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1.(2025·丽水市莲都区期末)在下列方程中,属于一元二次方程的是
(
A.$(x-2)^2=2$
B.$x^2+3y=1$
C.$x^2-4=x^3$
D.$2(x-1)-x=3$
(
A
)A.$(x-2)^2=2$
B.$x^2+3y=1$
C.$x^2-4=x^3$
D.$2(x-1)-x=3$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。需逐一分析选项是否满足这三个条件（单未知数、最高次数2、整式方程）。
【解析】
根据一元二次方程的定义分析各选项：
选项A：将$(x-2)^2=2$展开得$x^2 -4x +4=2$，整理为$x^2 -4x +2=0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
选项B：方程含$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
选项C：未知数$x$的最高次数为3，属于一元三次方程，不符合；
选项D：化简得$2(x-1)-x=3$，即$x-5=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，属于基础题型，解题关键是牢记定义的核心要素，逐一排查选项即可得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程，需依据其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。需逐一分析选项是否满足这三个条件（单未知数、最高次数2、整式方程）。
【解析】
根据一元二次方程的定义分析各选项：
选项A：将$(x-2)^2=2$展开得$x^2 -4x +4=2$，整理为$x^2 -4x +2=0$，仅含未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义；
选项B：方程含$x$和$y$两个未知数，属于二元方程，不符合；
选项C：未知数$x$的最高次数为3，属于一元三次方程，不符合；
选项D：化简得$2(x-1)-x=3$，即$x-5=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合。
综上，答案为A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，属于基础题型，解题关键是牢记定义的核心要素，逐一排查选项即可得出答案。
【难度系数】
0.8
2.(2025·金华市兰溪市期末)一元二次方程$9x^2=5-4x$化为一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (
A.$9,5,-4$
B.$9,4,-5$
C.$9,-5,4$
D.$9,-4,5$
B
)A.$9,5,-4$
B.$9,4,-5$
C.$9,-5,4$
D.$9,-4,5$
答案
2.B
解析
【分析】要解决这道题，需先将给定的一元二次方程化为一般形式，再根据一般形式确定二次项系数、一次项系数和常数项。一元二次方程的一般形式是$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，移项时要注意各项符号的变化。
【解析】一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），将原方程$9x^2 = 5 - 4x$移项整理为一般形式：把右边的$5$和$-4x$移到左边，得$9x^2 + 4x - 5 = 0$；对比一般形式，二次项系数为$9$，一次项系数为$4$，常数项为$-5$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的一般形式
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是掌握移项变号的规则，属于基础题型，需准确识别各项系数的符号。
【难度系数】0.3
【解析】一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），将原方程$9x^2 = 5 - 4x$移项整理为一般形式：把右边的$5$和$-4x$移到左边，得$9x^2 + 4x - 5 = 0$；对比一般形式，二次项系数为$9$，一次项系数为$4$，常数项为$-5$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的一般形式
【点评】本题考查一元二次方程一般形式的转化，核心是掌握移项变号的规则，属于基础题型，需准确识别各项系数的符号。
【难度系数】0.3
3. (2025·绍兴市嵊州市期末)方程$(x-1)(x+2)=0$的解是 （
A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x_1=1,x_2=-2$
D.$x_1=-1,x_2=2$
C
）A.$x=1$
B.$x=2$
C.$x_1=1,x_2=-2$
D.$x_1=-1,x_2=2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是利用“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后对应选项选出正确答案。
【解析】
对于方程$(x-1)(x+2)=0$，根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，可得：
$x - 1 = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解这两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法（因式分解法）
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，直接考查因式分解法的核心应用，属于期末基础考查题型，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路是利用“两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，将原一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解后对应选项选出正确答案。
【解析】
对于方程$(x-1)(x+2)=0$，根据“若$ab=0$，则$a=0$或$b=0$”，可得：
$x - 1 = 0$ 或 $x + 2 = 0$，
