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22. (10分)设$a=\sqrt{8-x},b=\sqrt{3x+4},c=\sqrt{x+2}$。
(1)求$a,b,c$都有意义时$x$的取值范围。
(2)若$\mathrm{Rt}△ ABC$三条边的长分别为$a,b,c$,求$x$的值。
(1)求$a,b,c$都有意义时$x$的取值范围。
(2)若$\mathrm{Rt}△ ABC$三条边的长分别为$a,b,c$,求$x$的值。
答案
22.(1)解:由二次根式的性质,得$\begin{cases} 8-x\ge0, \\ 3x+4\ge0, \\ x+2\ge0, \end{cases}$解得$-\frac{4}{3}\le x\le8$。
(2)解:当$c$为斜边时,由$a^2+b^2=c^2$,得$8-x+3x+4=x+2$,解得$x=-10$;当$b$为斜边时,由$a^2+c^2=b^2$,得$8-x+x+2=3x+4$,解得$x=2$;当$a$为斜边时,由$b^2+c^2=a^2$,得$3x+4+x+2=8-x$,解得$x=\frac{2}{5}$。由(1)知$-\frac{4}{3}\le x\le8$,所以$x=\frac{2}{5}$或$x=2$。
(2)解:当$c$为斜边时,由$a^2+b^2=c^2$,得$8-x+3x+4=x+2$,解得$x=-10$;当$b$为斜边时,由$a^2+c^2=b^2$,得$8-x+x+2=3x+4$,解得$x=2$;当$a$为斜边时,由$b^2+c^2=a^2$,得$3x+4+x+2=8-x$,解得$x=\frac{2}{5}$。由(1)知$-\frac{4}{3}\le x\le8$,所以$x=\frac{2}{5}$或$x=2$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此需让三个二次根式的被开方数同时满足非负，列出不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
2. 第(2)问：直角三角形中斜边为最长边，需分三种情况讨论斜边（c为斜边、b为斜边、a为斜边），每种情况利用勾股定理列方程求解，最后结合第(1)问的x取值范围筛选有效解，排除不符合的结果。
【解析】
(1) 要使二次根式有意义，被开方数需非负，列不等式组：
$\begin{cases} 8 - x ≥ 0 \\ 3x + 4 ≥ 0 \\ x + 2 ≥ 0 \end{cases}$
解不等式$8 - x ≥ 0$得$x ≤ 8$；
解不等式$3x + 4 ≥ 0$得$x ≥ -\frac{4}{3}$；
解不等式$x + 2 ≥ 0$得$x ≥ -2$；
取公共解，得$-\frac{4}{3} ≤ x ≤ 8$。
(2) 分三种情况讨论直角三角形的斜边：
① 当c为斜边时，由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入得：
$(8 - x) + (3x + 4) = x + 2$，
化简得$12 + 2x = x + 2$，解得$x = -10$，不符合$-\frac{4}{3} ≤ x ≤ 8$，舍去；
② 当b为斜边时，由勾股定理$a^2 + c^2 = b^2$，代入得：
$(8 - x) + (x + 2) = 3x + 4$，
化简得$10 = 3x + 4$，解得$x = 2$，符合取值范围；
③ 当a为斜边时，由勾股定理$b^2 + c^2 = a^2$，代入得：
$(3x + 4) + (x + 2) = 8 - x$，
化简得$4x + 6 = 8 - x$，解得$x = \frac{2}{5}$，符合取值范围；
综上，x的值为$\frac{2}{5}$或2。
【答案】(1) $-\frac{4}{3} ≤ x ≤ 8$；(2) $x=\frac{2}{5}$或$x=2$
【知识点】二次根式有意义的条件，勾股定理的应用
【点评】本题综合考查二次根式性质与勾股定理，核心是利用二次根式的性质确定x的初步范围，通过分类讨论直角三角形斜边结合勾股定理求解，需注意解出的x要符合实际取值，避免漏解，体现了分类讨论的数学思想。
【难度系数】0.6
1. 第(1)问：二次根式有意义的条件是被开方数非负，因此需让三个二次根式的被开方数同时满足非负，列出不等式组，解不等式组即可得到x的取值范围。
2. 第(2)问：直角三角形中斜边为最长边，需分三种情况讨论斜边（c为斜边、b为斜边、a为斜边），每种情况利用勾股定理列方程求解，最后结合第(1)问的x取值范围筛选有效解，排除不符合的结果。
【解析】
(1) 要使二次根式有意义，被开方数需非负，列不等式组：
$\begin{cases} 8 - x ≥ 0 \\ 3x + 4 ≥ 0 \\ x + 2 ≥ 0 \end{cases}$
解不等式$8 - x ≥ 0$得$x ≤ 8$；
解不等式$3x + 4 ≥ 0$得$x ≥ -\frac{4}{3}$；
解不等式$x + 2 ≥ 0$得$x ≥ -2$；
取公共解，得$-\frac{4}{3} ≤ x ≤ 8$。
(2) 分三种情况讨论直角三角形的斜边：
① 当c为斜边时，由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，代入得：
$(8 - x) + (3x + 4) = x + 2$，
化简得$12 + 2x = x + 2$，解得$x = -10$，不符合$-\frac{4}{3} ≤ x ≤ 8$，舍去；
② 当b为斜边时，由勾股定理$a^2 + c^2 = b^2$，代入得：
$(8 - x) + (x + 2) = 3x + 4$，
化简得$10 = 3x + 4$，解得$x = 2$，符合取值范围；
③ 当a为斜边时，由勾股定理$b^2 + c^2 = a^2$，代入得：
$(3x + 4) + (x + 2) = 8 - x$，
