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22.(10分)综合与实践
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补(即对角之和为$180°$),则称这个四边形为“圆满四边形”。
【概念理解】
(1)在①矩形,②菱形中,是“圆满四边形”的是________。(填序号)
【性质探究】
(2)如图1,已知四边形$ABCD$是“圆满四边形”,若$AB=AD=3$,$CB=CD$,对角线$AC=5$,求四边形$ABCD$的周长。
【判定探究】
(3)如图2,已知$OD$平分$∠ AOB$,点$C$在射线$OD$上,$CE⊥ OA$于点$E$,$CF⊥ OB$于点$F$,点$G$在射线$EA$上,点$H$在线段$OF$上,$EG=FH$,连结$CG$,$CH$。求证:四边形$GOHC$为“圆满四边形”。
【定义学习】
若一个四边形有一组对角互补(即对角之和为$180°$),则称这个四边形为“圆满四边形”。
【概念理解】
(1)在①矩形,②菱形中,是“圆满四边形”的是________。(填序号)
【性质探究】
(2)如图1,已知四边形$ABCD$是“圆满四边形”,若$AB=AD=3$,$CB=CD$,对角线$AC=5$,求四边形$ABCD$的周长。
【判定探究】
(3)如图2,已知$OD$平分$∠ AOB$,点$C$在射线$OD$上,$CE⊥ OA$于点$E$,$CF⊥ OB$于点$F$,点$G$在射线$EA$上,点$H$在线段$OF$上,$EG=FH$,连结$CG$,$CH$。求证:四边形$GOHC$为“圆满四边形”。
答案
22.(1)① (2)解:因为$AB=AD$,$CB=CD$,$AC=AC$,所以$△ ABC≌△ ADC$(SSS),所以$∠B=∠D$,因为四边形ABCD是“圆满四边形”,所以$∠B+∠D=180°$,所以$∠B=∠D=90°$,因为$AB=AD=3$,$AC=5$,所以$CB=CD=\sqrt{AC^2-AB^2}=4$,所以四边形ABCD的周长为$2AB+2BC=6+8=14$。(3)证明:因为OD平分$∠AOB$,$CE⊥ OA$于点E,$CF⊥ OB$于点F,所以$CE=CF$,$∠CEG=∠CFH=90°$,因为$EG=FH$,所以$△ CEG≌△ CFH$(SAS),所以$∠CGE=∠CHF$,因为$∠CHF+∠OHC=180°$,所以$∠CGE+∠OHC=180°$,所以四边形GOHC为“圆满四边形”。
解析
【分析】
首先明确“圆满四边形”的定义：一组对角之和为180°的四边形。第(1)问需判断矩形、菱形的对角是否满足互补条件；第(2)问通过SSS证明△ABC与△ADC全等，得到∠B=∠D，结合圆满四边形定义推出∠B和∠D为直角，再用勾股定理求出CB、CD的长度，进而计算周长；第(3)问利用角平分线的性质得到CE=CF，结合EG=FH证明△CEG与△CFH全等，得到对应角相等，再结合平角的性质推出四边形GOHC的一组对角互补，从而完成判定。
【解析】
(1) 矩形的对角均为90°，和为180°，符合“圆满四边形”定义；菱形的对角相等但不一定互补，故答案为①。
(2) 在△ABC和△ADC中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\CB=CD\\AC=AC\end{array} $，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D。
∵四边形ABCD是“圆满四边形”，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠D=90°。在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，
∴$CB=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，同理CD=4，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+DA=3+4+4+3=14$。
(3)
∵OD平分∠AOB，CE⊥OA，CF⊥OB，
∴CE=CF，∠CEG=∠CFH=90°。在△CEG和△CFH中，$\{\begin{array}{l}CE=CF\\∠CEG=∠CFH\\EG=FH\end{array} $，
∴△CEG≌△CFH(SAS)，
∴∠CGE=∠CHF。
∵∠CHF+∠OHC=180°，
∴∠CGE+∠OHC=180°，即四边形GOHC的一组对角互补，
∴四边形GOHC为“圆满四边形”。
【答案】
(1) ①；(2) 14；(3) 四边形GOHC为“圆满四边形”
【知识点】
四边形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题是新定义类综合题，围绕“圆满四边形”的定义展开，综合考查了四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，需要学生理解新定义并结合已有知识进行逻辑推理，注重对几何知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
首先明确“圆满四边形”的定义：一组对角之和为180°的四边形。第(1)问需判断矩形、菱形的对角是否满足互补条件；第(2)问通过SSS证明△ABC与△ADC全等，得到∠B=∠D，结合圆满四边形定义推出∠B和∠D为直角，再用勾股定理求出CB、CD的长度，进而计算周长；第(3)问利用角平分线的性质得到CE=CF，结合EG=FH证明△CEG与△CFH全等，得到对应角相等，再结合平角的性质推出四边形GOHC的一组对角互补，从而完成判定。
【解析】
(1) 矩形的对角均为90°，和为180°，符合“圆满四边形”定义；菱形的对角相等但不一定互补，故答案为①。
(2) 在△ABC和△ADC中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\CB=CD\\AC=AC\end{array} $，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠B=∠D。
∵四边形ABCD是“圆满四边形”，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠D=90°。在Rt△ABC中，AB=3，AC=5，
∴$CB=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，同理CD=4，
∴四边形ABCD的周长为$AB+BC+CD+DA=3+4+4+3=14$。
(3)
∵OD平分∠AOB，CE⊥OA，CF⊥OB，
∴CE=CF，∠CEG=∠CFH=90°。在△CEG和△CFH中，$\{\begin{array}{l}CE=CF\\∠CEG=∠CFH\\EG=FH\end{array} $，
∴△CEG≌△CFH(SAS)，
∴∠CGE=∠CHF。
∵∠CHF+∠OHC=180°，
∴∠CGE+∠OHC=180°，即四边形GOHC的一组对角互补，
∴四边形GOHC为“圆满四边形”。
【答案】
(1) ①；(2) 14；(3) 四边形GOHC为“圆满四边形”
【知识点】
四边形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质
【点评】
本题是新定义类综合题，围绕“圆满四边形”的定义展开，综合考查了四边形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，需要学生理解新定义并结合已有知识进行逻辑推理，注重对几何知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
23.(10分)某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价时,日销售量$ y $(盒)与销售单价$ x $(元)是一次函数关系,下表是$ y $与$ x $的几组对应值。
(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式。
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润为448元?
