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24.(12分)如图,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连结BE,点C关于直线BE的对称点为点F,连结BF,EF。
(1)如图1,若点F恰好落在对角线BD上,连结AF,求∠CAF的度数。
(2)如图2,连结DF,CF,若DF//BE,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系,并说明理由。
(3)如图3,连结DF,DE,记△DEF的面积为$S_1$,△BEF的面积为$S_2$,若$DF⊥FE$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值。
(1)如图1,若点F恰好落在对角线BD上,连结AF,求∠CAF的度数。
(2)如图2,连结DF,CF,若DF//BE,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系,并说明理由。
(3)如图3,连结DF,DE,记△DEF的面积为$S_1$,△BEF的面积为$S_2$,若$DF⊥FE$,求$\frac{S_1}{S_2}$的值。
答案
24.解:(1)因为四边形ABCD是正方形,所以$AB=BC$,$∠BAD=∠ABC=90°$,$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=45°$,$∠BAC=\frac{1}{2}∠BAD=45°$,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以$BF=BC$,所以$AB=BF$,所以$∠BAF=∠AFB=\frac{180°-∠ABD}{2}=67.5°$,所以$∠CAF=∠BAF-∠BAC=22.5°$。(2)$DF⊥ CF$,$CF=2DF$。理由如下:如图1,延长BE,交CF于点G,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以$BG⊥ CF$,$CF=2CG$,所以$∠BGC=90°$,因为$DF// BE$,所以$DF⊥ CF$,所以$∠CFD=90°$,所以$∠CFD=∠BGC=90°$,所以$∠DCF+∠CDF=90°$,因为$∠BCD=90°$,所以$∠BCG+∠DCF=90°$,所以$∠CDF=∠BCG$,因为$BC=CD$,所以$△ BCG≌△ CDF$(AAS),所以$CG=DF$,所以$CF=2DF$。
(3)如图2,作$BH⊥ DF$,交DF的延长线于点H,作$BG⊥ FE$,交FE的延长线于点G,连结BD,交AC于点O。不妨设正方形的边长是2,因为四边形ABCD是正方形,所以$BD⊥ AC$,$BD=\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$,$OB=OD=\sqrt{2}$,$∠ACB=\frac{1}{2}∠BCD=45°$,因为点C关于直线BE的对称点为点F,所以$S_{△ BCE}=S_{△ BEF}$,$CE=EF$,$∠BFE=∠ACB=45°$,$BF=BC=2$,所以$\frac{1}{2}EF· BG=\frac{1}{2}CE· OB$,所以$BG=OB=\sqrt{2}$,因为$DF⊥ EF$,所以$∠DFE=90°$,所以$∠BFH=180°-∠DFE-∠BFE=45°$,所以$BH=FH=\frac{\sqrt{2}}{2}BF=\sqrt{2}$,所以$DH=\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$,所以$DF=DH-FH=\sqrt{6}-\sqrt{2}$,所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}EF· DF}{\frac{1}{2}EF· BG}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}-1$。
解析
【分析】
第(1)问：先利用正方形的边相等、对角线平分内角的性质得到AB=BC、∠BAC=45°，再根据对称点的性质得BF=BC，从而AB=BF，结合正方形对角线BD的夹角∠ABD=45°，在等腰△ABF中用内角和算出∠BAF，最后减去∠BAC得到∠CAF；
第(2)问：由对称性质得BE垂直平分CF，即BE⊥CF且CF=2CG，结合DF//BE推出DF⊥CF，再通过同角的余角相等得到∠CDF=∠BCG，结合BC=CD，用AAS证明△BCG≌△CDF，得CG=DF，进而推出CF=2DF；
第(3)问：利用对称性质得S△BCE=S△BEF、CE=EF，作两条垂线，结合DF⊥FE的条件算出相关角度，通过勾股定理和三角函数计算出DF的长度，最后利用三角形面积公式的比值化简得到结果。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAC=45°，∠ABD=45°，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴BF=BC，
∴AB=BF，
在△ABF中，∠BAF=(180°-∠ABD)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠CAF=∠BAF - ∠BAC=67.5°-45°=22.5°；
(2) DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：
延长BE交CF于点G，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴BE垂直平分CF，即BG⊥CF，CF=2CG，
∴∠BGC=90°，
∵DF//BE，