化简得$4x + 6 = 8 - x$，解得$x = \frac{2}{5}$，符合取值范围；
综上，x的值为$\frac{2}{5}$或2。
【答案】(1) $-\frac{4}{3} ≤ x ≤ 8$；(2) $x=\frac{2}{5}$或$x=2$
【知识点】二次根式有意义的条件，勾股定理的应用
【点评】本题综合考查二次根式性质与勾股定理，核心是利用二次根式的性质确定x的初步范围，通过分类讨论直角三角形斜边结合勾股定理求解，需注意解出的x要符合实际取值，避免漏解，体现了分类讨论的数学思想。
【难度系数】0.6
23. (10分)“登高望远”说的是登得高看得远。如图,若观测点的高度为$h$(单位:km),观测者能看到的最远距离为$d$(单位:km),则$d\approx \sqrt{2hR}$,其中$R$是地球的半径,通常取$6\,400\ \mathrm{km}$。
(1)李青站在海边的一块岩石上,眼睛离海平面的高度$h$为$5\ \mathrm{m}$,她观测到远处一艘船刚露出海平面,求此时$d$的值。
(2)王林说:“泰山海拔约为$1\,500\ \mathrm{m}$,泰山到海边的最小距离约$230\ \mathrm{km}$,天气晴朗时站在泰山之巅(人的身高忽略不计)可以看到大海。”请判断其结论是否正确,并说明理由。
(1)李青站在海边的一块岩石上,眼睛离海平面的高度$h$为$5\ \mathrm{m}$,她观测到远处一艘船刚露出海平面,求此时$d$的值。
(2)王林说:“泰山海拔约为$1\,500\ \mathrm{m}$,泰山到海边的最小距离约$230\ \mathrm{km}$,天气晴朗时站在泰山之巅(人的身高忽略不计)可以看到大海。”请判断其结论是否正确,并说明理由。
答案
23.(1)解:$R=6400\ \mathrm{km}$,$h=5\ \mathrm{m}=0.005\ \mathrm{km}$,则$d\approx\sqrt{2×0.005×6400}=8(\mathrm{km})$。答:此时$d$的值约为$8\ \mathrm{km}$。
(2)解:其结论是错误的。理由如下:站在泰山之巅,人的身高忽略不计,此时$h=1500\ \mathrm{m}=1.5\ \mathrm{km}$。由$d\approx\sqrt{2hR}$,得$d^2\approx2hR=2×1.5×6400=19200$。因为$230^2=52900$,而$19200＜52900$,所以$d＜230$,所以天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海。
(2)解:其结论是错误的。理由如下:站在泰山之巅,人的身高忽略不计,此时$h=1500\ \mathrm{m}=1.5\ \mathrm{km}$。由$d\approx\sqrt{2hR}$,得$d^2\approx2hR=2×1.5×6400=19200$。因为$230^2=52900$,而$19200＜52900$,所以$d＜230$,所以天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海。
解析
【分析】本题是利用给定公式$d\approx \sqrt{2hR}$解决“登高望远”的实际问题，解题关键是先统一单位（将米换算为千米），再代入公式计算；第(2)问需先算出泰山之巅能看到的最远距离，再与泰山到海边的距离比较，判断结论是否正确。
【解析】
(1) 统一单位：$h=5\ \mathrm{m}=0.005\ \mathrm{km}$，地球半径$R=6400\ \mathrm{km}$，代入公式$d\approx \sqrt{2hR}$得：
$d\approx\sqrt{2×0.005×6400}=\sqrt{64}=8(\mathrm{km})$。
(2) 统一单位：泰山海拔$h=1500\ \mathrm{m}=1.5\ \mathrm{km}$，代入公式计算泰山之巅能看到的最远距离的平方：
$d^2\approx2hR=2×1.5×6400=19200$；
泰山到海边距离的平方为$230^2=52900$；
因为$19200＜52900$，所以$d＜230\ \mathrm{km}$，即站在泰山之巅看不到大海，故王林的结论错误。
【答案】
(1) $d$的值约为$8\ \mathrm{km}$；
(2) 王林的结论错误，理由见解析。
【知识点】
二次根式的应用、单位换算、实数大小比较
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次根式的应用，重点是单位统一和公式代入计算，第(2)问通过比较平方值判断距离大小，体现数学的实用性，难度适中，能考查学生的计算与应用能力。
【难度系数】
0.6
【解析】
(1) 统一单位：$h=5\ \mathrm{m}=0.005\ \mathrm{km}$，地球半径$R=6400\ \mathrm{km}$，代入公式$d\approx \sqrt{2hR}$得：
$d\approx\sqrt{2×0.005×6400}=\sqrt{64}=8(\mathrm{km})$。
(2) 统一单位：泰山海拔$h=1500\ \mathrm{m}=1.5\ \mathrm{km}$，代入公式计算泰山之巅能看到的最远距离的平方：
$d^2\approx2hR=2×1.5×6400=19200$；
泰山到海边距离的平方为$230^2=52900$；
因为$19200＜52900$，所以$d＜230\ \mathrm{km}$，即站在泰山之巅看不到大海，故王林的结论错误。
【答案】
(1) $d$的值约为$8\ \mathrm{km}$；
(2) 王林的结论错误，理由见解析。
【知识点】
二次根式的应用、单位换算、实数大小比较
【点评】
本题结合实际生活场景考查二次根式的应用，重点是单位统一和公式代入计算，第(2)问通过比较平方值判断距离大小，体现数学的实用性，难度适中，能考查学生的计算与应用能力。
【难度系数】
0.6
