96) ÷5 = 462 ÷5 = 92.4（分）。
已知A班总成绩90.6分，B班92.6分，比较三个成绩：92.6＞92.4＞90.6，因此班级排名从高到低为B班、C班、A班。
【答案】
(1) C班平均分最高；(2) C班的总成绩为92.4分，班级排名为B班、C班、A班。
【知识点】
平均数、加权平均数、统计应用
【点评】
本题结合实际评比场景考查平均数与加权平均数的计算，属于基础统计应用题，解题关键是准确运用对应公式，理清各班级项目得分，计算时注意加权比例的分母为各比例之和，整体难度适中，是对基础统计知识的巩固。
【难度系数】
0.6
20.(8分)尺规作图:在矩形ABCD中,要求用直尺和圆规作菱形AECF,使点E,F分别在边AB,CD上。
小明:如图1,作AB的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
小刚:如图2,连结AC,作AC的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
请选择一位同学的作法,判断是否正确,并说明理由。(注:若全选,按第一种作答评分)
小明:如图1,作AB的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
小刚:如图2,连结AC,作AC的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
请选择一位同学的作法,判断是否正确,并说明理由。(注:若全选,按第一种作答评分)
答案
20.解:选以下一种即可(若两种都选,按第一种作答),参考如下:①小明的作法错误,理由如下:在矩形ABCD中,$∠ B=90°$,所以$CE＞BE$。又因为$AE=BE$,所以$CE＞AE$,所以四边形AECF不是菱形,小明的作法错误。 ②小刚的作法正确,理由如下:如图,记EF与AC交点为O,则$AO=CO$,在矩形ABCD中,$AB// CD$,所以$∠ FCA=∠ CAE$,$∠ AEF=∠ CFE$,所以$△ AEO≌△ CFO$,所以$AE=CF$,所以四边形AECF为平行四边形。因为EF是AC的中垂线,所以$□ AECF$为菱形,小刚的作法正确。
解析
【分析】
要判断两位同学的作法是否正确，需结合矩形的性质、中垂线的性质，以及菱形的判定定理分析：小明的作法是作AB的中垂线，需验证四边形AECF是否满足菱形条件；小刚的作法是作AC的中垂线，可通过证明平行四边形结合垂直条件判定菱形。
【解析】
选择小明的作法：
小明的作法错误，理由如下：
在矩形ABCD中，∠B=90°，在Rt△BCE中，斜边CE＞直角边BE。
因为EF是AB的中垂线，所以AE=BE，因此CE＞AE。
四边形AECF中，AE=BE，CE＞AE，邻边不相等，无法满足菱形“邻边相等的平行四边形”或“四边相等”的条件，故四边形AECF不是菱形，小明的作法错误。
若选择小刚的作法：
小刚的作法正确，理由如下：
记EF与AC交于点O，因为EF是AC的中垂线，所以AO=CO，且EF⊥AC。
在矩形ABCD中，AB//CD，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。
在△AEO和△CFO中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
所以△AEO≌△CFO（ASA），得AE=CF。
又AE//CF（AB//CD），故四边形AECF是平行四边形。
因为EF⊥AC，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知平行四边形AECF是菱形，所以小刚的作法正确。
【答案】
小明的作法错误，理由：在矩形ABCD中，∠B=90°，故CE＞BE；由AB的中垂线得AE=BE，所以CE＞AE，四边形AECF的邻边不相等，不是菱形，小明作法错误。
【知识点】
矩形性质、中垂线性质、菱形判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，需熟练掌握矩形、中垂线的性质及菱形的判定定理，通过逻辑推理判断作法的正确性，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要判断两位同学的作法是否正确，需结合矩形的性质、中垂线的性质，以及菱形的判定定理分析：小明的作法是作AB的中垂线，需验证四边形AECF是否满足菱形条件；小刚的作法是作AC的中垂线，可通过证明平行四边形结合垂直条件判定菱形。
【解析】
选择小明的作法：
小明的作法错误，理由如下：
在矩形ABCD中，∠B=90°，在Rt△BCE中，斜边CE＞直角边BE。
因为EF是AB的中垂线，所以AE=BE，因此CE＞AE。
四边形AECF中，AE=BE，CE＞AE，邻边不相等，无法满足菱形“邻边相等的平行四边形”或“四边相等”的条件，故四边形AECF不是菱形，小明的作法错误。
若选择小刚的作法：
小刚的作法正确，理由如下：
记EF与AC交于点O，因为EF是AC的中垂线，所以AO=CO，且EF⊥AC。
在矩形ABCD中，AB//CD，所以∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC。
在△AEO和△CFO中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\AO=CO \\∠AOE=∠COF\end{array} $
所以△AEO≌△CFO（ASA），得AE=CF。
又AE//CF（AB//CD），故四边形AECF是平行四边形。
因为EF⊥AC，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知平行四边形AECF是菱形，所以小刚的作法正确。
【答案】
小明的作法错误，理由：在矩形ABCD中，∠B=90°，故CE＞BE；由AB的中垂线得AE=BE，所以CE＞AE，四边形AECF的邻边不相等，不是菱形，小明作法错误。
【知识点】
矩形性质、中垂线性质、菱形判定
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，需熟练掌握矩形、中垂线的性质及菱形的判定定理，通过逻辑推理判断作法的正确性，是一道中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
