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21.(8分)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
(1)若方程的一个根为2,求$\frac{2b+c}{a}$的值。
(2)当$b-ac=1$时,求证:方程有两个实数根。
(1)若方程的一个根为2,求$\frac{2b+c}{a}$的值。
(2)当$b-ac=1$时,求证:方程有两个实数根。
答案
21.(1)解:把$x=2$代入,得$4a+2b+c=0$。所以$2b+c=-4a$,所以$\frac{2b+c}{a}=\frac{-4a}{a}=-4$。(2)证明:因为$b-ac=1$,所以$ac=b-1$,所以$b^2-4ac=b^2-4(b-1)=b^2-4b+4=(b-2)^2\ge0$,所以方程有两个实数根。
解析
【分析】
第(1)问，利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到a、b、c的关系式，通过变形即可求出目标分式的值；第(2)问，要证明方程有两个实数根，需计算根的判别式Δ=b²-4ac，结合已知条件b-ac=1，将Δ化简为完全平方形式，根据平方的非负性判断Δ≥0，从而完成证明。
【解析】
(1)解：把$x=2$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，得：
$4a + 2b + c = 0$
移项得：$2b + c = -4a$
因为$a≠0$，两边同除以$a$，得：
$\frac{2b+c}{a} = \frac{-4a}{a} = -4$
(2)证明：已知$b - ac =1$，则$ac = b -1$。
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2 -4ac$，将$ac = b -1$代入得：
$\Delta = b^2 -4(b -1) = b^2 -4b +4 = (b-2)^2$
因为任何数的平方都为非负数，所以$\Delta=(b-2)^2≥0$，故方程有两个实数根。
【答案】
(1)$\frac{2b+c}{a}$的值为$-4$；(2)方程有两个实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的核心基础知识点，根的定义和根的判别式，题型常规，注重公式的直接应用，需要学生熟练掌握代入法和判别式的化简计算，是一元二次方程章节的典型基础题。
【难度系数】
0.6
第(1)问，利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到a、b、c的关系式，通过变形即可求出目标分式的值；第(2)问，要证明方程有两个实数根，需计算根的判别式Δ=b²-4ac，结合已知条件b-ac=1，将Δ化简为完全平方形式，根据平方的非负性判断Δ≥0，从而完成证明。
【解析】
(1)解：把$x=2$代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，得：
$4a + 2b + c = 0$
移项得：$2b + c = -4a$
因为$a≠0$，两边同除以$a$，得：
$\frac{2b+c}{a} = \frac{-4a}{a} = -4$
(2)证明：已知$b - ac =1$，则$ac = b -1$。
一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的根的判别式为$\Delta = b^2 -4ac$，将$ac = b -1$代入得：
$\Delta = b^2 -4(b -1) = b^2 -4b +4 = (b-2)^2$
因为任何数的平方都为非负数，所以$\Delta=(b-2)^2≥0$，故方程有两个实数根。
【答案】
(1)$\frac{2b+c}{a}$的值为$-4$；(2)方程有两个实数根，证明成立。
【知识点】
一元二次方程的根的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的核心基础知识点，根的定义和根的判别式，题型常规，注重公式的直接应用，需要学生熟练掌握代入法和判别式的化简计算，是一元二次方程章节的典型基础题。
【难度系数】
0.6
22.(8分)近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高，据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1 000人增加到2025年的1 210人。
(1)求2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率。
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组，当每组售价为50元时，3月份售出了1 600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销，为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式。经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36 000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
(1)求2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率。
(2)某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组，当每组售价为50元时，3月份售出了1 600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销，为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式。经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36 000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？
答案
22.解:(1)设2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率为$x$,由题意得$1000(1+x)^2=1210$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不符合题意,舍去)。答:2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率为10%。(2)设该护膝肌贴组每组应降价$m$元,则4月份销售量为$(1600+200m)$组,由题意得$(50-m-30)(1600+200m)=36000$,整理得$m^2-12m+20=0$,解得$m_1=2$(不符合题意,舍去),$m_2=10$。答:该护膝肌贴组每组应降价10元。
解析
【分析】
第(1)问是年均增长率问题，核心利用“初始量×(1+年均增长率)^年数=最终量”的关系，设年均增长率为x，结合2023年人数和2025年人数列一元二次方程，求解后舍去负的、不符合实际意义的解。第(2)问是利润问题，总利润=单件利润×销售量，设降价m元，分别表示出单件利润和销售量，结合总利润列方程，再根据“尽可能多让利于顾客”的要求舍去不合理的解。
【解析】
22.解：
(1)设2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率为$x$，
由题意得：$1000(1+x)^2 = 1210$，
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（不符合题意，舍去）。
答：2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率为10%。
(2)设该护膝肌贴组每组应降价$m$元，则4月份销售量为$(1600 + 200m)$组，
由题意得：$(50 - m - 30)(1600 + 200m) = 36000$，
整理得：$m^2 - 12m + 20 = 0$，
解得：$m_1 = 2$（不符合题意，舍去），$m_2 = 10$。
答：该护膝肌贴组每组应降价10元。
【答案】
(1)年均增长率为10%；(2)每组应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是两道典型的一元二次方程实际应用题，分别考查增长率和利润问题，解题关键是找准等量关系列方程，需结合实际意义舍去不合理的解，第二问还需根据“尽可能多让利于顾客”的条件确定最终解，是初中数学的常规考点。
【难度系数】
0.6
第(1)问是年均增长率问题，核心利用“初始量×(1+年均增长率)^年数=最终量”的关系，设年均增长率为x，结合2023年人数和2025年人数列一元二次方程，求解后舍去负的、不符合实际意义的解。第(2)问是利润问题，总利润=单件利润×销售量，设降价m元，分别表示出单件利润和销售量，结合总利润列方程，再根据“尽可能多让利于顾客”的要求舍去不合理的解。
【解析】
22.解：
(1)设2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率为$x$，
由题意得：$1000(1+x)^2 = 1210$，
解得：$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（不符合题意，舍去）。
答：2024,2025这两年参加“贵门”轻越野跑跑友人数的年均增长率为10%。
(2)设该护膝肌贴组每组应降价$m$元，则4月份销售量为$(1600 + 200m)$组，
由题意得：$(50 - m - 30)(1600 + 200m) = 36000$，
整理得：$m^2 - 12m + 20 = 0$，
解得：$m_1 = 2$（不符合题意，舍去），$m_2 = 10$。
答：该护膝肌贴组每组应降价10元。
【答案】
(1)年均增长率为10%；(2)每组应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是两道典型的一元二次方程实际应用题，分别考查增长率和利润问题，解题关键是找准等量关系列方程，需结合实际意义舍去不合理的解，第二问还需根据“尽可能多让利于顾客”的条件确定最终解，是初中数学的常规考点。
【难度系数】
0.6
