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20.(8分)观察以下等式:
第1个等式:$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$,
第2个等式:$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$,
第3个等式:$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第4个等式:________。
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的等式表示),并证明。
第1个等式:$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$,
第2个等式:$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$,
第3个等式:$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第4个等式:________。
(2)写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的等式表示),并证明。
答案
20.(1)$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2)解:结合规律猜想第$n$个等式为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$($n$为正整数)。证明如下:左边$=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$右边,即$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
(2)解:结合规律猜想第$n$个等式为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$($n$为正整数)。证明如下:左边$=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$右边,即$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$。
解析
【分析】
要解决这道题，需先观察前3个等式，找出等式序号与式子各部分的对应规律：第k个等式中，根号内的整数为k，分数的分母为k+2，等式右边为(k+1)乘以根号下该分数。据此可写出第4个等式，再归纳出第n个等式，最后通过二次根式的化简证明等式成立。
【解析】
(1) 观察前3个等式：
第1个等式（k=1）：$\sqrt{1+\frac{1}{1+2}}=(1+1)\sqrt{\frac{1}{1+2}}$，即$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
第2个等式（k=2）：$\sqrt{2+\frac{1}{2+2}}=(2+1)\sqrt{\frac{1}{2+2}}$，即$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
第3个等式（k=3）：$\sqrt{3+\frac{1}{3+2}}=(3+1)\sqrt{\frac{1}{3+2}}$，即$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；
因此，第4个等式（k=4）为：$\sqrt{4+\frac{1}{4+2}}=(4+1)\sqrt{\frac{1}{4+2}}$，即$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$。
(2) 猜想第n个等式（n为正整数）：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，证明如下：
左边$=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$右边，故等式成立。
【答案】
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$；
(2) 第n个等式为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n为正整数），证明如上。
【知识点】
二次根式的化简、数式规律探究
【点评】
本题属于数式规律探究题，需通过观察已知等式的结构特征归纳通用规律，再利用二次根式运算性质验证猜想，重点考查学生的归纳推理能力和二次根式化简运算能力，是初中数学常见题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先观察前3个等式，找出等式序号与式子各部分的对应规律：第k个等式中，根号内的整数为k，分数的分母为k+2，等式右边为(k+1)乘以根号下该分数。据此可写出第4个等式，再归纳出第n个等式，最后通过二次根式的化简证明等式成立。
【解析】
(1) 观察前3个等式：
第1个等式（k=1）：$\sqrt{1+\frac{1}{1+2}}=(1+1)\sqrt{\frac{1}{1+2}}$，即$\sqrt{1+\frac{1}{3}}=2\sqrt{\frac{1}{3}}$；
第2个等式（k=2）：$\sqrt{2+\frac{1}{2+2}}=(2+1)\sqrt{\frac{1}{2+2}}$，即$\sqrt{2+\frac{1}{4}}=3\sqrt{\frac{1}{4}}$；
第3个等式（k=3）：$\sqrt{3+\frac{1}{3+2}}=(3+1)\sqrt{\frac{1}{3+2}}$，即$\sqrt{3+\frac{1}{5}}=4\sqrt{\frac{1}{5}}$；
因此，第4个等式（k=4）为：$\sqrt{4+\frac{1}{4+2}}=(4+1)\sqrt{\frac{1}{4+2}}$，即$\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$。
(2) 猜想第n个等式（n为正整数）：$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$，证明如下：
左边$=\sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$右边，故等式成立。
【答案】
