24. (12分)我们知道，$\sqrt{a} ≥ 0(a ≥ 0)$，所以当$a ≥ 0$时，$\sqrt{a}$的最小值为0。根据这种结论，小明同学对二次根式$\sqrt{x^2 + 1}$和$\sqrt{-x^2 + 3}$进行了以下的探索：
因为$x^2 ≥ 0$，所以$x^2 + 1 ≥ 1$，所以$\sqrt{x^2 + 1} ≥ \sqrt{1} = 1$，
所以当$x = 0$时，$\sqrt{x^2 + 1}$的最小值为1。
因为$x^2 ≥ 0$，所以$-x^2 ≤ 0$，所以$-x^2 + 3 ≤ 3$，所以$\sqrt{-x^2 + 3} ≤ \sqrt{3}$，
所以当$x = 0$时，$\sqrt{-x^2 + 3}$的最大值为$\sqrt{3}$。
(1)求$\sqrt{(x + 2)^2 + 7}$的最小值和$\sqrt{-3(x - 5)^2 + 9}$的最大值。
(2)求$\sqrt{x^2 - 4x + 20}$的最小值。
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为$a, b, c$，记$p = \frac{a + b + c}{2}$，则其面积$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，公式也被称为海伦—秦九韶公式。若$p = 5, c = 4$，则此三角形面积的最大值为多少？

24.(1)解:因为$(x+2)^2\ge0$,所以$(x+2)^2+7\ge7$,所以$\sqrt{(x+2)^2+7}\ge\sqrt{7}$,所以当$x+2=0$,即$x=-2$时,$\sqrt{(x+2)^2+7}$的最小值为$\sqrt{7}$。因为$(x-5)^2\ge0$,所以$-(x-5)^2\le0$,所以$-3(x-5)^2\le0$,所以$-3(x-5)^2+9\le9$,所以$\sqrt{-3(x-5)^2+9}\le\sqrt{9}=3$,所以当$x-5=0$,即$x=5$时,$\sqrt{-3(x-5)^2+9}$的最大值为3。
(2)解:由题意,得$\sqrt{x^2-4x+20}=\sqrt{x^2-4x+4+16}=\sqrt{(x-2)^2+16}$。因为$(x-2)^2\ge0$,所以$(x-2)^2+16\ge16$,所以$\sqrt{(x-2)^2+16}\ge\sqrt{16}=4$,所以当$x-2=0$,即$x=2$时,$\sqrt{(x-2)^2+16}$的最小值为4,即$\sqrt{x^2-4x+20}$的最小值为4。
(3)解:当$p=5$,$c=4$时,$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{5(5-a)(5-b)}$。因为$p=\frac{a+b+c}{2}$,所以$a+b+c=2p=10$,所以$b=10-a-c=6-a$,所以$S=\sqrt{5(5-a)(5-b)}=\sqrt{5(5-a)(a-1)}=\sqrt{-5(a^2-6a+5)}=\sqrt{-5(a^2-6a+9-4)}=\sqrt{-5(a-3)^2+20}\le2\sqrt{5}$,所以当$a-3=0$,即$a=3$时,$S$取得最大值$2\sqrt{5}$,经检验,符合题意,所以$S$的最大值为$2\sqrt{5}$。

【分析】
本题围绕二次根式的最值问题展开，核心思路是利用“任何实数的平方≥0”的性质，结合二次根式的非负性，先确定被开方数的取值范围，进而推导二次根式的最值；对于需配方的式子，先通过配方法转化为含完全平方的形式，再分析最值；第三问需代入海伦公式，结合三角形三边关系，将式子转化为可利用平方性质的形式求解最大值。
【解析】
(1) 对于$\sqrt{(x + 2)^2 + 7}$：
因为$(x+2)^2\ge0$，所以$(x+2)^2 +7\ge7$，根据二次根式的性质，$\sqrt{a}\ge0$，则$\sqrt{(x+2)^2 +7}\ge\sqrt{7}$，当$x+2=0$即$x=-2$时，取得最小值$\sqrt{7}$。
对于$\sqrt{-3(x - 5)^2 + 9}$：
因为$(x-5)^2\ge0$，所以$-3(x-5)^2\le0$，进而$-3(x-5)^2 +9\le9$，则$\sqrt{-3(x-5)^2 +9}\le\sqrt{9}=3$，当$x-5=0$即$x=5$时，取得最大值$3$。
(2) 先对被开方数配方：
$\sqrt{x^2 -4x +20}=\sqrt{x^2 -4x +4 +16}=\sqrt{(x-2)^2 +16}$，
因为$(x-2)^2\ge0$，所以$(x-2)^2 +16\ge16$，则$\sqrt{(x-2)^2 +16}\ge\sqrt{16}=4$，当$x-2=0$即$x=2$时，取得最小值$4$。
(3) 代入海伦公式：
当$p=5$，$c=4$时，$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{5(5 - a)(5 - b)}$，
由$p=\frac{a+b+c}{2}$得$a+b+c=10$，所以$b=10 - a -4=6 - a$，代入得：
$S=\sqrt{5(5 - a)(5 - (6 - a))}=\sqrt{5(5 - a)(a -1)}=\sqrt{-5(a^2 -6a +5)}$，
配方得：$\sqrt{-5[(a-3)^2 -4]}=\sqrt{-5(a-3)^2 +20}$，
因为$-5(a-3)^2\le0$，所以$-5(a-3)^2 +20\le20$，则$S\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，当$a=3$时，$S$取得最大值$2\sqrt{5}$，符合三角形三边关系。
【答案】
(1) $\sqrt{(x + 2)^2 + 7}$的最小值为$\sqrt{7}$，$\sqrt{-3(x - 5)^2 + 9}$的最大值为$3$；
(2) $\sqrt{x^2 - 4x + 20}$的最小值为$4$；
(3) 此三角形面积的最大值为$2\sqrt{5}$。
【知识点】
二次根式的性质、配方法、海伦公式
【点评】
本题将二次根式最值与海伦公式结合，考查配方法的应用和平方非负性的运用，解题时需灵活转化式子，第三问还需结合三角形三边关系验证结果，综合性较强，需要学生掌握转化思想。
【难度系数】
0.5