23.(10分)如图1,在正方形ABCD中,点E在AB的延长线上,连结CE,过点A作AF⊥CE于点F,分别交对角线BD和边BC于点G,H。
(1)求证:BE=BH。
(2)如图2,连结CG,EG,已知BD=2,设BH=x,AE=y。
①求y关于x的函数表达式。
②当$x=2-\sqrt{2}$时,求四边形BECG的面积。

23.(1)证明:在正方形ABCD中,$AB=BC$,$∠ ABC=90°$,所以$∠ CBE=∠ ABC=90°$,所以$∠ BCE+∠ BEC=90°$。因为$AF⊥ CE$,所以$∠ BAH+∠ BEC=90°$,所以$∠ BAH=∠ BCE$,所以$△ BAH≌△ BCE$,所以$BE=BH$。(2)解:①由(1)知$BE=BH=x$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理,易得$2AB^2=BD^2=4$,所以$AB=\sqrt{2}$。所以$AE=AB+BE=x+\sqrt{2}$,即$y=x+\sqrt{2}$。②当$x=2-\sqrt{2}$时,$y=2$。连结AC,则$AC=BD=2$。所以$AE=AC=2$。因为$AF⊥ CE$,所以$CF=EF$,所以$GC=GE$。因为$DA=DC$,$BA=BC$,所以BD为AC的中垂线,所以$GC=GA$,所以$GA=GE$。过G作$GM⊥ AE$于点M,则$AM=EM=1$,$GM// BC$,所以$BE=2-\sqrt{2}$,$BM=\sqrt{2}-1$,G到BC的距离为$\sqrt{2}-1$。所以$S_{\mathrm{四边形}BECG}=S_{△ BEC}+S_{△ BGC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×(2-\sqrt{2})+\frac{1}{2}×\sqrt{2}×(\sqrt{2}-1)=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【分析】
本题是正方形相关的几何综合题，分两小问逐步求解：第(1)问通过证明三角形全等得到线段相等；第(2)问结合正方形对角线性质、线段关系求函数表达式，再通过辅助线构造等腰三角形计算四边形面积。
1. 第(1)问：要证BE=BH，利用正方形的边相等和直角，结合AF⊥CE推出角相等，证明△BAH与△BCE全等即可；
2. 第(2)问①：先由正方形对角线长度求边长，再结合(1)中BE=BH的关系，推导y与x的函数式；
3. 第(2)问②：代入x的值求y，利用正方形对角线的中垂线性质，作辅助线GM⊥AE，结合等腰三角形性质求线段长度，最终计算四边形面积。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠CBE=∠ABC=90°，
∴∠BCE + ∠BEC = 90°。
∵AF⊥CE，
∴∠AFE=90°，
∴∠BAH + ∠BEC = 90°，
∴∠BAH = ∠BCE。
在△BAH和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}∠BAH=∠BCE \\AB=BC \\∠ABH=∠CBE=90°\end{array} $
∴△BAH≌△BCE（ASA），
∴BE=BH。
(2) 解：① 在Rt△ABD中，正方形对角线BD=√2 AB，已知BD=2，
∴AB = BD/√2 = 2/√2 = √2。
由(1)知BE=BH=x，
∴AE = AB + BE = √2 + x，即y = x + √2。
② 当x=2 - √2时，代入y=x+√2得：
y = (2 - √2) + √2 = 2。
连结AC，正方形ABCD中AC=BD=2，故AE=AC=2。
∵AF⊥CE，
∴AF是CE的中垂线，得GC=GE；
又正方形对角线BD垂直平分AC，得GC=GA，
∴GA=GE。
过G作GM⊥AE于点M，由GA=GE得AM=EM=½AE=1。
∵GM//BC，△GMB为等腰直角三角形，MB=GM，
∴MB=AB - AM=√2 -1，即GM=√2 -1。
四边形BECG的面积=S△BEC + S△BGC，
S△BEC=½×BE×BC=½×(2 - √2)×√2=√2 -1，
S△BGC=½×BC×GM=½×√2×(√2 -1)=1 - √2/2，
∴总面积= (√2 -1) + (1 - √2/2)= √2/2。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ① $y=x+\sqrt{2}$；② 四边形BECG的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

【知识点】
正方形性质，全等三角形判定，函数表达式，四边形面积计算
【点评】
本题综合考查正方形的核心性质、全等三角形的判定与性质、函数关系及面积计算，辅助线构造和中垂线性质的运用是解题关键，需具备较强的几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.5