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$；
(2) 第n个等式为$\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$（n为正整数），证明如上。
【知识点】
二次根式的化简、数式规律探究
【点评】
本题属于数式规律探究题，需通过观察已知等式的结构特征归纳通用规律，再利用二次根式运算性质验证猜想，重点考查学生的归纳推理能力和二次根式化简运算能力，是初中数学常见题型。
【难度系数】
0.6
21.(8分)先化简,再求值:$a+\sqrt{1-2a+a^2}$,其中$a=1\,007$。如图是小亮和小芳的解答过程。
(1)
(2)解答过程产生错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:
(3)先化简,再求值:$m+2\sqrt{m^2-6m+9}$,其中$m=-2\,021$。
(1)
小亮
的解答过程是错误的。(2)解答过程产生错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:
$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)(或\sqrt{a^2}=|a|)$
。(3)先化简,再求值:$m+2\sqrt{m^2-6m+9}$,其中$m=-2\,021$。
答案
21.(1)小亮
(2)$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)(或\sqrt{a^2}=|a|)$
(3)解:原式$=m+2\sqrt{(m-3)^2}$。因为$m=-2021$,所以$m-3＜0$,所以原式$=m+2\sqrt{(m-3)^2}=m+2(3-m)=6-m=6-(-2021)=2027$。
(2)$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)(或\sqrt{a^2}=|a|)$
(3)解:原式$=m+2\sqrt{(m-3)^2}$。因为$m=-2021$,所以$m-3＜0$,所以原式$=m+2\sqrt{(m-3)^2}=m+2(3-m)=6-m=6-(-2021)=2027$。
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，化简时必须先判断根号内式子的正负性，再去掉绝对值符号。第(1)问需对比两人的化简过程，结合$a=1007$判断$\sqrt{(1-a)^2}$的结果；第(2)问需明确错误源于未正确运用二次根式的性质；第(3)问按配方、判断符号、化简求值的步骤计算即可。
【解析】
(1) 先化简原式：$a+\sqrt{1-2a+a^2}=a+\sqrt{(1-a)^2}$。已知$a=1007$，则$1-a=1-1007=-1006＜0$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=a-1$，因此原式$=a+(a-1)=2a-1$，代入$a=1007$得$2×1007 -1=2013$，故小亮的解答错误，小芳正确。
(2) 小亮的错误原因是：未正确运用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，当$1-a＜0$时，$\sqrt{(1-a)^2}=a-1≠1-a$。
(3) 化简$m+2\sqrt{m^2-6m+9}$：先将根号内配方得$\sqrt{(m-3)^2}$，故原式$=m+2\sqrt{(m-3)^2}$。已知$m=-2021$，则$m-3=-2021-3=-2024＜0$，所以$\sqrt{(m-3)^2}=|m-3|=3-m$，代入得：
原式$=m + 2(3 - m)=m +6 -2m=6 -m$，将$m=-2021$代入，得$6 - (-2021)=2027$。
【答案】
(1)小亮；(2)$\sqrt{a^2}=|a|$（或$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$）；(3)2027
【知识点】
二次根式性质，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题考查二次根式的核心性质，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时忽略符号判断，需牢记根据被开方数的正负确定绝对值的结果，是基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需紧扣二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，化简时必须先判断根号内式子的正负性，再去掉绝对值符号。第(1)问需对比两人的化简过程，结合$a=1007$判断$\sqrt{(1-a)^2}$的结果；第(2)问需明确错误源于未正确运用二次根式的性质；第(3)问按配方、判断符号、化简求值的步骤计算即可。
【解析】
(1) 先化简原式：$a+\sqrt{1-2a+a^2}=a+\sqrt{(1-a)^2}$。已知$a=1007$，则$1-a=1-1007=-1006＜0$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{(1-a)^2}=|1-a|=a-1$，因此原式$=a+(a-1)=2a-1$，代入$a=1007$得$2×1007 -1=2013$，故小亮的解答错误，小芳正确。
(2) 小亮的错误原因是：未正确运用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，当$1-a＜0$时，$\sqrt{(1-a)^2}=a-1≠1-a$。
(3) 化简$m+2\sqrt{m^2-6m+9}$：先将根号内配方得$\sqrt{(m-3)^2}$，故原式$=m+2\sqrt{(m-3)^2}$。已知$m=-2021$，则$m-3=-2021-3=-2024＜0$，所以$\sqrt{(m-3)^2}=|m-3|=3-m$，代入得：
原式$=m + 2(3 - m)=m +6 -2m=6 -m$，将$m=-2021$代入，得$6 - (-2021)=2027$。
【答案】
(1)小亮；(2)$\sqrt{a^2}=|a|$（或$\sqrt{a^2}=-a(a＜0)$）；(3)2027
【知识点】
二次根式性质，绝对值化简，代数式求值
【点评】
本题考查二次根式的核心性质，易错点是化简$\sqrt{a^2}$时忽略符号判断，需牢记根据被开方数的正负确定绝对值的结果，是基础题型，需熟练掌握。
【难度系数】
0.5