∴DF⊥CF，即∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠BGC=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG + ∠DCF=90°，又∠DCF + ∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠BCG，
又
∵BC=CD，
∴△BCG≌△CDF(AAS)，
∴CG=DF，
∴CF=2CG=2DF；
(3) 作BH⊥DF交DF的延长线于点H，作BG⊥FE交FE的延长线于点G，连结BD交AC于点O，设正方形边长为2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD=√2 AB=2√2，OB=OD=√2，∠ACB=45°，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴S△BCE=S△BEF，CE=EF，∠BFE=∠ACB=45°，BF=BC=2，
∵S△BCE=(1/2)CE·OB，S△BEF=(1/2)EF·BG，且CE=EF，
∴BG=OB=√2，
∵DF⊥FE，
∴∠DFE=90°，
∴∠BFH=180°-∠DFE -∠BFE=180°-90°-45°=45°，
在Rt△BFH中，BH=FH=BF·sin45°=2×(√2/2)=√2，
在Rt△BDH中，DH=√(BD² - BH²)=√[(2√2)² - (√2)²]=√(8-2)=√6，
∴DF=DH - FH=√6 -√2，
∵S1=(1/2)EF·DF，S2=(1/2)EF·BG，
∴S1/S2=DF/BG=(√6 -√2)/√2=√3 -1；
【答案】
(1) 22.5°；(2) DF⊥CF，CF=2DF；(3) √3 -1；，
【知识点】
正方形性质、轴对称性质、全等三角形判定
【点评】
本题是正方形与轴对称、全等三角形结合的几何综合题，需熟练运用正方形的性质，利用对称转化线段和角度关系，第(3)问需合理作辅助线，结合勾股定理和三角函数计算，对几何综合能力要求较高，是典型的中考几何压轴题。
【难度系数】
0.3
第(1)问：先利用正方形的边相等、对角线平分内角的性质得到AB=BC、∠BAC=45°，再根据对称点的性质得BF=BC，从而AB=BF，结合正方形对角线BD的夹角∠ABD=45°，在等腰△ABF中用内角和算出∠BAF，最后减去∠BAC得到∠CAF；
第(2)问：由对称性质得BE垂直平分CF，即BE⊥CF且CF=2CG，结合DF//BE推出DF⊥CF，再通过同角的余角相等得到∠CDF=∠BCG，结合BC=CD，用AAS证明△BCG≌△CDF，得CG=DF，进而推出CF=2DF；
第(3)问：利用对称性质得S△BCE=S△BEF、CE=EF，作两条垂线，结合DF⊥FE的条件算出相关角度，通过勾股定理和三角函数计算出DF的长度，最后利用三角形面积公式的比值化简得到结果。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAC=45°，∠ABD=45°，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴BF=BC，
∴AB=BF，
在△ABF中，∠BAF=(180°-∠ABD)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°，
∴∠CAF=∠BAF - ∠BAC=67.5°-45°=22.5°；
(2) DF⊥CF，CF=2DF，理由如下：
延长BE交CF于点G，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴BE垂直平分CF，即BG⊥CF，CF=2CG，
∴∠BGC=90°，
∵DF//BE，
∴DF⊥CF，即∠CFD=90°，
∴∠CFD=∠BGC=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCG + ∠DCF=90°，又∠DCF + ∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠BCG，
又
∵BC=CD，
∴△BCG≌△CDF(AAS)，
∴CG=DF，
∴CF=2CG=2DF；
(3) 作BH⊥DF交DF的延长线于点H，作BG⊥FE交FE的延长线于点G，连结BD交AC于点O，设正方形边长为2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BD=√2 AB=2√2，OB=OD=√2，∠ACB=45°，
∵点C关于直线BE的对称点为F，
∴S△BCE=S△BEF，CE=EF，∠BFE=∠ACB=45°，BF=BC=2，
∵S△BCE=(1/2)CE·OB，S△BEF=(1/2)EF·BG，且CE=EF，
∴BG=OB=√2，
∵DF⊥FE，
∴∠DFE=90°，
∴∠BFH=180°-∠DFE -∠BFE=180°-90°-45°=45°，
在Rt△BFH中，BH=FH=BF·sin45°=2×(√2/2)=√2，
在Rt△BDH中，DH=√(BD² - BH²)=√[(2√2)² - (√2)²]=√(8-2)=√6，
∴DF=DH - FH=√6 -√2，
∵S1=(1/2)EF·DF，S2=(1/2)EF·BG，
∴S1/S2=DF/BG=(√6 -√2)/√2=√3 -1；
【答案】
(1) 22.5°；(2) DF⊥CF，CF=2DF；(3) √3 -1；
，【知识点】
正方形性质、轴对称性质、全等三角形判定
【点评】
本题是正方形与轴对称、全等三角形结合的几何综合题，需熟练运用正方形的性质，利用对称转化线段和角度关系，第(3)问需合理作辅助线，结合勾股定理和三角函数计算，对几何综合能力要求较高，是典型的中考几何压轴题。
【难度系数】
0.3
