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20.(8分)李老师要从小聪、小亮两人中选拔一人参加知识竞赛,现对两人的5次测试成绩进行整理分析,两人的成绩如下:
小聪:76,80,79,85,80；
小亮:77,79,81,82,81。
李老师将两人的成绩分析如下(单位:分):
(1)填空:$a=$
(2)李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差$S^{2}_{小聪}=8.4$分²,请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差。
(3)根据以上信息,请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择,并说明理由。
小聪:76,80,79,85,80；
小亮:77,79,81,82,81。
李老师将两人的成绩分析如下(单位:分):
(1)填空:$a=$
80
;$b=$81
;$c=$80
。(2)李老师已经求得小聪5次测试成绩的方差$S^{2}_{小聪}=8.4$分²,请你帮助李老师计算小亮5次测试成绩的方差。
(3)根据以上信息,请你运用所学的统计知识帮助李老师作出选择,并说明理由。
答案
20.(1)80 81 80 (2)解:$S_{小亮}^2=\frac{1}{5}[(77-80)^2+(79-80)^2+(81-80)^2+(82-80)^2+(81-80)^2]=\frac{1}{5}(9+1+1+4+1)=3.2(分^2)$。答:小亮5次测试成绩的方差为3.2分²。(3)解:选择小亮参加知识竞赛。理由如下:两人的平均成绩相同,但小亮成绩的方差较小,成绩更稳定。
解析
【分析】
要解决本题，需掌握平均数、中位数、众数的计算方法，以及方差的计算公式，再根据统计量的实际意义选择参赛人员。步骤如下：1. 计算小聪的平均成绩a，即5次成绩总和除以次数；2. 确定小亮的中位数b，需先将小亮成绩排序，取中间位置的数；3. 找出小聪成绩中出现次数最多的数，即众数c；4. 利用方差公式计算小亮成绩的方差；5. 对比两人的平均成绩和方差，选择成绩更稳定的参赛人员。
【解析】
(1) 计算a：小聪5次成绩总和为$76+80+79+85+80=400$，平均成绩$a=400÷5=80$；
计算b：将小亮的成绩从小到大排序为$77,79,81,81,82$，共5个数据，中位数是第3个数据，故$b=81$；
计算c：小聪的成绩中，80出现2次，次数最多，故众数$c=80$；
(2) 计算小亮的方差：
已知小亮平均成绩为80，根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据：
$S_{小亮}^2=\frac{1}{5}[(77-80)^2+(79-80)^2+(81-80)^2+(82-80)^2+(81-80)^2]$
=$\frac{1}{5}(9+1+1+4+1)$
=$\frac{1}{5}×16=3.2$（分²）；
(3) 选择参赛人员：
两人的平均成绩相同，均为80分；小亮成绩的方差（3.2分²）小于小聪成绩的方差（8.4分²），说明小亮的成绩更稳定，故选择小亮参加知识竞赛。
【答案】
(1)80；81；80；(2)3.2分²；(3)选择小亮参加知识竞赛，理由：两人平均成绩相同，小亮成绩方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数、中位数与众数、方差
【点评】
本题考查统计基本量的计算及实际应用，属于基础题型，需熟练掌握各统计量的定义与计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需掌握平均数、中位数、众数的计算方法，以及方差的计算公式，再根据统计量的实际意义选择参赛人员。步骤如下：1. 计算小聪的平均成绩a，即5次成绩总和除以次数；2. 确定小亮的中位数b，需先将小亮成绩排序，取中间位置的数；3. 找出小聪成绩中出现次数最多的数，即众数c；4. 利用方差公式计算小亮成绩的方差；5. 对比两人的平均成绩和方差，选择成绩更稳定的参赛人员。
【解析】
(1) 计算a：小聪5次成绩总和为$76+80+79+85+80=400$，平均成绩$a=400÷5=80$；
计算b：将小亮的成绩从小到大排序为$77,79,81,81,82$，共5个数据，中位数是第3个数据，故$b=81$；
计算c：小聪的成绩中，80出现2次，次数最多，故众数$c=80$；
(2) 计算小亮的方差：
已知小亮平均成绩为80，根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2]$，代入数据：
$S_{小亮}^2=\frac{1}{5}[(77-80)^2+(79-80)^2+(81-80)^2+(82-80)^2+(81-80)^2]$
=$\frac{1}{5}(9+1+1+4+1)$
=$\frac{1}{5}×16=3.2$（分²）；
(3) 选择参赛人员：
两人的平均成绩相同，均为80分；小亮成绩的方差（3.2分²）小于小聪成绩的方差（8.4分²），说明小亮的成绩更稳定，故选择小亮参加知识竞赛。
【答案】
(1)80；81；80；(2)3.2分²；(3)选择小亮参加知识竞赛，理由：两人平均成绩相同，小亮成绩方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数、中位数与众数、方差
【点评】
本题考查统计基本量的计算及实际应用，属于基础题型，需熟练掌握各统计量的定义与计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义。
【难度系数】
0.6
21.(8分)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE=DF,连结AE,CF,AC。
(1)求证:四边形AECF为平行四边形。
(2)若CF=AF=5,AC=8,求四边形AECF的面积。
(1)求证:四边形AECF为平行四边形。
(2)若CF=AF=5,AC=8,求四边形AECF的面积。
答案