解这两个一元一次方程，得$x_1=1$，$x_2=-2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法（因式分解法）
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，直接考查因式分解法的核心应用，属于期末基础考查题型，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. (2025·湖州市吴兴区期末)把方程$x^2 + 3x - 1 = 0$的左边配方后可得方程为（
A.$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
B.$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
C.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
D.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
A
）A.$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
B.$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
C.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
D.$(x - \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{5}{4}$
答案
4.A
解析
【分析】本题考查一元二次方程的配方，解题思路是按照配方法的步骤：先移项，将常数项移到等号右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式，最后对比选项得出答案。
【解析】解：对于方程$x^2 + 3x - 1 = 0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右边，得$x^2 + 3x = 1$；
第二步：配方，一次项系数为3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，在方程两边同时加上$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 1 + \frac{9}{4}$，
左边整理为完全平方式：$(x + \frac{3}{2})^2$，右边计算得$\frac{13}{4}$，
即配方后方程为$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的配方法、完全平方公式
【点评】本题是一元二次方程配方的基础题型，核心考查配方法的基本操作，只要掌握移项、加一次项系数一半平方的步骤即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】解：对于方程$x^2 + 3x - 1 = 0$，
第一步：移项，将常数项移到等号右边，得$x^2 + 3x = 1$；
第二步：配方，一次项系数为3，其一半的平方为$(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$，在方程两边同时加上$\frac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} = 1 + \frac{9}{4}$，
左边整理为完全平方式：$(x + \frac{3}{2})^2$，右边计算得$\frac{13}{4}$，
即配方后方程为$(x + \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{4}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的配方法、完全平方公式
【点评】本题是一元二次方程配方的基础题型，核心考查配方法的基本操作，只要掌握移项、加一次项系数一半平方的步骤即可快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8
5. 如图,某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18 m,11 m的长方形菜园作为劳动教育系列课程的实验基地之一,为了便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道,剩下的用于种植,且种植面积为96 m²,设小道的宽为x m,根据题意可列方程为
(
A.$2x^2=96$
B.$(18-2x)(11-x)=96$
C.$(18-x)(11-2x)=96$
D.$(18-2x)(11-2x)=96$
(
B
)A.$2x^2=96$
B.$(18-2x)(11-x)=96$
C.$(18-x)(11-2x)=96$
D.$(18-2x)(11-2x)=96$
答案
5.B
解析
【分析】这道题需用平移法将不规则种植区域转化为规则图形来解题。首先明确小道类型：一横两纵三条等宽（宽为$x$）的小道，纵向小道共2条，会减少水平方向总长度；横向小道共1条，会减少垂直方向总长度。通过平移小道，可把分散的种植区域拼接成完整长方形，只需计算该长方形面积，结合已知种植面积即可列方程。
【解析】将三条小道向菜园边缘平移，种植区域可拼接成一个完整长方形。该长方形的长为原菜园长减去两条纵向小道宽度，即$(18 - 2x)\ \mathrm{m}$；宽为原菜园宽减去一条横向小道宽度，即$(11 - x)\ \mathrm{m}$。根据长方形面积公式“面积=长×宽”，结合种植面积为$96\ \mathrm{m}^2$，可列方程：$(18 - 2x)(11 - x) = 96$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用、长方形面积计算
【点评】本题核心是运用平移转化思想，将不规则图形面积问题转化为规则长方形面积计算，是一元二次方程应用的常见基础题型，需掌握此类图形转化技巧。
【难度系数】0.6
【解析】将三条小道向菜园边缘平移，种植区域可拼接成一个完整长方形。该长方形的长为原菜园长减去两条纵向小道宽度，即$(18 - 2x)\ \mathrm{m}$；宽为原菜园宽减去一条横向小道宽度，即$(11 - x)\ \mathrm{m}$。根据长方形面积公式“面积=长×宽”，结合种植面积为$96\ \mathrm{m}^2$，可列方程：$(18 - 2x)(11 - x) = 96$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用、长方形面积计算