(3)超市决定从售出的每盒糖果所获得的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院,那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗?若可以,请求出该糖果的销售单价;若不可以,请说明理由。
(1)求$ y $关于$ x $的函数表达式。
(2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润为448元?
(3)超市决定从售出的每盒糖果所获得的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院,那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗?若可以,请求出该糖果的销售单价;若不可以,请说明理由。
答案
23.解:(1)设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$,由题意得$\begin{cases}12k+b=56,\\14k+b=52,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-2,\\b=80。\end{cases}$所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=-2x+80$。(2)由题意,得$(x-10)(-2x+80)=448$,解得$x_1=26$,$x_2=24$。答:糖果销售单价定为26元或24元时,所获日销售利润为448元。(3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元。理由如下:该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元。由题意,得$(x-10)(-2x+80)-2(-2x+80)=400$。整理,得$x^2-52x+680=0$,因为$(-52)^2-4×680=-16＜0$,所以此方程无实数根。即该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
解析
【分析】
第(1)问：已知日销售量y与销售单价x是一次函数关系，设一次函数表达式y=kx+b，选取表格中两组对应值代入，解二元一次方程组即可求出k、b，得到y关于x的函数表达式。
第(2)问：日销售利润=（销售单价-进价）×日销售量，将(1)中求出的y代入该公式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到对应的销售单价。
第(3)问：去掉捐款后，总利润为原利润减去捐款总额，据此列出方程，整理后利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，进而判断是否能达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$x=12,y=56$和$x=14,y=52$代入得：
$\begin{cases}12k + b = 56 \\14k + b = 52 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=80 \end{cases}$，因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x+80$。
(2) 由日销售利润公式：利润=（单价-进价）×销售量，代入进价10元、$y=-2x+80$，得：
$(x-10)(-2x+80)=448$
整理得$x^2 -50x +624=0$，解得$x_1=24,x_2=26$。
答：糖果销售单价定为24元或26元时，所获日销售利润为448元。
(3) 去掉捐款后，总利润为原利润减去捐款总额，列方程：
$(x-10)(-2x+80)-2(-2x+80)=400$
整理得$x^2 -52x +680=0$，计算判别式$\Delta=(-52)^2 -4×1×680=-16＜0$，此方程无实数根，因此该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
【答案】
(1)$y=-2x+80$；(2)24元或26元；(3)不可以，理由见解析。
【知识点】
一次函数表达式、一元二次方程应用、根的判别式
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用问题，属于常见的销售利润类应用题，考查函数建模、方程求解及判别式的应用，是初中数学常规题型。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知日销售量y与销售单价x是一次函数关系，设一次函数表达式y=kx+b，选取表格中两组对应值代入，解二元一次方程组即可求出k、b，得到y关于x的函数表达式。
第(2)问：日销售利润=（销售单价-进价）×日销售量，将(1)中求出的y代入该公式，得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到对应的销售单价。
第(3)问：去掉捐款后，总利润为原利润减去捐款总额，据此列出方程，整理后利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根，进而判断是否能达到目标利润。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$x=12,y=56$和$x=14,y=52$代入得：
$\begin{cases}12k + b = 56 \\14k + b = 52 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2 \\b=80 \end{cases}$，因此$y$关于$x$的函数表达式为$y=-2x+80$。
(2) 由日销售利润公式：利润=（单价-进价）×销售量，代入进价10元、$y=-2x+80$，得：
$(x-10)(-2x+80)=448$
整理得$x^2 -50x +624=0$，解得$x_1=24,x_2=26$。
答：糖果销售单价定为24元或26元时，所获日销售利润为448元。
(3) 去掉捐款后，总利润为原利润减去捐款总额，列方程：
$(x-10)(-2x+80)-2(-2x+80)=400$
整理得$x^2 -52x +680=0$，计算判别式$\Delta=(-52)^2 -4×1×680=-16＜0$，此方程无实数根，因此该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元。
【答案】
(1)$y=-2x+80$；(2)24元或26元；(3)不可以，理由见解析。
【知识点】
一次函数表达式、一元二次方程应用、根的判别式
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用问题，属于常见的销售利润类应用题，考查函数建模、方程求解及判别式的应用，是初中数学常规题型。
【难度系数】
0.6