21.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD=BC$。又因为$BE=DF$,所以$AD-DF=BC-BE$,所以$AF=EC$。又因为$AF// EC$,所以四边形AECF为平行四边形。(2)解:因为四边形AECF为平行四边形,$CF=AF=5$,所以平行四边形AECF为菱形。如图,连结EF交AC于点O,所以$AC⊥ EF$,$AO=\frac{1}{2}AC=4$,$EF=2OF$。所以$OF=\sqrt{AF^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。所以$EF=6$。故$S_{四边形AECF}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}×8×6=24$。
解析
【分析】
第(1)问：要证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，需结合平行四边形ABCD的性质推导AF与EC的关系。利用ABCD中AD//BC且AD=BC，结合BE=DF，可得到AF=EC，同时AF//EC，从而完成证明。
第(2)问：由第(1)问知AECF是平行四边形，结合CF=AF可判定其为菱形。利用菱形“对角线互相垂直平分”的性质，连接EF与AC交于点O，通过勾股定理求出EF的长度，再根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且AD=BC。
又
∵ BE=DF，
∴ AD - DF = BC - BE，即 AF = EC。
又
∵ AF//EC（AD//BC，即AF与EC平行），
∴ 四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形AECF为平行四边形，且CF=AF=5，
∴ 平行四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
如图，连结EF交AC于点O，
∴ AC⊥EF，AO = ½AC = ½×8 = 4，EF = 2OF。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
OF = √(AF² - AO²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ EF = 2×3 = 6。
∴ S四边形AECF = ½×AC×EF = ½×8×6 = 24。
【答案】
21.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD=BC$。又因为$BE=DF$,所以$AD-DF=BC-BE$,所以$AF=EC$。又因为$AF// EC$,所以四边形AECF为平行四边形。(2)解:因为四边形AECF为平行四边形,$CF=AF=5$,所以平行四边形AECF为菱形。如图,连结EF交AC于点O,所以$AC⊥ EF$,$AO=\frac{1}{2}AC=4$,$EF=2OF$。所以$OF=\sqrt{AF^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。所以$EF=6$。故$S_{四边形AECF}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}×8×6=24$。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题关键是熟练运用图形的性质与判定定理，通过线段关系推导图形形状，再利用菱形面积公式计算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
第(1)问：要证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定定理，需结合平行四边形ABCD的性质推导AF与EC的关系。利用ABCD中AD//BC且AD=BC，结合BE=DF，可得到AF=EC，同时AF//EC，从而完成证明。
第(2)问：由第(1)问知AECF是平行四边形，结合CF=AF可判定其为菱形。利用菱形“对角线互相垂直平分”的性质，连接EF与AC交于点O，通过勾股定理求出EF的长度，再根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，且AD=BC。
又
∵ BE=DF，
∴ AD - DF = BC - BE，即 AF = EC。
又
∵ AF//EC（AD//BC，即AF与EC平行），
∴ 四边形AECF为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形AECF为平行四边形，且CF=AF=5，
∴ 平行四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
如图，连结EF交AC于点O，
∴ AC⊥EF，AO = ½AC = ½×8 = 4，EF = 2OF。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
OF = √(AF² - AO²) = √(5² - 4²) = √9 = 3，
∴ EF = 2×3 = 6。
∴ S四边形AECF = ½×AC×EF = ½×8×6 = 24。
【答案】
21.(1)证明:因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD=BC$。又因为$BE=DF$,所以$AD-DF=BC-BE$,所以$AF=EC$。又因为$AF// EC$,所以四边形AECF为平行四边形。(2)解:因为四边形AECF为平行四边形,$CF=AF=5$,所以平行四边形AECF为菱形。如图,连结EF交AC于点O,所以$AC⊥ EF$,$AO=\frac{1}{2}AC=4$,$EF=2OF$。所以$OF=\sqrt{AF^2-AO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。所以$EF=6$。故$S_{四边形AECF}=\frac{1}{2}AC· EF=\frac{1}{2}×8×6=24$。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题关键是熟练运用图形的性质与判定定理，通过线段关系推导图形形状，再利用菱形面积公式计算，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.6