【点评】本题核心是运用平移转化思想，将不规则图形面积问题转化为规则长方形面积计算，是一元二次方程应用的常见基础题型，需掌握此类图形转化技巧。
【难度系数】0.6
6. 已知方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是$x_1 = 1, x_2 = -3$，则另一个方程$(x + 3)^2 + 2(x + 3) - 3 = 0$的解是（
A.$x_1 = 2, x_2 = 6$
B.$x_1 = -2, x_2 = -6$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = 1, x_2 = -3$
B
）A.$x_1 = 2, x_2 = 6$
B.$x_1 = -2, x_2 = -6$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = 1, x_2 = -3$
答案
6.B
解析
【分析】观察两个方程的结构，发现所求方程中$(x+3)$的形式与已知方程中的$x$一致，可利用换元法，将$(x+3)$看作整体替换为已知方程的未知数，结合已知方程的解，即可求出所求方程的解，无需直接展开求解。
【解析】设$ t = x + 3 $，则方程$(x + 3)^2 + 2(x + 3) - 3 = 0$可转化为$ t^2 + 2t - 3 = 0 $。
已知方程$ t^2 + 2t - 3 = 0 $的解为$ t_1 = 1 $，$ t_2 = -3 $，因此：
当$ t = 1 $时，$ x + 3 = 1 $，解得$ x = -2 $；
当$ t = -3 $时，$ x + 3 = -3 $，解得$ x = -6 $。
所以所求方程的解为$ x_1 = -2 $，$ x_2 = -6 $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程、整体思想
【点评】本题通过换元法将复杂方程转化为已知解的简单方程，考查整体思想的应用，属于基础题型，掌握换元法的核心即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】设$ t = x + 3 $，则方程$(x + 3)^2 + 2(x + 3) - 3 = 0$可转化为$ t^2 + 2t - 3 = 0 $。
已知方程$ t^2 + 2t - 3 = 0 $的解为$ t_1 = 1 $，$ t_2 = -3 $，因此：
当$ t = 1 $时，$ x + 3 = 1 $，解得$ x = -2 $；
当$ t = -3 $时，$ x + 3 = -3 $，解得$ x = -6 $。
所以所求方程的解为$ x_1 = -2 $，$ x_2 = -6 $，对应选项B。
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程、整体思想
【点评】本题通过换元法将复杂方程转化为已知解的简单方程，考查整体思想的应用，属于基础题型，掌握换元法的核心即可快速解题。
【难度系数】0.8
7. (2025·绍兴市新昌县期末)关于$x$的一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$没有实数根,则系数$a,c$可能满足 (
A.$a＜0,a-4c＜0$
B.$a＜0,a+4c＜0$
C.$a＞0,a+4c＜0$
D.$a＞0,a-4c＜0$
D
)A.$a＜0,a-4c＜0$
B.$a＜0,a+4c＜0$
C.$a＞0,a+4c＜0$
D.$a＞0,a-4c＜0$
答案
7.D
解析
【分析】首先，一元二次方程没有实数根，需利用根的判别式Δ＜0求解。先计算该方程的判别式，转化为关于a、c的不等式，再结合乘法的符号性质分析选项即可。
【解析】对于一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$，没有实数根，因此根的判别式$\Delta ＜ 0$。
计算判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4·a·c = a^2 - 4ac$，故$a^2 - 4ac ＜ 0$，整理得$a(a - 4c) ＜ 0$。
根据乘法法则：两数相乘小于0，则两数异号，分两种情况：
① 当$a＞0$时，需满足$a - 4c ＜ 0$；
② 当$a＜0$时，需满足$a - 4c ＞ 0$。
逐一分析选项：
A选项：$a＜0,a-4c＜0$，同号，乘积＞0，不符合；
B选项：$a＜0,a+4c＜0$，不是$a-4c$，不符合；
C选项：$a＞0,a+4c＜0$，不是$a-4c$，不符合；
D选项：$a＞0,a-4c＜0$，异号，乘积＜0，符合条件。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、不等式的性质
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确计算判别式并转化为不等式，结合符号性质判断，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】对于一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$，没有实数根，因此根的判别式$\Delta ＜ 0$。
计算判别式：$\Delta = (-a)^2 - 4·a·c = a^2 - 4ac$，故$a^2 - 4ac ＜ 0$，整理得$a(a - 4c) ＜ 0$。
根据乘法法则：两数相乘小于0，则两数异号，分两种情况：
① 当$a＞0$时，需满足$a - 4c ＜ 0$；
② 当$a＜0$时，需满足$a - 4c ＞ 0$。
逐一分析选项：
A选项：$a＜0,a-4c＜0$，同号，乘积＞0，不符合；
B选项：$a＜0,a+4c＜0$，不是$a-4c$，不符合；
C选项：$a＞0,a+4c＜0$，不是$a-4c$，不符合；
D选项：$a＞0,a-4c＜0$，异号，乘积＜0，符合条件。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、不等式的性质
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是正确计算判别式并转化为不等式，结合符号性质判断，属于基础题型。
【难度系数】0.5
8. (2025·杭州市余杭区期末模拟)已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$的值为（
A.$-2025$
B.$2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$\pm 2025$
B
）A.$-2025$
B.$2025$
C.$\dfrac{1}{2025}$
D.$\pm 2025$
答案
8.B 【解析】由题意，得$(\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}})^2=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2\sqrt{\dfrac{b}{a}}×\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}+2,\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2+a^2}{ab}=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{ab}$。因为$\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{a}{b}}≥0$，所以原式$=\sqrt{\dfrac{(a+b)^2-2ab}{ab}}+2$。因为a,b是一元二次方程$x^2+2025x+1=0$的两个实数根，所以$a+b=-2025$，$ab=1$，所以原式$=\sqrt{(-2025)^2-2}+2=2025$。
解析
【分析】
本题的解题思路为：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积；其次，观察所求式子的结构，先考虑其非负性，再通过平方将分式根号的和转化为可利用韦达定理计算的形式；最后代入数值计算，结合原式的非负性确定最终结果，避免符号错误。
【解析】
已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$a + b = -2025$，$ab = 1$。
设$S = \sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$，因为根号下的数非负，且$ab=1＞0$，所以$\dfrac{b}{a}＞0$，$\dfrac{a}{b}＞0$，故$S＞0$。
对$S$平方得：
$\begin{aligned}S^2&=(\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}})^2\\&=\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} + 2\sqrt{\dfrac{b}{a} · \dfrac{a}{b}}\\&=\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} + 2\end{aligned}$
将$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$变形为：
$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = \dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$
代入$a + b=-2025$，$ab=1$：
$\begin{aligned}\dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}&=\dfrac{(-2025)^2 - 2×1}{1}\\&=2025^2 - 2\end{aligned}$
则$S^2=(2025^2 - 2) + 2 = 2025^2$，又因为$S＞0$，所以$S=\sqrt{2025^2}=2025$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式的性质，代数式变形求值
【点评】
本题综合考查韦达定理与二次根式的非负性，核心是通过平方转化简化分式根号的计算，需注意原式的符号限制，避免开方时取负根，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
本题的解题思路为：首先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积；其次，观察所求式子的结构，先考虑其非负性，再通过平方将分式根号的和转化为可利用韦达定理计算的形式；最后代入数值计算，结合原式的非负性确定最终结果，避免符号错误。
【解析】
已知$a,b$是一元二次方程$x^2 + 2025x + 1 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$a + b = -2025$，$ab = 1$。
设$S = \sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}}$，因为根号下的数非负，且$ab=1＞0$，所以$\dfrac{b}{a}＞0$，$\dfrac{a}{b}＞0$，故$S＞0$。
对$S$平方得：
$\begin{aligned}S^2&=(\sqrt{\dfrac{b}{a}} + \sqrt{\dfrac{a}{b}})^2\\&=\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} + 2\sqrt{\dfrac{b}{a} · \dfrac{a}{b}}\\&=\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} + 2\end{aligned}$
将$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b}$变形为：
$\dfrac{b}{a} + \dfrac{a}{b} = \dfrac{a^2 + b^2}{ab} = \dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}$
代入$a + b=-2025$，$ab=1$：
$\begin{aligned}\dfrac{(a + b)^2 - 2ab}{ab}&=\dfrac{(-2025)^2 - 2×1}{1}\\&=2025^2 - 2\end{aligned}$
则$S^2=(2025^2 - 2) + 2 = 2025^2$，又因为$S＞0$，所以$S=\sqrt{2025^2}=2025$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，二次根式的性质，代数式变形求值
【点评】
本题综合考查韦达定理与二次根式的非负性，核心是通过平方转化简化分式根号的计算，需注意原式的符号限制，避免开方时取负根，属于中等难度的常规题型。
【难度系数】
0.5
